机械振动强迫振动

1、2.2 无阻尼自由振动无阻尼自由振动00) 0(,) 0(0 xxxxkxxm )cos(sincos21tAtAtAxnnnnnnxxarctgxxAxAxA0020200201)/(/,复习2.3 阻尼自由振动xckxxm 00)0(,)0(0 xxxxkxxcxm stAex (2.21) 解的形式)1cos()1sin1cos(22221tXetctcexntnntnnnd21 dnxxcxc/ )(,00201复习2.4 单自由度系统的简谐强迫振动单自由度系统的简谐强迫振动 简谐强迫振动指激励是时间简谐函数，它在工程结构的振动中经常发生，它通常是由旋转机械失衡造成的。 简谐强迫振动的

2、理论是分析周期激励以及非周期激励下系统响应的基础。通过分析系统所受的简谐激励与系统响应的关系，可以估计测定系统的振动参数，从而确定系统的振动特性。 利用可以产生简谐激励的激振器激励被测结构以分析其振动特性的方法，即所谓正弦激励方法，是测试系统振动特性最常用的方法之 ( )m xcxkxft (2.44)tkAtFtfcoscos)(0 (2.45)kFA/0定义222cosnnnxxxAt (2.46) (2.47)二阶常系数非齐次线性常微分方程 )cos(1tXexdtn瞬态响应 )cos(2tXx稳态响应 (2.48)cos(2tXxtkAtfcos)(激励稳态响应222cosnnnxxx

3、At代入得到 tAttttXnnncos)sincoscos(sin2)sinsincos)(cos(222令t=0和t=/20cos2sin)(sin2cos)(22222nnnnnXAX222)/2()/(1 nnAX2)/(1/2nnarctg解X和(2.49) (2.50) 求特求特解解激励幅值的大小只影响稳态响应的幅值，二者激励幅值的大小只影响稳态响应的幅值，二者之间成正比，并不影响稳态响应的相角。而激之间成正比，并不影响稳态响应的相角。而激励频率既影响稳态响应的幅值，也影响稳态响励频率既影响稳态响应的幅值，也影响稳态响应的相角。应的相角。)/(1/2cos)/2()/(1 )(22

4、222nnnnarctgtAtx)cos(2tXx代入得到(2.51)sin)0(,cos)0(0201011211XxxXxxxxxnn 求瞬态解sin)cos(sincos)cos(0001tXxXxtXxexddnntn得到 随着时间的增长，x1将趋于零。而且，即使方程(2.52)的初条件为零，x1也不恒为零。也就是说，在简谐激励下，即使初始时刻系统为静止，振动开始后仍有一段时间有瞬态响应。(2.52)分析与讨论：复频率响应 幅频特性与相频特性 tAxxxnnncos222 tAyyynnnsin222 (2.54) 在式(2.54b)两边乘1i然后与式(2.54a)对应相加 （b)（a

5、)iyxz令 tinnnAezzz222 (2.56)(2.55)根据欧拉公式 如果系统所受激励为tAAetfntincosRe)(22Rezx 如果系统所受激励为tAAetgntinsinIm)(22Imzy 稳态响应为 稳态响应为 (2.57)(2.58)它的模是系统的系统的放大因子放大因子 )(tiXez式式(2.56)的特解为的特解为)/(2)/(12nniiAXe代人式(256)可以得到(2.59)/(2)/(11)(2nniH定义222)/2()/(1 1)(nnH(2.60)()( )( )iiXeAHA He 复频率响应复频率响应 )()/2()/(1 222HAAXnn(2.

