2022年海淀区第二学期高三数学期中练习参考答案

1、海淀区 20212022 学年第二学期期中练习高三数学参考答案 2022.03一、选择题共 10小题，每小题 4分，共 40分。题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10）答案 B A C B D A C C A B二、填空题共 5小题，每小题 5分，共 25分。题号 （11） （12） （13） （14） （15）答案 2 2；11（只需 a > 0即可） 2； 4 2说明： 12 题、14 题两空前 3 后 2；15 题全选对 5 分，漏选 1 个 3 分，漏选 2 个 2 分，不选0 分。三、解答题共 6 小题，共 85 分。（16）（本小

2、题共 14 分）解：（） f (x) 满足条件和条件.由 f (x) = 2sin xcos x + Acos 2x ，得 f (x) = sin 2x + Acos 2x = 1+ A2 sin(2x +j) , (- <j < , tanj = A)2 2所以 f (x) 的最大值为 1+ A2 .由条件： f (x) 的最大值为 2 ，得 1+ A2 = 2 ，得 A = ±1.当 A =1时，f (x) = 2 sin(2x + ) ，4f ( ) = 2 ，满足条件，8当 A = -1时，f (x) = 2 sin(2x - ) ，4f ( ) = 0 ，不满足

3、条件，8所以， f (x) 满足条件和，且 f (x) = 2 sin(2x + ) . 4（） 方法 1:当 0 < x < m 时， < 2x + < 2m + , 4 4 41因为 f (x) 在区间 (0,m) 上有且只有一个零点，所以 < 2m + £ 2 ，4得3 7< m £ ，8 8 3 7所以 m 的取值范围是 ( , . 8 8方法 2:令2 ,x + = k k ÎZ ，4得 1 x = k - ,k ÎZ . 2 8 1 所以 f (x) 的所有零点为 k - ,k ÎZ ，即 2 8

4、因为 f (x) 在区间 (0,m) 上有且只有一个零点， 3 78 8 8所以该零点为38 3 7, m 的取值范围是 ( , 8 8（17）（本小题 14 分）解：（）在四棱柱ABCD - A B C D 中，取棱 AD 中点为 O，1 1 1 1因为AA = A D ，所以1 1AO AD .1又因为平面A ADD 平面 ABCD ，且平面1 1A ADD 平面 ABCD = AD ，1 1所以AO 平面 ABCD .1所以AO AB .1因为底面 ABCD 是正方形，所以 AB AD ，因为 AD ，所以 AB 平面A AD .1所以 AB A D ，即1A D AB .1（）如图建立

5、空间直角坐标系O - xyz ，设OA 长度为 a ，1因为正方形 ABCD 的边长 AD = 2 ，则 O(0,0,0)， A(0,-1, 0) ， B(2,-1, 0) ，D(0,1, 0) ，A a ，1(0,0, ) C a .1 (2, 2, )2所以 AB = (2, 0, 0) ，A1D = (0,1,-a) ， A1C1 = (2, 2, 0) .设平面A DC 的法向量为 n = (x, y, z) ，则1 1A1zD1ì =ï az 0,íïn × AC = x + y =2 2 0,î1 1B1C1令 z =1，

6、则 y = a, x = -a ，O D y A于是 n = (-a,a,1) .因为 AB 与平面A DC 的所成角的正弦值为1 1217，B Cx所以2a 21cos < AB,n > = =AB n 2 2a 1 × ´ + 7× ´ + 72，所以 a = 3 ，所以 1 2 12 3 1 2AA = AO + AA = + = .（18）（本小题 14 分）解：（）早睡人群睡眠指数 25%分位数估计在第 3 组，晚睡人群睡眠指数 25%分位数估计在第 2 组.（）X 的取值范围是0 ，1，2，3，0 3P X C æ

7、31; ö÷ æç ö÷ =（ =0）=4 1 1 0 3è 5 ø è 5 ø 1251 2P X C æç ö÷ æç ö÷ =（ =1）=4 1 12 1 3è 5 ø è 5 ø 1252 1P X C æç 4 ö÷ æç 1 ö÷ = 48（ =2）=2 3è 5 ø

8、 è 5 ø 1253 0P X C æç ö÷ æç ö÷ =（ =3）=4 1 64 3 3è 5 ø è 5 ø 125所以随机变量 X 的分布列为：X 0 1 2 3P 1125121254812564125所以随机变量 X 的数学期望 1 12 48 64 12E（X）= 0´ +1´ + 2´ + 3´ = . 125 125 125 125 5（）这种说法不正确.3例如：当第 1 组均值为 0，第 2

9、组均值为 51，第 3 组均值为 66，第 4 组均值为76，第 5 组均值为 91，则睡眠指数的均值为0´ 0.001+ 51´ 0.111+ 66´0.346 + 76´0.486 + 91´0.056= 0´ 0.001+ 66´ 0.346 + 76´ 0.486 + 91´ 0.056 + 51´ 0.056 + 51´ 0.055< 0´ 0.001+ 66´ 0.346 + 76´ 0.486 + 71´ 0.112 + 51

10、´ 0.055< 76´ 0.001+ 76´ 0.346 + 76´ 0.486 + 76´0.112 + 76´0.055 = 76所以这种说法不正确.法 2. 例如：当第 1 组均值为 0，第 2 组均值为 51，第 3 组均值为 66，第 4 组均值为 76，第 5 组均值为 91，则睡眠指数的均值为0´ 0.001+ 51´ 0.111+ 66´0.346 + 76´0.486 + 91´0.056< + ´ + ´ + ´ + &#

