第1章函数极限与连续 §1.7 函数连续性与间断点

1、高等数学高等数学 函数极限与连续函数极限与连续1.7 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点第第1章章 函数极限与连续函数极限与连续1.7 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点 1.7函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点高等数学高等数学 函数极限与连续函数极限与连续1.7 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点高等数学高等数学 函数极限与连续函数极限与连续1.7 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点高等数学高等数学 函数极限与连续函数极限与连续高等数学高等数学 函数极限与连续函数极限与连续1.7 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点 1.7函数的连续性与间断点函数的连续性与

2、间断点一、函数的连续性函数的连续性1函数在某点处连续的定义函数在某点处连续的定义1221uuuuu与初值，则终值变到终值从它的一个初值设变量即即记记作作改改变变量量处处的的增增量量在在称称为为变变量量之之差差,)(112uuuuu .12uuu 1.7 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点高等数学高等数学 函数极限与连续函数极限与连续念念下下面面引引进进变变量量增增量量的的概概高等数学高等数学 函数极限与连续函数极限与连续1.7 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点定义定义1.7.1 ,)(0的某一邻域内有定义在点设xxfy 相应的函数值从时变到在此邻域内从当自变量,00 xxxx 作

3、记变到),()(00 xxfxf ),()(00 xfxxfy 时，上式等价于当令xxx 0),()(0 xfxfy 处对应在为则称0)(xxxfyy 1.7 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点高等数学高等数学 函数极限与连续函数极限与连续图1-14y)(0 xfo0 xxx 0 x)(0 xxf y x .的增量于自变量增量 x 高等数学高等数学 函数极限与连续函数极限与连续1.7 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点可见可见 , 函数函数)(xf在点在点0 x)(xfy 在在0 x的某邻域内有定义的某邻域内有定义 , , )()(lim00 xfxfxx 则称函数则称函数.)(0

4、连续连续在在xxf(1) )(xf在点在点0 x即即)(0 xf(2) 极限极限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx 设函数设函数连续必须具备下列条件连续必须具备下列条件:存在存在 ;且且有定义有定义 ,存在存在 ;定义定义1.7.2:定义定义 .)()(, 0, 000 xfxfxx恒有恒有时时使当使当高等数学高等数学 函数极限与连续函数极限与连续1.7 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点. 0 yx0lim)2()2(lim0fxfx 2)2(lim220 xx)(4lim20 xxx 例如，处是连续的，这是因为在点函数22 xxy1.7 函数的连续性与间

5、断点函数的连续性与间断点高等数学高等数学 函数极限与连续函数极限与连续0)()(limlim0000 xfxxfyxx)()(lim00 xfxfxx 连连续续在在函函数数0)(xxf)()(lim000 xfxxfxx 高等数学高等数学 函数极限与连续函数极限与连续1.7 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点定义定义1.7.3 左连续及右连续统称为单侧连续单侧连续. .)(0定义的某左（右）邻域内有在点设xxfy 处在点则称函数若左极限00)(),()(lim)1(0 xxfxfxfxx 处在点则称函数若右极限00)(),()(lim)2(0 xxfxfxfxx ;左连续.右连续1.7

6、函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点高等数学高等数学 函数极限与连续函数极限与连续2函数在某点处左、右连续的概念函数在某点处左、右连续的概念定理定理1.7.1 是处连续的充分必要条件在点函数0)(xxfy ).()(lim)(lim000 xfxfxfxxxx )(xfy x0 xyo )(xfy x0 xyo高等数学高等数学 函数极限与连续函数极限与连续1.7 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点对自变量的增量对自变量的增量,0 xxx 有有函数的增量函数的增量)()(0 xfxfy )()(00 xfxxf )(xfy xoy0 xxxy)()(lim00 xfxfxx )()(l

7、im000 xfxxfx 0lim0 yx)()()(000 xfxfxf左连续左连续右连续右连续,0 ,0 当当 xxx0时时, 有有 yxfxf)()(0函数函数0 x)(xf在点在点连续有下列连续有下列等价命题等价命题:小结：小结：高等数学高等数学 函数极限与连续函数极限与连续1.7 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点定义定义1.7.4 .)(,)(的的连连续续区区间间是是并并称称上上的的连连续续函函数数为为区区间间则则称称xfIIxf:注,)(上上的的每每一一点点都都连连续续在在区区间间若若函函数数Ixfy .连续处连续是指其在该点左右端点b连连续续，处处连连续续是是指指其其在在

8、该该点点右右在在区区间间左左端端点点axf)(1.7 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点高等数学高等数学 函数极限与连续函数极限与连续3函数在区间上连续性函数在区间上连续性高等数学高等数学 函数极限与连续函数极限与连续1.7 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点continue)()(lim, ),(000 xPxPxxx若若)(xf在某区间上每一点都连续在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上则称它在该区间上连续连续 , 或称它为该区间上的或称它为该区间上的连续函数连续函数 . ,baC例如例如,nnxaxaaxP 10)(在在),( 上连续上连续 .( 有理整函数有理整函数

9、)又如又如, 有理分式函数有理分式函数)()()(xQxPxR 在其定义域内连续在其定义域内连续.在闭区间在闭区间,ba上的连续函数的集合记作上的连续函数的集合记作只要只要,0)(0 xQ都有都有)()(lim00 xRxRxx 高等数学高等数学 函数极限与连续函数极限与连续1.7 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点例例1.7.1证证 .),(sin内连续在区间证明 xy则任取),( xxxxysin)sin( ，由由22sinxx 122 xyxyyxsin, 00 即时，由夹逼准则得当.),(内连续在区间 ,2cos2sin2 xxx1.7 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点高

