2015年河南省濮阳市高三第一次质检数学（理）试题 （解析版）

1、2015届河南省濮阳市高三第一次质检数学（理）试题 （解析版）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分1（5分）已知集合A=x|0x2，B=x|（x1）（x+1）0，则AB=（） A （0，1） B （1，2） C （，1）（0，+） D （，1）（1，+）【考点】： 交集及其运算【专题】： 集合【分析】： 求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可【解析】： 解：由B中的不等式解得：x1或x1，B=（，1）（1，+），A=x|0x2=（0，2），AB=（1，2）故选：B【点评】： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2（5分）在复平面内，复数的对应点位于（） A

2、第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限【考点】： 复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义【专题】： 计算题【分析】： 利用复数的除法运算，将复数表示出来，根据复数的几何意义，即可得到答案【解析】： 解：复数=，复数在复平面内对应的点为（1，2），故复数 的对应点位于第四象限故选：D【点评】： 本题考查了复数的代数表示法以及几何意义，考查了复数的代数形式的乘法运算，解题时要认真审题复数的几何意义是复数和复平面内的点是一一对应关系属于基础题3（5分）如图，一个封闭的长方体，它的六个表面各标出A、B、C、D、E、F这六个字母，现放成下面三种不同的位置，所看见的表面上的字母已

3、表明，则字母A、B、C对面的字母依次分别为（） A D、E、F B F、D、E C E、F、D D E、D、F【考点】： 棱柱的结构特征【专题】： 计算题；空间位置关系与距离【分析】： 本题可从图形进行分析，结合正方体的基本性质，得到各个面上的字母，即可求得结果【解析】： 解：第一个正方体已知A，B，C，第二个正方体已知A，C，D，第三个正方体已知B，C，E，且不同的面上写的字母各不相同，则可知A对面标的是E，B对面标的是D，C对面标的是F故选D【点评】： 本题考查了正方体相对两个面上的字母问题，此类问题可以制作一个正方体，根据题意在各个面上标上字母，再确定对面上的字母，本题是一个基础题4（5

4、分）已知M经过双曲线S：=1的一个顶点和一个焦点，圆心M在双曲线上S上，则圆心M到双曲线S的中心的距离为（） A 或B 或C D 【考点】： 双曲线的简单性质【专题】： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 根据，M经过双曲线S：=1的一个顶点和一个焦点，可得圆心M到双曲线的右焦点与右顶点间的距离相等，从而可得圆心的横坐标为4，代入双曲线方程可得点M的纵坐标，即可求出圆心M到双曲线S的中心的距离【解析】： 解：M经过双曲线S：=1的一个顶点和一个焦点，圆心M到双曲线的右焦点与右顶点间的距离相等，圆心的横坐标为4，代入双曲线方程可得点M的纵坐标为yM=，点M到原点的距离|MO|=故选：D

5、【点评】： 本题考查了双曲线的标准方程，双曲线与圆的交汇问题，考查学生的计算能力，属于中档题5（5分）将函数y=sin2x（xR）的图象分别向左平移m（m0）个单位，向右平移n（n0）个单位，所得到的两个图象都与函数的图象重合，则m+n的最小值为（） A B C D 【考点】： 函数y=Asin（x+）的图象变换【专题】： 三角函数的图像与性质【分析】： 求出函数y=sin2x（xR）的图象分别向左平移m（m0）个单位，向右平移n（n0）个单位后的函数解析式，再根据其图象与函数的图象重合，可分别得关于m，n的方程，解之即可【解析】： 解：将函数y=sin2x（xR）的图象向左平移m（m0）个单

6、位，得函数y=sin2（x+m）=sin（2x+2m），其图象与的图象重合，sin（2x+2m）=sin（2x+），2m=，故m=（kZ），当k=0时，m取得最小值为；将函数y=sin2x（xR）的图象向右平移n（n0）个单位，得到函数y=sin2（xn）=sin（2x2n），其图象与的图象重合，sin（2x2n）=sin（2x+），2n=，故n=，当k=1时，n取得最小值为，m+n的最小值为，故选C【点评】： 本题考查函数y=Asin（x+）的图象变换，准确把握图象的平移变换规律是解决问题的关键所在6（5分）已知等比数列an的前n项和Sn，且a1+a3=，a2+a4=，则=（） A 4n1

