–概述–平面弯曲时梁横截面上的正应力–梁横截面

1、171 概述概述 72 平面平面弯曲时梁横截面上的正应力弯曲时梁横截面上的正应力73 梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪应力74 梁的正应力和剪应力强度条件梁的正应力和剪应力强度条件 梁的合理截面梁的合理截面75 非对称截面梁的平面弯曲非对称截面梁的平面弯曲 开口薄壁截面的弯曲中心开口薄壁截面的弯曲中心76 考虑材料塑性时的极限弯矩考虑材料塑性时的极限弯矩第七章第七章 弯曲应力弯曲应力 MxQx 纯弯曲纯弯曲(Pure Bending):某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的变形称为纯弯曲。7 7 概述概述aaPPBA7 72 2 平面平面弯曲时梁横截面上的正应力弯曲时梁横截面上的正应力1.梁

2、的纯弯曲实验横向线(a b、c d）变形后仍为直线，但有转动；纵向线变为曲，且上缩下伸；横向线与纵向线变形后仍正交。abcd中性面中性面中中性性轴轴中中性性轴轴（一）变形几何规律：一、 纯弯曲时梁横截面上的正应力abcdMM:横截面上只有正应力。平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，距中性轴等高处，变形相等。（可由对称性及无限分割法证明）3:推论abcdMM2:两个概念 中性层： 中性轴：yxd 4. 几何方程：A(1) . yx （二）、物理关系：假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单项应力状态。(2) . EyExx y d ddy ) 1 11111OO ABOO

3、B A ABB A x （三）静力学关系： AAxdAEy dAN 0 zAESydAE轴轴过过形形心心中中性性 )( z 0 zSMEIdAyEdAEyydAMzAAAz 22)(0 )(yzAAAyEIyzdAEdAEyzzdAM对称面(3) . 1zZEIM 杆杆的的抗抗弯弯刚刚度度。zEI (4) . zxIM y (5) . zma xWM （四）最大正应力：maxyI Wzz 抗抗弯弯截截面面模模量量。(3) . 1 zZEI M杆的抗弯刚度。杆的抗弯刚度。zEI )1(32 _43max DyIWzz圆圆环环hHbB)1(6 _332maxBHbhBHyIWzz 回回字字框框dD

4、Dd1120180302q=60 kN/m1m2m11BAkNmqLM5 .678/3608/22max kNmqxqLxMx60)22(121 例 5-2-1:受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：（1）11截面上1、2两点的正应力；（2）此截面上的最大正应力；（3）全梁的最大正应力；（4）已知E=200GPa，求11截面的曲率半径。q L/ 8Mx解：画M图求截面弯矩M1Mmaxyz1120180302q=60 kN/m1m2m11BA45123310832. 5101218012012mbhIz 341048. 62/mIWzz MPaIyMz7 .6110832. 560605121

5、q L/ 8Mx求应力M1MmaxyzMPaWMz6 .921048. 66041max1 mMEIz4 .1941060832. 520011 MPaWMz2 .1041048. 65 .674maxmax 求曲率半径1120180302q=60 kN/m1m2m11BAq L/ 8MxM1MmaxyzQ（x）+ d Q（x）M（x）M（x）+ d M（x）Q（x）d xA 图图 bh7 73 3 梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪应力一、一、 矩形截面矩形截面梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪应力1、两点假设： 剪应力与剪力平行；矩中性轴等距离处，剪应力 相等。2、研究方法：分离体平衡。 在梁

6、上取微段如图b； 在微段上取一块如图c，平衡图图a0)(112 dxbNNX Q（x）+ d Q（x）M（x）M（x）+ d M（x）Q（x）d xA 图图 bh图图azzAzAIMSydAIMdAN 1zzISdMMN )(2zzzzbIQSbISdxdM 1 )4(2)2(2222yhbyhbyhAyScz zzbIQ S y 1)( 由由剪剪应应力力互互等等Q 5.123max AQ)4(222yhIQz 矩矩 二、其它截面梁横截面上的剪应力1、研究方法与矩形截面同;剪应力的计算公式亦为：zzbIQS1y为为z, zIAz,.ybSQ点出的截面宽度点出的截面宽度是是之惯性矩之惯性矩轴轴为

7、整个截面对为整个截面对对中性轴之静矩对中性轴之静矩点以下的面积点以下的面积为截面剪力为截面剪力其中其中 2、几种常见截面的最大弯曲剪应力：工工字字钢钢截截面面：腹腹板板的的面面积积 fmaxA ; fA Q ：圆圆截截面面： 3434max AQ：薄薄壁壁圆圆环环： 22max AQQe：槽钢：Q R.; RzzbIQS合合力力为为腹腹板板上上 2H.;1合合力力为为翼翼缘缘上上zIQA 剪力作用线：截面上剪应力的合力作用线。如图，RHhe h0)( AxddAM 7 74 4 梁的正应力和剪应力强度条件梁的正应力和剪应力强度条件 梁的合理截面梁的合理截面1、危险面与危险点分析：一般截面，最大

8、正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上；最大剪应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴处。Q M 2、正应力和剪应力强度条件：带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大剪应力的情况与上述相同；还有一个可能危险的点，在Q和M均很大的截面的腹、翼相交处。（以后讲）Q M zzIbSQmaxmaxmax zWMmaxmax3、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：4、需要校核剪应力的几种特殊情况：铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核剪应力梁的跨度较短，M 较小，而 Q较大时，要校核剪应力。各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核剪应力。 max 、校核强度：