10、等数学高等数学 函数极限与连续函数极限与连续得得, 12cos xx，x 高等数学高等数学 函数极限与连续函数极限与连续1.7 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点解解 由初等函数的连续性知，由初等函数的连续性知， 例例1.7.2.0, 10, 00, 1)(性，在其定义域内的连续讨论函数 xxxxxxf内连续，又及在), 0()0 ,()(xf)(lim)0(0 xffx )1(lim0 xx.0)(处不连续在故 xxf图1-16y11 1 1x0如图1-16.1.7 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点高等数学高等数学 函数极限与连续函数极限与连续)(lim)0(0 xffx ,

11、1 )1(lim0 xx, 1 高等数学高等数学 函数极限与连续函数极限与连续1.7 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点例例1.7.3*解解 Ccxxcxxxf内连续，求常数在设),(|,|2| , 1)(2 |0,xcc由由知知因因为为,2, 1,2)(2 cxxcxcxcxxxf)(limxfcx 所所以以,2c )(limxfcx xcx2lim 1.7 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点高等数学高等数学 函数极限与连续函数极限与连续, 12 c)1(lim2 xcx高等数学高等数学 函数极限与连续函数极限与连续1.7 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点cxxfxf 必

12、在内连续，所以在又因为)(),()(,处连续处连续, 1)1(lim)(lim22 cxxfcxcx所以,2c )(limxfcx xcx2lim1.7 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点高等数学高等数学 函数极限与连续函数极限与连续,212cc 从而. 1 c解得高等数学高等数学 函数极限与连续函数极限与连续1.7 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点在在在在(1) 函数函数)(xf0 x(2) 函数函数)(xf0 x)(lim0 xfxx不存在不存在;(3) 函数函数)(xf0 x)(lim0 xfxx存在存在 , 但但)()(lim00 xfxfxx 不连续不连续 :0 x设设

13、0 x在点在点)(xf的某去心邻域内有定义的某去心邻域内有定义 ,则下列情形则下列情形这样的点这样的点0 x之一之一函数函数 f (x) 在点在点虽有定义虽有定义 , 但但虽有定义虽有定义 , 且且称为称为间断点间断点 . 在在无定义无定义 ;二、函数的间断点及其分类函数的间断点及其分类定义定义1.7.5 高等数学高等数学 函数极限与连续函数极限与连续1.7 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点例例1.7.4解解 .2, 121, 10, 1,1)(的间断点求函数 xxxxxxxf处无定义，在又因为1 , 0)( xxf.,)(1 , 0如图的间断点是故xfx xy1 图1-17 1 xy

14、yx0121231.7 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点高等数学高等数学 函数极限与连续函数极限与连续容易验证：对于),2 , 1()1 , 0()0 ,(0 x),()(lim00 xfxfxx 内连；在故)2 , 1()1 , 0()0 ,()( xf注：,)(2的间断点不是xfx .2)(的右邻域内无定义在这是因为 xxf高等数学高等数学 函数极限与连续函数极限与连续1.7 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点间断点分类间断点分类: :第一类间断点第一类间断点:)(0 xf及及)(0 xf均存在均存在 , )()(00 xfxf若若称称0 x, )()(00 xfxf若若称称

15、0 x第二类间断点第二类间断点:)(0 xf及及)(0 xf中至少一个不存在中至少一个不存在 ,称称0 x若其中有一个为振荡若其中有一个为振荡 , 称称0 x若其中有一个为若其中有一个为,为为可去间断点可去间断点 .为为跳跃间断点跳跃间断点 .为为无穷间断点无穷间断点 .为为振荡间断点振荡间断点 .高等数学高等数学 函数极限与连续函数极限与连续1.7 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点xytan) 1 (2x为其无穷间断点为其无穷间断点 .0 x为其振荡间断点为其振荡间断点 .xy1sin) 2(1x为可去间断点为可去间断点 .11)3(2xxyxoy1例如例如:xytan2xyoxyx

16、y1sin0高等数学高等数学 函数极限与连续函数极限与连续1.7 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点1) 1 (1)(lim1fxfx显然显然1x为其可去间断点为其可去间断点 .1,1,)(21xxxxfy(4)xoy211(5) 0,10,00,1)(xxxxxxfyxyo11, 1)0(f1)0(f0 x为其跳跃间断点为其跳跃间断点 .高等数学高等数学 函数极限与连续函数极限与连续1.7 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点内容小结内容小结)()(lim00 xfxfxx0)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左连续左连续右连续右连续)(. 2xf0

17、x第一类间断点第一类间断点可去间断点可去间断点跳跃间断点跳跃间断点左右极限都存在左右极限都存在 第二类间断点第二类间断点无穷间断点无穷间断点振荡间断点振荡间断点左右极限至少有一左右极限至少有一个不存在个不存在在点在点间断的类型间断的类型)(. 1xf0 x在点在点连续的等价形式连续的等价形式0lim0 yx高等数学高等数学 函数极限与连续函数极限与连续1.7 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点思考与练习思考与练习1. 讨论函数讨论函数231)(22xxxxfx = 2 是第二类无穷间断点是第二类无穷间断点 .间断点的类型间断点的类型.2. 设设0,0,sin)(21xxaxxxfx_,a时时提示提示:,0)0(f)0(f)0(fa0)(xf为为连续函数连续函数.答案答案: x = 1 是第一类