广西桂林阳朔中学2020届高考仿真卷数学试卷含解析《含高考15套》

广西桂林阳朔中学2020届高考仿真卷数学试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.在A48C中，角A8,C的对边分别为。，b,c.若A4BC为锐角三角形，且满足

sinB（14-2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是（）

A.a=2bB.b=2ac.A=2BD.5=2A

2

2,若函数/（x）==（x>l）有最大值-4,则a的值是

A.1B.-1C.4D.一4

3.已知双曲线C：1一方=1（。>00>0）的焦距为2,，焦点到双曲线。的渐近线的距离为乎c,则

双曲线的渐近线方程为（）

A,y=±y[3xBy=±V^xQy=±xDy=+2x

4.在一组样本数据（玉，x）,（心％），…，（当,"）（〃-2,再，天不全相等）的散点图中，若所

有样本点a，yj（i=l,2,,〃）都在直线y=-3?上，则这组样本数据的样本相关系数为（）

A.-3B.0C.-1D.1

5.已知函数/（x）=sin（2cyx+°）（切>0,9>0）的最小正周期为兀，且则。的最小值

为（）

7171

A.4B.2C.兀D.2兀

6.设是两条不同的直线,a,£是两个不同的平面,aua/工力,则是“。，"，的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

7.已知S“是等差数列｛4｝的前〃项和，若q+%+%=4,£=10,则%=（）

1416207

A.9B.9C.9D.3

8.已知等边三角形ABC中，。是线段AC的中点，DE±AB,垂足为瓦尸是线段6。的中点，则力后

()

3535

A.--BD+-FCB.-BD--FC

8484

1313

-BD--FC--BD+-FC

84D.84

9.已知的二项展开式的各项系数和为32,则二项展开式中工的系数为（）

A.5B.10C.20D.40

14v

10.若两个正实数、，）‘满足一+—=1,且不等式x+4<m2-3m有解，则实数机的取值范围（）

xy4

A.(-1,4)B.(—l)u(4,

c.(~4，1)D.(f°)D(3,+8)

11.设函数〃x）=，若〃1）是的最小值,则实数。的取值范围为（)

X+1,X>1

A.[T2）B.[T。]C.口，2/口收）

2y-x<4

12.若直线y=k（x+l）与不等式组<3x-y«3表示的平面区域有公共点，则实数k的取值范围是（）

2x+y>2

A.S]B.I。？c.[々I]D.（-2,2]

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

/（X）=F+1,

13.函数1-3%,尤若/=则*=

14.已知集合4={一1，1，2,4},8={-1,0,2},则4B=.

1（4>0,。>0）

左支上一点，鸟是双曲线的右焦点，且双曲线的一条

15.已知点尸是双曲线2及

渐近线恰是线段PF2的中垂线，则该双曲线的离心率是.

16.将函数f（x）=26sinxcosx+2cos〜-1的图象向右平移°（8>°）个单位长度后，其函数图象关于

轴对称，则夕的最小值为_.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

”、x\nx/八、

/（%）=-------,（。>0）_

17.（12分）已知函数"a。当。=1时，求函数,=/（乃在》=1处的切线方程；求函

数/（x）在,，2句上的最小值；证明：Vxw（0,4w）,都有mex.

18.（12分汨知等比数列{4}是递增数列，其公比为4,前〃项和为S",并且满足4+4+/=28卢+2

,.1

（\d=a，，.log2_T

是&和%的等差中项.求数列1凡）的通项公式；若4,4=4+4++2,求使

式+”,2，,+1=30成立的正整数n的值.

19.（12分）为了了解校园噪音情况，学校环保协会对校园噪音值（单位：分贝）进行了50天的监测，得

到如下统计表：

噪音值（单位：分贝）[55,57](57,59](59,61](61,63](63,65](65,67]

频数14122085

（1）根据该统计表，求这50天校园噪音值的样本平均数（同一组的数据用该组组间的中点值作代表）.

根据国家声环境质量标准：“环境噪音值超过65分贝，视为重度噪音污染；环境噪音值不超过59分贝，

视为轻度噪音污染.”如果把由上述统计表算得的频率视作概率，回答下列问题：求周一到周五的五天中恰

有两天校园出现重度噪音污染而其余三天都是轻度噪音污染的概率.学校要举行为期3天的“汉字听写大

赛”校园选拔赛，把这3天校园出现的重度噪音污染天数记为X,求X的分布列和方差0（X）.