6、61)AXH/)(00)(FFkAkXHsFs0是弹簧力的幅值， F0是激励幅值。因此，放大因子又可以认为是稳态振动时弹簧力幅值与激励力幅值之比 ()( )( )iHHe 2)/(1/2)(nnarctg)cos()()(ReRe)(tHAeHAzxti(2.62)(2.63)(2.64)(2.65)(2.66)系统的复频率响应只取决于两个参数：激励频率和系统固有频激励频率和系统固有频率的比值率的比值(频率比频率比)和系统的阻尼比和系统的阻尼比以频率比为横坐标，系统的阻尼比为参数，分别以放大因子以频率比为横坐标，系统的阻尼比为参数，分别以放大因子和相角为纵坐标画图，可以得到系统的幅频特性图和相

7、频特和相角为纵坐标画图，可以得到系统的幅频特性图和相频特性图，它们直观地反映了放大因子、相角与频率比、阻尼比性图，它们直观地反映了放大因子、相角与频率比、阻尼比的关系，描述了振动系统的动态特性的关系，描述了振动系统的动态特性 当 1/21/2 时，放大因子没有峰值。这时在整个频率范围内，H() l。通常把 1/21/2称为小阻尼情况。只有在小阻尼情况下，放大因子 H() 才在0时有峰值，而且峰值H() max 1。所以，我们只讨论小阻尼的情况。由幅频特性图和相频特性图可以看出，在0, , n，这几个特殊点， H() 和(）分别为21)(,0)(, 1)0(nHHH2/)(,)(,0)0(n)/

8、(1/2cos)/2()/(1 )(22222nnnnarctgtAtx系统稳态振动时，惯性力、弹性力、阻尼力都是与激励同频率的简谐量，分别为)cos()()/()cos()(202tHFtHAmxmFnm )cos()()cos()(0tHFtHkAkxFs)sin()()/(2)sin()(0tHFtHAcxcFnd0, 1)(H1/nAkFX/01/n,)/(1)(2nH2020mFkFXnnnH/21)(2/cFkFXn00/21222)/2()/(1 1)(nnH将式 对/ n微分并令其结果为零。经计算可知峰值点在221/n品质因子与带宽当频率比 时，放大因子 达到最大值 定义 为系

9、统的品质因子Q（放大倍数）,即221/n)(Hmax)(Hmax)(H2max121)( HQ1, )2/(1Q Q较大时，共振峰比较尖锐，反之则比较平缓 1n2nn( )H2/)(QH满足的点称为半功率点12称为系统的带宽在带宽范围的信号能被放大，最少能放大2/Q倍 2 1/12n、Qn21在固有频率已定时，Q与成反比。若通过试验测得系统的Q值，可计算出系统的带宽和阻尼比。 思考：为降低在机械系统振动，Q设计得越小越好吗?2.4.3 能量关系与等效阻尼能量关系与等效阻尼 tdxAkWpcos阻尼力在一个周期内做的功为2222/2/)(2XckXHkAWnnp外力在振动的一个周期内对系统做的功

10、为 2/20222)(sinXcdttXcdxxcWc对于无阻尼系统，对于无阻尼系统，=0=0。当激励频率不等于系统的固有频率时，由式。当激励频率不等于系统的固有频率时，由式(2.75)知知Wp0，即在一个周期内外力没有对系统做功，因而系统无能量输入，即在一个周期内外力没有对系统做功，因而系统无能量输入 当激励频率等于系统固有频率，即= n时，由方程0)0(, 0)0(cos22xxtAxxnnn ttAtxnnsin21)(nkAtdxAkWnp/202221cos外力在一个周期内做的功为 这是个常数。这说明，无阻尼系统受简谐激励时，如果激励频率等于系统固有频率，由于系统无阻尼，因此外力对系统做的功全部转成系统的机械能即振动的能量。外力持续给系统输入能量，使系统的振动能量直线上升，振幅逐渐增大。由此可知，即使是无阻尼系统共振时，也需要一定的时间来积累振动能量。这在实际中很重要，有些机械结构在起动或停机时无法避免通过共振区，为避免在共振区给结构造成损坏，可以采用迅速通过共振区的办法来解决。等效阻尼等效阻尼 两个固态物体相互接触，当有相对运动或有相对运动趋势时产生干摩擦，即所谓库仑阻力。摩擦阻力与接触面正压力N成正比，其比例系数称为摩擦系数 NXWd42XcdxxcWcXNXCe4由于材料的内摩擦及其他原因，一部