7、B 4n1 C 2n1 D 2n1【考点】： 等比数列的性质；等比数列的前n项和【专题】： 计算题；等差数列与等比数列【分析】： 利用等比数列an的前n项和Sn，且a1+a3=，a2+a4=，求出q=，a1=2，可得an、Sn，即可得出结论【解析】： 解：等比数列an的前n项和Sn，且a1+a3=，a2+a4=，两式相除可得公比q=，a1=2，an=，Sn=4（1），=2n1，故选：D【点评】： 本题考查等比数列的通项与求和，考查学生的计算能力，确定数列的首项与公比是关键7（5分）执行如图所示的程序框图，任意输入一次x（0x1）与y（0y1），则能输出数对（x，y）的概率为（） A B C D

8、 【考点】： 选择结构【专题】： 算法和程序框图【分析】： 依题意，满足不等式组的x，y可以输出数对，读懂框图的功能即可计算概率【解析】： 解：依题意，不等式组表示的平面区域的面积等于1，不等式组表示的平面区域的面积等于，因此所求的概率等于故选：B【点评】： 本题主要考察程序框图和算法，属于基础题8（5分）曲线C1：y2=2px（p0）的焦点F恰好是曲线C2：（a0，b0）的右焦点，且曲线C1与曲线C2交点连线过点F，则曲线C2的离心率是（） A B C D 【考点】： 双曲线的简单性质【专题】： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 求出抛物线的焦点，曲线C1与曲线C2交点连线MN过

9、点F，由对称性可得，交线垂直于x轴，分别令x=c，x=，求得弦长，得到a，b，c的方程，再由离心率公式解方程即可得到【解析】： 解：曲线C1：y2=2px（p0）的焦点F（，0），则双曲线的c=，曲线C1与曲线C2交点连线MN过点F，由对称性可得，交线垂直于x轴，令x=c，代入双曲线方程得，y2=b2（1）=，解得，y=，则|MN|=，令x=，代入抛物线方程可得，y2=p2，即y=p，则|MN|=2p，则2p=，即有b2=2ac=c2a2，即有e22e1=0，解得，e=1+故选：D【点评】： 本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题9（5分）如图所示为某旅

10、游区各景点的分布图，图中一支箭头表示一段有方向的路，试计算顺着箭头方向，从A到H有几条不同的旅游路线可走（） A 15 B 16 C 17 D 18【考点】： 计数原理的应用【专题】： 计算题；转化思想【分析】： 根据分布图，要到H点，需从F、E、G走过来，F、E、G各点又可由哪些点走过来这样一步步倒推，最后归结到A，然后再反推过去；则可以这样作图，A至B、C、D的路数记在B、C、D圆圈内，B、C、D分别到F、E、G的路数亦记在F、E、G圆圈内，最后F、E、G各个路数之和，即得至H的总路数，即可得答案【解析】： 解：要到H点，需从F、E、G走过来，F、E、G各点又可由哪些点走过来这样一步步倒推

11、，最后归结到A，然后再反推过去得到如下的计算法：A至B、C、D的路数记在B、C、D圆圈内，B、C、D分别到F、E、G的路数亦记在F、E、G圆圈内，最后F、E、G各个路数之和，即得至H的总路数如下图所示，易得有17条不同的线路；故选C【点评】： 本题考查分步计数原理的运用，解题时注意分析的方法，最好不要一一列举，如必须列举时，注意按一定的次序，做到不重不漏10（5分）若函数f（x）的导函数在区间（a，b）上的图象关于直线x=对称，则函数y=f（x）在区间a，b上的图象可能是（）A B C D A B C D 【考点】： 函数的图象【专题】： 函数的性质及应用【分析】： 对于，直接由图象得出在a处

12、与b处切线斜率不相等，即可排除答案；对于，原函数为一次函数，其导函数为常数函数即可知道其满足要求；对于，先由图象找到对称中心即可判断其成立【解析】： 解：因为函数y=f（x）的导函数在区间（a，b）上的图象关于直线x=对称，即导函数要么图象无增减性，要么是在直线x=两侧单调性相反；对于，由图得，在a处切线斜率最小，在b处切线斜率最大，故导函数图象不关于直线x=对称，故不成立；对于，由图得，在a处切线斜率最大，在b处切线斜率最小，故导函数图象不关于直线x=对称，故不成立；对于，由图得，原函数为一次函数，其导函数为常数函数，故导函数图象关于直线 x=对称，故成立；对于，由图得，原函数有一对称中心，

