2019-2020普通高等学校招生全国统一考试数学理解析版

1、普通高等学校招生全国统一考试数学理试题解析本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，第I卷1 1 至 2 2 页，第n卷第 3 3 至 6 6 页。第n卷第2121 题为选考题，其他题为必考题。满分150150 分。注意事项：1.1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。考生要认真核对答题卡上 粘贴的条形码的 准考证号，姓名”与考生本人准考证号，姓名是否一致。2.2.第I卷每小题选出答案后，用2B2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第n卷用0.50.5 毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答

2、，答案无效。3.3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。参考公式：样本数据 Xi,X2, - Xa的标准差锥体体积公式S = j(Xi_X)2+(X2_X)2+ +(Xn_X)2- n第I卷 （选择题共 50 分）一、选择题：本大题共10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.i 是虚数单位，若集合 S1e53-2eX2H0,而e51- ex-2eX22e丁-2eX0,则e51-e%Xi-X3=0,即f(xJ = f(X3)，与函数f (x)为单调增函数矛盾故只有判断正确，答案应选 Bo二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分

3、，共 20 分，把答案填在答题卡的相应位置。11._运行如图所示的程序，输出的结果是o解析：a=a b=1,2=3，答案应填 3.12._三棱锥 P-ABC 中，PA!底面 ABC, PA=3,底面 ABC 是边长为 2 的正三角形，则三 棱锥 P-ABC 的体积等于oAAA解析：V =PASABC二一3 - 2 2 sin603，答案应填、3.33213.何种装有形状、大小完全相同的 5 个球，其中红色球 3 个，黄色球 2 个。若从中随机取出 2个球，则所取出的 2个球颜色不同的概率等于 _o解析：C1c1P_C52-0.6，答案应填0.6o14._ 如图，ABC 中，AB=AC=2, B

4、C=23，点 D 在 BC 边上，/ ADC=45,贝 U AD 的长度等于 _解析：在 ABC 中，AB=AC=2, BC=2石 中，艺ACB=NABC=30，而/ ADC=45 ,AC ADAD=应,sin 45 sin 30解析：A(xi,ex,Xi), B(x2,ex2X2),C(xa,ex3X3),x,X3=2X2X3X2BA-I不妨设x,: x3，贝 UX)：x2: x3,BA BC : 0, ABC ，定是钝角三角给出以下&5答案应填.2 o615设 V 是全体平面向量构成的集合，若映射f :V R满足：对任意向量&=(人，)V,b = (X2,y2)V,以及任意

5、， R,均有( a = (1-)b)二 .(a) (1- ) (b),则称映射 f 具有性质 P。先给出如下映射：1人：V R, f2(m)二x, -y,m =(x,y) V;22f2: V R, f2(m) = x y,m = (x, y) V;3f3:V R, f3(m) = x y 1,m = (x, y) V.其中，具有性质 P 的映射的序号为 _。(写出所有具有性质 P 的映射的序号)解析：h(m)二x - y, ( a (1 - )b)=右(捲(1 - )x2, %(1 - )y2)二 X! (1 -；)x2一(1y2=(X!-) (1-；)(x2- y2) = f (a) (1-

6、 ；Jf (b)具有性质 P 的映射，同理可验证 符合，不符合，答案应填.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16. (本小题满分 13 分)13已知等比数列a*的公比 q=3,前 3 项和 S3=(I) 求数列a*的通项公式；(II)若函数f (x)二Asin(2x )(A . 0,0 ；.；：p：二)在x处取得最大值，且最大值为a3，求函数 f (x)的6解析式。17. (本小题满分 13 分)已知直线 I: y=x+m, m R。(I)若以点 M (2,0)为圆心的圆与直线 I 相切与点 P,且点 P 在 y 轴上，求该圆的方程；(II)