20.（12分）已知+当“=1时，求不等式/。）＜3的解集；设关于x的不等式/（x）＜3

有解，求”的取值范围.

21.（12分）如图，四边形ABC。为正方形，E,尸分别为AZZBC的中点，以。尸为折痕把△OR7折

起，使点C到达点P的位置，且PFLBF.证明：平面PEFL平面A8FQ；求DP与平面ABF。所成

角的正弦值.

22.（10分）己知函数/（力=加一产（4€用，/'（X）是"X）的导数（e为自然对数的底数）.

I.当a=l时，求曲线y=/（x）在点（0,/（0））处的切线方程；

II.若当x2°时，不等式/（*）,一工一1恒成立，求实数a的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1、A

2、B

3、A

4、C

5、D

6、A

7、A

8、C

9、B

10、B

11、C

12、B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、1

14、｛T©

15、石

71

16、3

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(l)y=x-l；(2)答案见解析；(3)证明见解析.

【解析】

试题分析：

(1)利用导函数研究函数的切线方程可得切线方程为y=x-\

I1(1\1

(2)分类讨论可得：当a2—时，f(x),，而=/(a)=需；当—<a<2a,f(x),“j“=f-=----；当

ccIe/ae

时，/(6.而=/(2。)=2山(2。)

(3)构造新函数g(x)=xlnx,结合⑴的结论和不等式的特点研究函数的最值即可证得题中的结论.

试题解析：

(1)a=l时，/(x)=xlnx,/,，(A：)-lnx+1

切线斜率左=/'。)=1,切点为(1,0),切线方程为y=x-l

(2)/〈X)=+1,令/"(x)=0=x=，

ae

①当aN［时，/"(x)>0,/(x)在［a,2可上单调递增，

:厅增疝,=f(G=lna；

②当1<a<2a,即时，/'(x)在a,-上单调递减，在-,2a上单调递增，

e2eeee

・•.f(x)而“=f7

③当aS，时，/'（耳<0,/（%）在,,2可上单调递减,

・••/（x）,””=/（2a）=2/〃（2a）

x2

（3）要证的不等式两边同乘以元，则等价于证明工/招>丁-一

ee

令g(x)=xlnx,则由（1）知二/（4而=/

Y21—r

令夕（尤）=/一工，则“3=7；-,当0cx<1时，d（x）>0,9（x）递增；

当x>l时，”（力<0,0（x）递增减；.•.0（x）3=e⑴=-g

所以.加=*（力…,且最值不同时取到,即X如;>/-工

]2

Vx€（0,+00）,都有/ZLV>------o

e'ex

点睛：导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在

历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，

对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：⑴考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联

系.（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数.（3）利用导数求函数的最值（极

值），解决生活中的优化问题.（4）考查数形结合思想的应用.

18,(I)a,=2"；(H)n=4.

【解析】

【分析】

（I）设等比数列的公比为4,根据题意，得2（%+2）=28一4，解得小=8,进而联立方程组，求得

%=2,q=2,即可求解数列的通项公式；

（II）由（I）得a=a,jlog2，=-〃-2”,利用乘公比错位相减法，即可求解。

【详解】

（I）依题意，设等比数列的公比为q,

&+氏+见=28

贝“2⑷+2）=4+%,即2（4+2）=28i，解得的=8.

所以4+4=2。.

%=32,

a闻+《/=204=；’或，

于是有府=&解得:

[<7=2，1

qf

又｛为｝是递增的，故q=2闯=2,所以4=2”.

(H)=«„-log2—=-n-2",

a.

XX2X

Tn=bx+b2++&„=-(12+22++〃2")①

贝U27；,=-(1X22+2X23++〃X2"T)②

②-①，得(,=(2+22++2")-〃2•一2—〃心向，

即数列也｝的前〃项和7；=2n+1-2-n-2n+1,

则7；+〃2"M=2"M-2=30,

即2向=32,解得〃=4.

【点睛】

本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法”，此类题目是数列问题中

的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在

“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算

能力等.

19、⑴61.8；⑵⑴焉而;(ii)答案见解析.

【解析】

试题分析：根据该统计表，同一组的数据用该组组间的中点值作代表，可求这50天校园噪音值的样本平

均数；

(2)(i)由题意，“出现重度噪音污染”的概率为“出现轻度噪音污染”的概率为，，

设事件A为“周一至周五的五天中恰有两天校园出现重度噪音污染而其余三天都是轻度噪音污染”,利用独

立重复试验的概率可求求周一到周五的五天中恰有两天校园出现重度噪音污染而其余三天都是轻度噪音

污染的概率.