13、在直线x=与原函数图象的交点处，故导函数图象关于直线 x=对称，故成立；所以，满足要求的有故选：D【点评】： 本题主要考查函数的单调性与其导函数之间的关系做这一类型题目，要注意运用课本定义，是对课本知识的考查，属于基础题，但也是易错题11（5分）在ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，则+的值为（） A B C D 1【考点】： 向量的共线定理【分析】： 设，将向量用向量、表示出来，即可找到和的关系，最终得到答案【解析】： 解：设则=（）故选A【点评】： 本题主要考查平面向量的基本定理，即平面内任一向量都可由两不共线的向量唯一表示出来属中档题12（5分）定义在R上的函数y=f（x）在（

14、，a）上是增函数，且函数y=f（x+a）是偶函数，当x1a，x2a，且丨x1a丨丨x2a丨时，有（） A f（x1）f（x2） B f（x1）f（x2） C f（x1）f（x2） D f（x1）f（x2）【考点】： 奇偶性与单调性的综合【专题】： 函数的性质及应用【分析】： 根据y=f（x+a）是偶函数，可得f（x+a）=f（x+a），根据x1a，x2a，丨x1a丨丨x2a丨，可得2ax1x2，且2ax1a，x2a，结合函数的单调性，即可得到结论【解析】： 解：y=f（x+a）是偶函数，有f（x+a）=f（x+a）f（x）关于x=a对称偶函数在（，a）上是增函数，在（a，+）上是减函数x1a，

15、x2a，丨x1a丨丨x2a丨，去掉绝对值得ax1x2a，即2ax1x2，且2ax1a，x2a由（a，+）上是减函数知f（2ax1）f（x2）f（x）关于x=a对称，f（2ax1）=f（x1）f（x1）f（x2）故选A【点评】： 本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13（5分）若点P（cos，sin）在直线y=2x上，则=【考点】： 任意角的三角函数的定义【专题】： 三角函数的求值【分析】： 由题意可得sin=2cos，tan=2，再利用两角和的正切公式求得的值【解析】： 解：点P（cos，sin）在直线y=2x上，sin

16、=2cos，tan=2=，故答案为：【点评】： 本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和的正切公式，同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题14（5分）直线y=1与曲线y=x2|x|+a有四个交点，则a的取值范围是（1，）【考点】： 二次函数的性质【专题】： 作图题；压轴题；数形结合【分析】： 在同一直角坐标系内画出直线y=1与曲线y=x2|x|+a的图象，观察求解【解析】： 解：如图，在同一直角坐标系内画出直线y=1与曲线y=x2|x|+a，观图可知，a的取值必须满足，解得故答案为：（1，）【点评】： 本小题主要考查函数的图象与性质、不等式的解法，着重考查了数形结合的数学思想15（5分）在

17、三棱锥CABD中（如图），ABD与CBD是全等的等腰直角三角形，O为斜边BD的中点，AB=4，二面角ABDC的大小为60，并给出下面结论：ACBD； ADCO；AOC为正三角形； cosADC=；四面体ABCD的外接球表面积为32，其中真命题是【考点】： 命题的真假判断与应用【专题】： 空间位置关系与距离；简易逻辑【分析】： 由ABD与CBD是全等的等腰直角三角形，O为斜边BD的中点，可得COBD，AOBD，BD平面AOC，即可判断出正误；假设COAD，可得CO平面ABD，由可得：AOC是二面角ABDC的平面角且为60矛盾，即可判断出正误；由已知可得：OC=OA，而AOC是二面角ABDC的平面

18、角且为60，即可判断出AOC为正三角形； AB=4，由可得：AC=OA=2，AD=CD=4，利用余弦定理可得cosADC，即可判断出正误；由可得：四面体ABCD的外接球的球心为O，半径为2，利用表面积公式即可判断出正误【解析】： 解：对于，ABD与CBD是全等的等腰直角三角形，O为斜边BD的中点，COBD，AOBD，AOOC=O，BD平面AOC，ACBD，因此正确；对于，假设COAD，又COBD，可得CO平面ABD，由可得：AOC是二面角ABDC的平面角且为60矛盾，因此不正确；对于，由ABD与CBD是全等的等腰直角三角形，O为斜边BD的中点，OC=OA，由可得：AOC是二面角ABDC的平面角