11、180; = < .0 51 0.12 66 0.35 76 0.50 91 0.06 72.68 76所以这种说法不正确.（19）（本小题 14 分）解：（）因为 f (x) = (ax2 - x +1)ex ，所以 f (0) =1， f ¢(x) = x(ax + 2a -1)e ，x所以 f ¢(0) = 0 ，所以切线为： y =1.（） f ¢(x) = x(ax + 2a -1)e .x（1）当 a = 0时， f ¢(x) = -xe ，令 f ¢(x) = 0 ，得 x = 0 ，xf (x)与 f ¢(x)的

12、情况如下： (, 0) 0 (0, +)() + 0 () 此时， f (x)在 x = 0 处取得极大值，符合题意；（2）当 a > 0时，令 f ¢(x) = 0 ，得 x = 0 ，或x1= - 2 .a 当 0 1< a < 时, 21a- > , f (x)与 f ¢(x)的情况如下：2 0 (, 0) 0(0,1 2)1 1 2 ( 2, +)() + 0 0 +4() 此时， f (x)在 x = 0 处取得极大值，符合题意； 当1a = 时，21a- = ， f ¢(x)³ 0 ， f (x)单调递增，无极大值，不

13、符合题意；2 0 当 1a > 时, 21a- < , f (x)与 f ¢(x)的情况如下：2 0 1(, 2)1 1 2 ( 2,0)0 (0, +)() + 0 0 +() 此时， f (x)在 x = 0 处取得极小值，不符合题意；（3）当 a < 0 时，1a- < . f (x)与 f ¢(x)的情况如下：2 0(,1 2)1 1 2 ( 2,0)0 (0, +)() 0 + 0 () 此时， f (x)在 x = 0 处取得极大值，符合题意.综上，a Îæç-¥ 1 ö÷,&#

14、232; 2 ø.æ 1ù（） 0,ç úè 4û.（20）（本小题 15 分）1解：（）由l : y = (x - 2) 可知 A(0,-1),B(2,0),12x2椭圆方程C : + y =1,243所以，离心率 e = .2（）方法一：由ì y = kx + m，得(4k2 +1)x2 + 8kmx + 4m2 - 4 = 0 ，í + =x2 4y2 4î由 D = 64k2m2 - 4(4k2 +1)(4m2 - 4) > 0 ，得 4k +1> m .2 2设P(x ,

15、y ),Q(x , y ),1 1 2 25则8km 4m - 42x + x = - , x x =1 2 2 1 2 24k +1 4k +1，由题意得1D(x , x -1), E(x , x - 2 - y )，1 1 1 1 12因为 B,E,Q三点共线，且直线 BQ 斜率存在，所以y x - 2 - yk = k ，即 2 = 1 1BQ BEx - 2 x - 22 1，所以0 = (x - 2)y - (x - 2)(x - 2 - y )1 2 2 1 1= (x - 2)(kx + m) - (x - 2)(x - 2 - kx - m)1 2 2 1 1= (2k -1)

16、x x + (m + 2 - 2k)(x + x ) - (4m + 4)1 2 1 24m - 4 8km2= (2k -1) + (m + 2 - 2k)(- ) - (4m + 4)4k +1 4k +12 2化简得， m2 + (4k +1)m + 2k(2k +1) = 0 .所以 (m+ 2k)(m+ 2k+1) =0 .又因为B(2, 0)Ïl ，2所以 m+ 2k ¹ 0, m+ 2k+1=0,所以l 恒过定点 (2,-1) .2方法二：下面证明l 恒过定点G(2,-1) .2设P(x , y ),Q(x , y ),则1 1 2 21D(x , x -1)

17、, E(x , x - 2 - y ) ,1 1 1 1 12y x - y - 2 x - 2所以 k + k = 1 + 1 1 = 1 =1,BP BEx - 2 x - 2 x - 21 1 1设直线 BP: y = n(x -2)，代入 x2 + 4y2 = 4 ,得： (4n2 +1)x2 -16n2 x +16n2 - 4 = 0 ,因为16n2 - 4 8n2 - 22x = , x =P + P +2 24n 1 4n 1，6所以所以-4ny = n(x - 2) =,P P +24n 1- n +4 1y +1 4n +1 -(2n -1)22k = = =PPG- 2 -

18、8n - 2x 2 4P24n +12，用1- n代替 n ，得kQG-2(1- n) -1 -(2n -1)2 2= = .4 4所以k = k ，所以 P,Q,G 三点共线,PG QG所以l 恒过定点G(2,-1) .2（21）（本小题 14 分）解：（）因为 an = n ， 所以 ak+1 = k +1 = ak +1 所以 a 是 P 数列n 1（）因为 a 是 P 数列，n 2所以ì t = s +1，ïí s t= +1，ï = +î t t 2 ìs = 0，解得 ít = -1 î（） 先证明 a

19、2k+1 = a2k +1( k =1，2，××× )ì a = a +1，2k+1 2kïa = a +1， 则 í2k+2 2k+1ï = +î a a 22k+2 2k所以 a2k+1 = a2k +1( k =1，2，××× ) 再证明 a6k，a6k+1，a6k+2，a6k+3 ( k =1，2，××× )是公差为 1 的等差数列 设 a6k = b ， a6k+1 = b +1 ， a6k+2 = c ， a6k+3 = c +1，则ì

20、; c = b + 2，ïíc +1 = b + 3ï所以 c = b + 2 所以 a6k，a6k+1，a6k+2，a6k+3 ( k =1，2，××× )是公差为 1 的等差数列 接下来证明 a6k-3，a6k-2，a6k-1 ( k =1，2，××× )是公差为 1 的等差数列 设 a6k-3 = d ， a6k-2 = e ， a6k-1 = e +1， a6k = f ，ì e = d +1， ïf = e + 2 ， 则 íï = +î f d 3所以 e = d +17 所以 a6k-3，a6k-2，a6k-1 ( k =1，2，×