(ii)由题意，服从二项分布，求X的分布列和方差。(Xb

56x1+58x4+60x12+62x20+64x8+66x5

试题解析：(1)由数据可知无----------------------------------------=61.8o

50

(2)由题意，“出现重度噪音污染”的概率为

“出现轻度噪音污染”的概率为士，

设事件4为“周一至周五的五天中恰有两天校园出现重度噪音污染而其余三天都是轻度噪音污染”，则

(3)由题意X~B贝!lP(X=A:)=C；，4二0,1,2,3.

故分布列为

X0123

729243271

P

1000100010001000

O(X)=/^(l-p)=Q27

20、(1)(-2,1)；(2)一3<a<3.

【解析】

【分析】

(1)当。=1时，利用零点分段法去绝对值，将/(力转化为分段函数的形式，并由此解出不等式的解集.

(2)先利用绝对值不等式求得/(x)的最小值，这个最小值小于3,由此列不等式，解不等式求得。的取

值范围.

【详解】

X<—1

解：(1)当。=1时，不等式尤+l+x<3等价于〈(「

-(x+l)-x<3

'-l<x<0

或，，

(x+l)-x<3

x>0

或(%+1)+%<3'

解得一2〈尤<一1或一1Wx<0,即0<x<l.

所以不等式/(力+尤<3的解集是(一2,1).

(2)由题意得/(犬,皿<3,

因为/(九)=k+4+国之,+4—才=时，故<3,—3<〃<3,

【点睛】

本小题主要考查零点分段法解绝对值不等式，考查不等式存在性问题的求解方法，属于中档题.

21、(1)证明见解析；(2)旦.

4

【解析】

【分析】

(D首先从题的条件中确定相应的垂直关系，即BFVEF,又因为PFEF=F,利用线

面垂直的判定定理可以得出平面PE尸，又BFu平面A8FO,利用面面垂直的判定定理证得平面

PEFABFD；

(2)结合题意，建立相应的空间直角坐标系，正确写出相应的点的坐标，求得平面ABFZ)的法向量，设

UIWUUHr±厂

0P与平面所成角为。，利用线面角的定义，可以求得Sin8=盘俄=与=也，得到结果.

|//P|-|Z)P|<34

【详解】

(1)由已知可得，BE工PF,BE1EF,又PFEF=F,所以平面PEF.

又BFu平面ABFD,所以平面PEF_L平面ABFD；

(2)作PH上EF,垂足为".由(1)得，2”，平面48/70.

以“为坐标原点，”产的方向为轴正方向，河|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系”一型.

由(1)可得，DE工PE.又DP=2,DE=\,所以PE=由.又PF=1,EF=2,故PE1PF.

可得PH=叵,EH=2.

22

则”(0,0,0),尸0,0,手,0b1,_|,0),02=(⑸

HP=0,0,^-为平面的法向

UUS，UUB，3

HPDP4

设。P与平面A8FD所成角为。，贝!1sin<9=jwcr一出必

I研|回耳一4

所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为旦.

4

【点睛】

该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的证明以及线面角的正弦值的求解，属于

常规题目，在解题的过程中，需要明确面面垂直的判定定理的条件，这里需要先证明线面垂直，所以要明

确线线垂直、线面垂直和面面垂直的关系，从而证得结果；对于线面角的正弦值可以借助于平面的法向量

来完成，注意相对应的等量关系即可.

1

22、I.x+y+l=0；ILae—oo—

2

【解析】

【分析】

L利用解析式和导数分别求解出切点坐标和斜率，根据点斜式方程写出切线方程；H.将问题转化为

g(x)=ac2-e，+x+iwo在［o,+8)上恒成立；当时，根据导数可验证出g(x)单调递减，从而满

足恒成立的结论：当时，根据导数可知xe［0,ln2a)时，g(x)单调递增，导致不等式不恒成立，

从而可确定。的范围.