19、且为60，AOC为正三角形，因此正确； 对于，AB=4，由可得：AC=OA=2，AD=CD=4，cosADC=，因此不正确；对于，由可得：四面体ABCD的外接球的球心为O，半径为2，表面积S=32，因此正确综上可得：只有正确故答案为：【点评】： 本题考查了空间线面位置关系、二面角、等边三角形、余弦定理、球的表面积，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16（5分）设数列an的前n项和为Sn，满足2Sn=an+12n+1+1，nN*，且a1、a2+5、a3成等差数列则an=3n2n【考点】： 数列递推式；等比数列的通项公式【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： 由于2Sn=an+12n+1+1，

20、nN*，且a1、a2+5、a3成等差数列，可得，解得a1由2Sn=an+12n+1+1，nN*，当n2时，可得，可得，变形为，l利用等比数列的通项公式即可得出【解析】： 解：由，解得a1=1由2Sn=an+12n+1+1，nN*，当n2时，可得，两式相减，可得，即，变形为，数列（n2）是一个以a2+4为首项，3为公比的等比数列由2a1=a23可得，a2=5，即（n2），当n=1时，a1=1，也满足该式子，数列an的通项公式是故答案为：【点评】： 本题考查了利用“当n2时，an=SnSn1”求通项公式an、变形转化为等比数列求通项公式的方法，考查了灵活的变形能力和推理能力，属于难题三、解答题：解

21、答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（）求证：a、b、c成等差数列；（）若B=60，b=4，求ABC的面积【考点】： 等差数列的性质；解三角形【专题】： 等差数列与等比数列；解三角形【分析】： （）对其角A，B，C的对边分别为a，b，c，可得，利用倍角公式进行化简，再利用正弦定理进行证明；（）因为B=60，b=4，利用余弦定理得42=a2+c22accos60，求出ac的值，利用三角形的面积的公式进行求解；【解析】： 解：（），即a（1+cosC）+c（1+cosA）=3b，由正弦定理得：sinA+sinAcosC+sinC+co

22、sAsinC=3sinB，即sinA+sinC+sin（A+C）=3sinB，可得sinA+sinC=2sinB，由正弦定理可得，整理得：a+c=2b，故a，b，c为等差数列；（）由B=60，b=4及余弦定理得：42=a2+c22accos60，（a+c）23ac=16，又由（）知a+c=2b，代入上式得4b23ac=16，解得ac=16，ABC的面积S=acsinB=acsin60=4；【点评】： 此题主要考查正弦定理和余弦定理的应用以及等差数列的性质，是一道综合题，也是一道基础题；18（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，BAD=60，Q为AD的中点（）若PA=PD，求

23、证：平面PQB平面PAD；（）若平面PAD平面ABCD，且PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，试确定点M的位置，使二面角MBQC大小为60，并求出的值【考点】： 与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定【专题】： 空间位置关系与距离【分析】： （I）由已知条件推导出PQAD，BQAD，从而得到AD平面PQB，由此能够证明平面PQB平面PAD（ II）以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果【解析】： （I）证明：PA=PD，Q为AD的中点，PQAD，又底面ABCD为菱形，BAD=60，BQAD，又PQBQ=Q，AD平面PQB，

24、又AD平面PAD，平面PQB平面PAD（6分）（ II）平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，PQAD，PQ平面ABCD以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图则由题意知：Q（0，0，0），P（0，0，），B（0，0），C（2，0），设（01），则，平面CBQ的一个法向量是=（0，0，1），设平面MQB的一个法向量为=（x，y，z），则，取=，（9分）二面角MBQC大小为60，=，解得，此时（12分）【点评】： 本题考查平面与平面垂直的证明，考查满足条件的点的位置的确定，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用19（12分）某城市随机抽取一年（

25、365天）内100天的空气质量指数API的监测数据，结果统计如下：（1）若某企业每天由空气污染造成的经济损失S（单位：元）与空气质量指数API（记为）的关系式为：S=，试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率；（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面22列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？附：k2=【考点】： 独立性检验的应用【专题】： 计算题；概率与统计【分析】： （1）由200S600，得150250，频数为39，即可求出概率；（2）根据所给的数据，列出列联表，根据所给的观测值的公式，代

26、入数据做出观测值，同临界值进行比较，即可得出结论【解析】： 解：（1）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元”为事件A（1分）由200S600，得150250，频数为39，（3分）P（A）=（4分）（2）根据以上数据得到如表： 非重度污染 重度污染 合计供暖季 22 8 30非供暖季 63 7 70合计 85 15 100（8分）K2的观测值K2=4.5753.841（10分）所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关（12分）【点评】： 本题考查概率知识，考查列联表，观测值的求法，是一个独立性检验，我们可以利用临界值的大小来决定是否拒绝原来的统计假设，若值较大