7、若直线 I 关于 x 轴对称的直线为 ，问直线与抛物线C:x2=4y 是否相切？说明理由。18. (本小题满分 13 分)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格 x (单位：元/千克)满足关系a2式y10(x -6)，其中 3x0, b0).0)，所以AB =.55(ii)假设在线段 AD 上存在一个点 G，使得点 G 到点 P, B，C，D 的距离都相等, 设 G(0，m，0)(其中0空m岂4t)T则GC = (1,3 -1 - m,0), GD =(0,4-t - m,0), GP =(0, -m, t)，由|GC |=| GD |得(4 -t - m

8、)2二m2 t2，(2)L-由(1)、(2)消去 t，化简得m2-3m+4=0(3)由于方程(3)没有实数根，所以在线段 AD 上不存在一个点 G， 使得点G 到点 P，C, D 的距离都相等。从而，在线段 AD 上不存在一个点 G,使得点 G 到点 P, B, C, D 的距离都相等。解法二：(I) 同解法一。(II)(i)以 A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz (如图)在平面 ABCD 内，作 CE/AB 交 AD 于 E,则CE _ AD。在平面 ABCD 内，作 CE/AB 交 AD 于点 E,则CE _ AD.在Rt CDE中，DE=CD cos45 =1,CE =CD s

9、in45 =1,设 AB=AP=t,则 B (t, 0, 0) , P (0, 0, t) 由AB+AD=4,得 AD=4-t,15这与 GB=GD 矛盾。所以在线段 AD 上不存在一个点 G，使得点 G 到点 B, C，D 的距离都相等， 从而，在线段 AD 上不存在一个点 G，使得点 G 到点 P，B，C, D 的距离都相等。21 . (1)选修 4 2 :矩阵与变换本小题主要考查矩阵与交换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满分所以E(0,3 _t,0), C(1,3 _t,0), D(0,4 _t,0),CD= (-1,1,0), PD =(0,4-t,-t).设平面 P

10、CD 的法向量为n =(x,y,z),_x + y = 0由n_CD,n_ PD，得(4_t)y _tx = 0.取x=t，得平面 PCD 的一个法向量n =t,t,4 t,又PB -(t,0, -t)，故由直线 PB 与平面 PCD 所成的角为30，得cos 60 =|启1,即2|2t _4口.t2t2(4 -t)2.2x24解得t或t = 4(舍去，因为 AD =4-1 0)，54所以AB二4.5(ii)假设在线段 AD 上存在一个点 G,使得点 G 到点 P, B, C，D 的距离都相等,由 GC=CD 得NGCD =NGDC =45，从而CGD =90，即CG _ AD,GD二CD s

11、in45 =1,设AB = ,则AD=4-,AG二AD -GD =3 -，在Rt ABG中，GB二.AB2AG2二2(3 -，)2912解：(I)设矩阵 M 的逆矩阵则MM10o1丿2 0 ，所以2 0 f、1 02 30 3 说y2丿0 1y1丫2又M丄所以2% = 1,2% = 0,3x2= 0,3y2=1,即 二% =0,X2 =027 分。2,316r故所求的逆矩阵M二=20（II） 设曲线 C 上任意一点P （x,y）,又点P（x,y）在曲线C上,y2=12 2b y =1为曲线 C 的方程,二4,=1.a = 2又a 0,b0,所以b = 1.（2）选修 4 4:坐标系与参数方程本

12、小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、椭圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想。满分 7 分。解：（I）把极坐标系下的点P（4,）化为直角坐标，得 P（0，4）。2因为点 P 的直角坐标（0, 4 ）满足直线I的方程x - y 4 = 0,所以点 P 在直线I上，（II）因为点 Q 在曲线 C 上，故可设点 Q 的坐标为（、.3cos，si n：），从而点 Q 到直线I的距离为31d J亦cos。gjn鼻+4 | =2COSe；F + 4 = cos0+勺 +2，V2V26由此得，当cos（ 6）= _1时，d取得最小值，且最小值为2.（3）选修 4 5:不等式选讲本小题主要考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归