【详解】

2xzv

L当。=1时，/(x)=x-e9/(x)=2x-e

则/(())=0_浮=_1,./(0)=0_6°=_1

「•切线方程为：y+l=-l(x-O),即冗+y+l=O

IL当xNO时，/(%)<—x—1恒成立，即：依2一产+工+1<0在［0,包)上恒成立

设g(x)=or2-ex+x+l

则g'(x)=2cix-ex+1,g"(x)=2Q-ex

①当时，2a<1,此时,2e°=l,贝Ug"(x)W0

可知g'(x)在［0,4w)上单调递减，则g'(x)<g'(O)=0

Ag(x)在［0,”)上单调递减g(x)«g(0)=0

即/(x)«-恒成立.•・a〈g满足题意

②当时，令g"(%)=0,解得：x=\n2a

当x«0,ln2a)时，g"(x)>0,则g'(x)单调递增

此时g〈x)之g<0)=0,则g(尤)在［0,ln2a)上单调递增

\g(x)?g(0)0

BP^xe［0,ln2a)时，/(x)>-x-l

即/(x)«-x—l不恒成立，可知a>；不合题意

综上所述，ae|^-oo,1

【点睛】

本题考查导数的几何意义、利用导数解决不等式恒成立问题，处理自变量取值范围的临界点恰为恒成立的

式子取等号的点的恒成立问题时，通常采用构造函数的方式，将问题转变成与零的大小比较，根据导数符

号恒定即函数单调性恒定，确定取值范围；再说明在所得范围的补集上不恒成立，从而使问题得以解

决.2019-2020高考数学模拟试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.在锐角AABC中，角A,B,C所对的边分别为a，b,c,若smA=¥，2=3母4四©=2也，贝!|b的值为（）

A.6B.3C.2D.2或3

2.若在/+丁241所围区域内随机取一点，则该点落在N+»|W1所围区域内的概率是（）

_12

A.兀B.71C.2TtD.兀

3.杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡

（1623-1662）是在1654年发现这一规律的.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里

出现了如图所示的表，这是我国数学史上的一个伟大成就.如图所示，在“杨辉三角”中，去除所有为1的

项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,则此数列前135项的和为（）

l8l8,7,7

A.2-53B.2-52c.2-53D.2-52

4.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n,x的值分别为3,2,

则输出v的值为

A.9B.18C.20D.35

5.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近

圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14,这就

是著名的“徽率”.小华同学利用刘徽的“割圆术”思想在半径为1的圆内作正〃边形求其面积，如图是其设计

的一个程序框图，则框图中应填入、输出〃的值分别为（）

B.S=-xnxsin^-,18

A.S=—xnxsin----,24

2n2n

S=L〃xsin幽＞,545=-xnxsin^-,18

C.2nD.2n

6.直线/:&+y+4=0（2GR）是圆C：x2+/+4x—4y+6=o的一条对称轴，过点A（（）,Z）作斜率为

1的直线，〃，则直线机被圆。所截得的弦长为（）

V2

A.2B.^2C,V6D.2&

7.已知。〉0,函数/（x）=cos（3X+丁）在（二,4）上单调递增，则0的取值范围是（）

42

6白已争U

A.24B.24c.44D.24

8.已知抛物线％2=4y上有一条长为8的动弦AB,则弦AB的中点到x轴的最短距离为（）

A.2B..3C.4D.5

2

9.在△ABC中，|C4|=1,|C叫=2,NACB=§乃，点”满足CAI=C3+2CA，则加4.朋8=

A.0B.2C.2百D.4

10.已知函数f（x）=|ln|l+x||,若存在互不相等的实数％,x2,毛，/，满足

f{\）=/（X,）=f（x3）=f（x4）,则/（fg）=（）

z=i2

A.0B.1C.2D.4

11.若X为实数，贝!1“交〈了«2a”是“2夜4土上243''成立的（）

2x

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

TT7T

12.已知函数/（x）=sin（口x+。）（。>0,\（p\<-\其图象相邻两条对称轴之间的距离为i，将函数

y=/（x）的图象向左平移转个单位后，得到的图象关于y轴对称，那么函数y=/（x）的图象（）

16

7171

A.关于点（一7,。）对称B.关于点（7,0）对称

1616

7171

X----X-----

C.关于直线16对称D.关于直线4对称

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设函数/（x）=（.+0）cosx（"0）,若/（—2017）=1,5^/（2017）=.

x+2y>0

"x->,<0

14.若变量x,y满足约束条件〔"一2〉+23°,则z=2“一），的最小值等于.

r，

15.已知函数JU）=+isinx则满足不等式/I"।）+/（2"）<。成立的实数m的取值范围是

22

土-匕=1

16.过双曲线。2b23>°，">°）的右焦点小作渐近线的垂线，垂足为P,且该直线与）'轴的交点

为。，若归（。为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

/(x)=sinf2x+—j+2sin2

.求函数,（x）的最小正周期和单调递减区间；在

17.（12分）已知函数

/⑷=3

A48C中，a/,。分别是角A,B,C的对边，若'（2）5,b+c=7•BC的面积为26,求边。的

长.