27、就拒绝假设，即拒绝两个事件无关20（12分）如图，已知椭圆C：，A、B是四条直线x=2，y=1所围成的两个顶点（1）设P是椭圆C上任意一点，若，求证：动点Q（m，n）在定圆上运动，并求出定圆的方程；（2）若M、N是椭圆C上两个动点，且直线OM、ON的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积，试探求OMN的面积是否为定值，说明理由【考点】： 轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系【专题】： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： （1）设P的坐标，通过，推出m，n与P的坐标的关系，推出定圆的方程（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），利用直线OM、ON的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积，得到x

28、1，x2的关系求出MN的距离以及O到直线MN的距离，然后证明OMN的面积是否为定值【解析】： 解：（1）易求A（2，1），B（2，1）（2分）设P（x0，y0），则由，得，所以，即故点Q（m，n）在定圆上（8分）（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），则平方得，即（10分）因为直线MN的方程为（x2x1）y（y2y1）x+x1y2x2y1=0，所以O到直线MN的距离为，（12分）所以OMN的面积S=MNl=|x1y2x2y1|=故OMN的面积为定值1（16分）【点评】： 本题考查圆的方程的求法，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，考查转化思想计算能力21（12分）已知函数f（x）=x2，g

29、（x）=elnx（）设函数F（x）=f（x）g（x），求F（x）的单调区间；（）若存在常数k，m，使得f（x）kx+m，对xR恒成立，且g（x）kx+m，对x（0，+）恒成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”，试问：f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程，若不存在，请说明理由【考点】： 利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用【专题】： 综合题；导数的综合应用【分析】： （）在定义域内解不等式F（x）0，F（x）0可得函数的单调区间；（）由（I）可知，当x=时，F（x）取得最小值F（）=0，则f（x）与g（x）的图象在x=处

30、有公共点（，）假设f（x）与g（x）存在“分界线”，则其必过点（，）故设其方程为：y=k（x），由f（x）kx+k对xR恒成立，可求得k=，则“分界线“的方程为：y=只需在证明g（x）对x（0，+）恒成立即可；【解析】： 解：（I）由于函数f（x）=，g（x）=elnx，因此，F（x）=f（x）g（x）=x2elnx，则F（x）=x=，x（0，+），当0x时，F（x）0，F（x）在（0，）上是减函数；当x时，F（x）0，F（x）在（，+）上是增函数；因此，函数F（x）的单调减区间是（0，），单调增区间是（，+）（II）由（I）可知，当x=时，F（x）取得最小值F（）=0，则f（x）与g（x）的

31、图象在x=处有公共点（，）假设f（x）与g（x）存在“分界线”，则其必过点（，）故设其方程为：y=k（x），即y=kx+k，由f（x）kx+k对xR恒成立，则对xR恒成立，=4k28k+4e=e（k）20成立，因此k=，“分界线“的方程为：y=下面证明g（x）对x（0，+）恒成立，设G（x）=elnxx+，则G（x）=，当0x时，G（x）0，当x时，G（x）0，当x=时，G（x）取得最大值0，则g（x）x对x（0，+）恒成立，故所求“分界线“的方程为：y=【点评】： 本题考查利用导数研究函数的单调区间、最值及恒成立问题，考查转化思想，探究性题目往往先假设成立，再做一般性证明二.请考生在第（22

32、）、（23）、（24）三题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑选修4-1：几何证明选讲22（10分）如图，AB是的O直径，CB与O相切于B，E为线段CB上一点，连接AC、AE分别交O于D、G两点，连接DG交CB于点F（）求证：C、D、G、E四点共圆（）若F为EB的三等分点且靠近E，EG=1，GA=3，求线段CE的长【考点】： 与圆有关的比例线段【专题】： 直线与圆【分析】： （）连接BD，由题设条件结合圆的性质能求出C=AGD，从而得到C+DGE=180，由此能证明C，E，G，D四点共圆（）由切割线定理推导出EB=2，由此能求出CE的长【解析】： （）证明：连接BD，则AGD=ABD，ABD+DAB=90，C+CAB=90C=AGD，C+DGE=180，C，E，G，D四点共圆.（5分）（）解：EGEA=EB2，EG=1，GA=3，EB=2，又F为EB的三等分点且靠近E，又FGF