9、 、校校核核强强度度： max；、设设计计截截面面尺尺寸寸：、设设计计截截面面尺尺寸寸： max MWz 、设设计计载载荷荷：、设设计计载载荷荷： ; max zWM )(maxMfP MxQx解：、画内力图求危面内力例5-4-1、矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如图，=7 M Pa，=0. 9 M Pa，试求最大正应力和最大剪应力之比,并校核梁的强度。q= 3.6kN/mL= 3mABNqLQ54002336002max NmqLM4050833600822max q L/ 2-q L/ 2q L/ 8MxQx求最大应力并校核强度应力之比q= 3.6kN/mL= 3mAB7 .16

10、32maxmaxmax hLQAWMz q L/ 2-q L/ 2q L/ 822maxmaxmax18. 012. 0405066 bhMWMz MPaMPa 725. 618.012.054005.15 . 1 maxmax AQ MPaMPa9 . 0375. 0解：画弯矩图并求危面内力例5-4-2、T 字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的L=30 M Pa，y=60 M Pa.其截面形心位于C点，y1=52mm， y2=88mm，I z=763cm ，试校核此梁的强度。并说明T字梁怎样放置更合理？ kNRkNRBA5 .10;5 . 2Mx2.5kNm-4k N mA1A2y 2y 1C

11、Cz)(5 . 2下下拉拉、上上压压kNmMC （上上拉拉、下下压压）kNmMB4 41m1m1mABCDP 2 =4kNP 1 =9kNA3A4面危面应力分布图，找危险点A3A4校核强度MPaIyMzCLA2 .2810763885 . 2822 MPaIyMzBLA2 .2710763524813 MPaIyMzByA2 .4610763884824 LL 2 .28max yy 2 .46max T字头在上面合理Mx2.5kNm-4k N mA1A2y 2y 1C CzA3A4四、梁的合理截面矩形木梁的合理高宽比bh北宋李诫于1100年著营造法式 一书中指出:矩形木梁的合理高宽比 ( h

12、/b= ) 1.5英(T.Young)于1807年著自然哲学与机械技术讲义 一书中指出:矩形木梁的合理高宽比 为., 3;, 2刚刚度度最最大大时时强强度度最最大大时时 bhbhAQm3433. 1max 3231DWz z13221.18W 6)(6 RbhWz m 5 . 1max )2/(;,41221 DRaaD 时时当当强度：正应力：剪应力：1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面 zWM zzbIQS* zDaaz其它材料与其他截面形状梁的合理截面m 2max z1433W75.2 )0.8-(132 DWz 1222167.1,4)8.0(4 DDDDD 时时当当 11212

13、12,24 DaaD 时时当当z13124W67.1 646 abhWzm 5 . 1max 2a1a1z0.8DDz)AQ(= 3 . 2fmaxm 工字形截面与框形截面类似z15W57.4 zW1222222105.1,6.18.024 DaaaD 时时当当 0.8a2a22a21.6a2z2、根据材料特性选择截面形状对于铸铁类抗拉、压能力不同的材料，最好使用T字形类的截面，并使中性轴偏于抗变形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱，而梁的危险截面处又上侧受拉，则令中性轴靠近上端。如下图：Z（二）、采用变截面梁 ，如下图：PX )()()(maxxWxMx最好是等强度梁最好是等强度梁，即，即 bx

14、Mxh)(6)( 若若为为等等宽宽度度矩矩形形截截面面，则则高高为为 b5 . 1)( , bh(x)Q1.5=maxQxh 同同时时7 75 5 非对称截面梁的平面弯曲非对称截面梁的平面弯曲 开口薄壁截面的弯曲中心开口薄壁截面的弯曲中心轴轴过过形形心心中中性性 )( z 0 zSMEIdAyEdAEyydAMzAAAz 22)(0)( yzAAAyEIyzdAEdAEyzzdAM0)( zAAAESydAEdAEydAN., z y 0外力要与主轴共线轴必须为截面主惯性轴、yzIyzxoexddAMAx轴轴到到杆杆轴轴的的距距离离依依此此确确定定力力臂臂,0)( P依此确定正应力计算公式。剪

15、应力研究方法与公式形式不变。几何方程与物理方程不变。Q R.; RzzbIQS合合力力为为腹腹板板上上 2H.;1合合力力为为翼翼缘缘上上zIQA 弯曲中心(剪力中心):使杆不发生扭转的横向力作用点，（如前述坐标原点O）RHhe 非对称截面梁发生平面弯曲的条件：外力必须作用在主惯性面内，中性轴为形心主轴，,若是横向力，还必须过弯曲中心。0)( AxddAM力力臂臂 PM 槽钢：Qe zzbIQS : :求求任任意意一一点点剪剪应应力力弯曲中心的确定: ACddAM力力臂臂向向形形心心简简化化)(: (1)双对称轴截面，弯心与形心重合。(2)反对称截面，弯心与反对称中心重合。(3)若截面由两个狭长矩形组成，弯心与两矩形长中线交点重合。CCC(4)求弯心的普遍方法：yCeQMe :求求弯弯心心到到形形心心距距离离QyeC7 76 6 考虑材料塑性时的极限弯矩考虑材料塑性时的极限弯矩（一）物理关系为：sx 全面屈服后,平面假设不再成立;仍做纵向纤维互不挤压假设.（二）静力学关系：)( 依依此此确确定定中中性性轴轴的的位位置置CSAA 0)()( C