18.（12分）每年七月份，我国J地区有25天左右的降雨时间，如图是J地区S镇2000-2018年降雨量（单

位：mm）的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答下列问题:

假设每年的降雨天气相互独立，求S镇未来三年里至少有两年的降雨

量不超过350mm的概率；在S镇承包了20亩土地种植水果的老李过去种植的甲品种水果，平均每年的总

利润为31.1万元.而乙品种水果的亩产量m（kg/亩）与降雨量之间的关系如下面统计表所示，又知乙品

种水果的单位利润为32-0.01xm（元/kg）,请帮助老李排解忧愁，他来年应该种植哪个品种的水果可以使

利润&（万元）的期望更大？（需说明理由）;

降雨量[100,200)[200,300)[300,400)[400,500)

亩产量500700600400

x=Zcosa

V

19.(12分)在直角坐标系xOy中，直线1的参数方程为U='sinaa为参数)，在以坐标原点为极点,

x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线£/=2cos',曲线2I3力求G的直角坐标方程；

若直线I与曲线分别相交于异于原点的点M,N,求IMNI的最大值.

20.(12分)为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对10()名家用轿车驾驶员进行调查，

得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40

人，不超过100km/h的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有20人，不超过

100km/h的有25人.完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的

人与性别有关.

平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计

男性驾驶员人数

女性驾驶员人数

合计

(2)以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中

驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X,若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数

学期望.

参考公式与数据：

2

P(K>k0)0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001

2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

K-Mad-bcg

(a+b)(c+d)(a+c)(O+d),其中〃=a+b+c+d.

21.(12分)为了调查民众对国家实行“新农村建设”政策的态度，现通过网络问卷随机调查了年龄在20

周岁至80周岁的100人，他们年龄频数分布和支持“新农村建设”人数如下表：

年龄[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80]

频数102030201010

支持“新农村建设”311261262

(1)根据上述统计数据填下面的2x2列联表，并判断是否有95%的把握认为以50岁为分界点对“新农村

建设”政策的支持度有差异;

年龄低于50岁的人数年龄不低于50岁的人数合计

支持

不支持

合计

(2)为了进一步推动“新农村建设”政策的实施，中央电视台某节目对此进行了专题报道，并在节目最后

利用随机拨号的形式在全国范围内选出4名幸运观众(假设年龄均在20周岁至80周岁内)，给予适当的

奖励.若以频率估计概率，记选出4名幸运观众中支持“新农村建设”人数为J，试求随机变量J的分布列和

数学期望.

参考数据:

P(K2>k)0.1500.10()0.0500.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

2

2_n(ad-bc)

参考公式：(a+b)(c+d)(a+c)(0+d),其中〃=a+b+c+d.

22.(10分)如图所示，直三棱柱ABC--A|B1G的底面是边长为2的正三角形，E,F分别是BC,CG

的中点.

证明：平面AEFL平面BiBCG；若直线AC与平面AiABBi所成的角为45。，求

三棱锥F-AEC的体积.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1、D

2、B

3、A

4、B

5、C

6、C

7、D

8、B

9、A

10^A

11、B

12、B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、1

5

2

16、Z

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

JT、兀

17、（1）最小正周期7=万，单调递减区间是伙万+7,攵万+二］（左eZ）；（2）。=5.

36

【解析】

试题分析:

JT/rr

（1）解析式可化为/（x）=sinlx--+1,由此可得最小正周期，将2》-二代入正弦函数的增区间，

I6/6

求得X的范围即可得到函数的单调增区间.（2）由/（9）="|可得4=三，根据A4BC的面积为2g可

得6c=8,然后由余弦定理可得a=5.

试题解析：

，f(x)的最小正周期Tn

2

,,7Tc71~,31,r

由2k,7i~\—<2x---42k/iH----,kQZ,

6

5n

xvkx+—,(k€Zh

6

，函数IN的单调递减区间是出『［kxikGZ).

(2)由(1)得f(x)sinQx--)-1,

6

/(­)=sin(A-7)+1=j，

:.sin(A~—)=—,

62

…五x5冗

•--<A--<一

666

••A-一-

3

又SMBC=g8csin|=^bc=2百,

**•be89

由余弦定理得b"-c"-2bcco§3(b*c)2-3bc，

又，

•••a?=72-3x8=25，

•«a=5.

点睛：利用正、余弦定理求解三角形面积问题的题型与方法

(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的各个边角后，直接求三角形的面积.

(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他各量.

(3)求三角形面积的最值或范围，这时一般要先得到面积的表达式，再通过基本不等式、三角函数的最值等

方法求得面积的最值或范围.

18、(1)之；(2)乙品种杨梅的总利润较大.

【解析】

【分析】

(1)由频率分布直方图中矩形面积和为1,计算第四组的频率，再求出第三组矩形面积的一半，求和即

可求出对应的概率值，再利用独立重复试验概率公式可得结果；(2)根据直方图求随机变量的概率，可得

随机变量J的分布列，求出乙品种杨梅的总利润的数学期望，与过去种植的甲品种杨梅平均每年的总利润

为28万元比较得出结论和建议.

【详解】

(1)频率分布直方图中第四组的频率为1-l(X)x(().002+().(X)4+0.003)=0.1

该地区在梅雨季节的降雨量超过350〃〃〃的概率为50x0.003+0.1=0.25

所以该地区未来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过350相〃?的概率为

xfi-11+C^f-l=—+—=—(或0.15625.)

I4J\4j646432

（2）据题意，总利润为20〃（32-0.01〃）元，其中“=500,700,600,400.

所以随机变量J（万元）的分布列如下表:

1273531.222.4

P0.20.40.30.1

故总利润&（万元）的期望

魅=27x0.2+35x0.4+31.2x0.3+22.4x0.1=5.4+14.0+9.36+2.24=31（万元）

因为31>28,所以老李应该种植乙品种杨梅可使总利润J（万元）的期望更大.

【点睛】

本题主要考查频率分布直方图的应用以及离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题.直方图的主要性

质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为1；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每

个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值；（4）直方图左右两边面积相等处横

坐标表示中位数.

22

19、（I）x+y--x-^y=0;（IDG

22

【解析】

【分析】

（I）将极坐标方程化为P2=gpcose+#oin6,然后再结合转化公式求解即可.（II）由于点",N

同在直线。=a上，故可根据M,N两点的极径差的绝对值来求出然后再求出其最大值.

【详解】

（I）极坐标方程0=cos（6-可化为Q=gcos6+】，sine

所以p1=；/?cos9+^/?sine，

将/7cosg=x,/?sine=y,p2=/+丁代入上式可得/+/,

所以曲线G的直角坐标方程为V+V一gx—#y=o.

（II）不妨设OWa〈万，点M,N的极坐标分别为（4a）,（22，。），

6=a

由Vc八，得到Q]=2cosa.

p=2cose

0=a

由,得至监=cos

p-cos仁)

所以=\P\~P­\=2cosa-cosa——--cosa------sincr=V3s山a--

因为0<a<7i,

TTTT2^^

所以一；<~r~，

333

所以当a—£=即&=竺时，|MN|取得最大值JL

326

【点睛】

本题考查极坐标和直角坐标间的转化，合理利用转化公式求解是解题的关键.对于极坐标系内的长度问题,

根据题意可利用极径差的绝对值求解，此时要求两点应为同一条直线与一条曲线或两条曲线的交点，注意

转化的合理性.

20、(I)表格见解析，有关(II)|

【解析】

【分析】

(I)根据题目中的数据，完成列联表，求出长2=8.13>7.879,从有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h

与性别有关.

(H)记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过lOOkm/h的车辆数为X,推导出X服从二项分布,即B

由此能求出在随机抽取的10辆车中平均有4辆车中驾驶员为男性且车速超过lOOkm/h.

【详解】

(I)

平均车速超过1QOhn/h人数平均车速不超过1QOkm/h人数合计

男性驾驶员人数401555

女性驾驶员人数202545

合计6040100

因为丁=100x(40x25空2。)二.429>7.879,

60x40x55x45

所以有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h与性别有关；

(U)根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车

402

速超过100km!h的车辆的概率为—

X可取值是0,1,2,3,X3,y，有:

03

p(x=o)=c；联J唱，g)=喧闾

(230

P(X=2)=C；51(1

X的分布列为

X0123

2754368

P

U5?25725125

ic27154c36°86

E1r\X)=0x---1-1x---1-2x---F3x=—.

,)1251251251255

【点睛】

本题考查独立性检验的应用，考查概率的求法及应用，考查二项分布的性质等基础