高考数学一轮复习(理)人教通用版8.2空间几何体的表面积与体积名师精编学案

1、名校名师推荐18§8.2空间几何体的表面积与体积取新考明考情考向分析了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.主要考查涉及空间几何体的表面枳与体积.常以选择题与填空题为主，涉及空间几何体的结构特征、三视图等内容，要求考生要有较强的空间想象能力和计算能力，难度为中低档.基础知识自主学习一回扣其础知识训练基址题目一r知识梳理1 .多面体的表面积、侧面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和.2 .圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式侧面展开图圆柱2 二 ” '”三r 1圆锥圆台侧面积S圆柱侧=2 <1 公

2、式S圆台侧=S圆锥侧=<1M.+r2）13 .柱、锥、台、球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体（棱柱和圆柱）S表面积=S侧+2s底V=_sh锥体（棱锥和圆锥）s表面积=s侧+s底V=%-3台体（棱台和圆台）s表面积=s侧+S上十s下v=g（s上+s下+Mss）h球S=4tR2【概念方法微思考】1 .如何求旋转体的表面积？提示求旋转体的侧面积时需要将曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面积之和2 .如何求不规则几何体的体积？提示求不规则几何体的体积要注意分割与补形，将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则的几何体求解.£基础自测题组一思考辨析1 .判断下列结论是否正确

3、(请在括号中打或“X”)(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和.(V)(2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.(V)(3)锥体的体积等于底面积与高之积.(X)31(4)已知球。的半径为R,其内接正万体的边长为a,则R=2a.(，)(5)圆柱的一个底面积为S,侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2tS.(X)题组二教材改编2 .已知圆锥的表面积等于12Ttcm2,其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为()3A.1cmB.2cmC.3cmD.2cm答案B解析S表=<2+亦1=M+r2r=3<2=12u,r2=4,r=2.3 .如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平

4、面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为.答案1：47解析设长方体的相邻三条棱长分别为a,b,c,它截出棱车B的体积V1=xx1ax1bx1c322221.147=48abe,剩下的几何体的体积v2=abc-48abe=48abc，所以V1：5=1：47.题组三易错自纠4 .体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A.12TtB.子兀C.8兀D.4兀3答案A2,其体对角线为 2J3即为球的直径，所以球的表面积为则该几何体的体积为俯视图解析由题意可知正方体的棱长为4TR2=（2R）2h125故选A.5 .已知某几何体的三视图如图所示,16答案16兀3解析由三视图可

5、知，该几何体是一个圆柱挖去了一个同底等高的圆锥，其体积为兀x22X222X2若兀.题型分类深度剖析真题典题深度剖析重点唯点姿维探究题型一求空间几何体的表面积一”"自主演练1.（2018全国I）已知圆柱的上、下底面的中心分别为。1,。2,过直线。1。2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（）A.12V2TtB.12%C.8V2兀D.10%答案B解析设圆柱的轴截面的边长为x,则由x2=8,得x=2gS圆柱表=2s底+S侧=2X7tx（钩2+27tx*X2*=12兀故选B.2.（2019抚顺*II拟）下图是某几何体的三视图，则此几何体的表面积为（）主视图左视图佛视

6、图A.4.2+2,3+2B.4.3+4C.2.2+4.3+2D.8.2+4答案A解析该几何体为三棱锥，其直观图如图所示，为三棱锥Bi-ACD,则其表面积为四个面面积之和S=2X2x2X2也2x2X2+乎X(272)2=46+243+2.思维升华空间几何体表面积的求法（1）旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用（2）多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理（3）以三视图为载体的需确定几何体中各元素之间的位置关系及数量.题型二求空间几何体的体积多 探命题点1求以三视图为背景的几何体的体积例1（2017全国n）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视

7、图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A.90bB.63cC.42dD.36兀答案B解析方法一（割补法）由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示.4 匕二二U b- s T将圆柱补全，并将圆柱从点A处水平分成上下两部分.由图可知，该几何体的体积等于下部分 11圆柱的体积加上上部分圆柱体积的2，所以该几何体的体积 V=兀X 3 X 4+ ttX 3 X6*2=63兀.故选B.12方法一 （估值法）由题思知,2V圆柱V几何体V圆柱，又V圆柱=ttX 32X 10= 90冗, 45兀H几何体90兀.观察选项可知只有 63兀符合.故选B.命题

8、点2求简单几何体的体积例2如图，正三棱柱 ABC A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为 a D为BC的中点，则三 棱车B A- B1 DC1的体积为（）A.3C.1答案 C解析如题图，因为4ABC是正三角形，且D为BC中点，则 ADXBC.又因为BB1L平面ABC, AD?平面ABC故 BB/AD,且 BBnBC=B, BB1, BC?平面 BCCm所以AD,平面BCC1B1,所以AD是三棱锥A-B1DC1的高.所以丫三棱锥a B1DC1=1S-SAB1DC131 1AD=1x V3x 3=1.3思维升华空间几何体体积问题的常见类型及解题策略（1）直接利用公式进行求解.（2）用转换法、分割法、

9、补形法等方法进行求解.（3）以三视图的形式给出的应先得到几何体的直观图跟踪训练1（1）（2018兰州模拟）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍薨，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：”今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高1丈,问它的体积是多少？”已知1丈为10尺，现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为（）网视图：J,立方尺B.5 500C.6 000立方尺D.6 500立方尺A.5000立方尺答案A解析（分割法）该楔体的直观图如图中的几何体ABCDEF.取AB的中点G,

10、CD的中点H,连接FG,GH,HF,则该几何体的体积为四棱锥FGBCH与1二棱枉ADEGHF的体积之和.又可以将二棱枉ADEGHF割补成图为EF,底面积为S=2X3X1331=3（平方丈）的一个直棱柱，故该楔体的体积V=3X2+qX2X3X1=5（立万丈）=5000（立万尺）.223（2）如图，直三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长均为2,D为棱B1C1上任意一点，则三棱锥D一A1BC的体积是Ai解析Vd-A1BC=VbA1BC=VA1-B1BC=3SAB1BC3=3.题型三与球有关的切、接问题-”师生共研例3已知直三棱柱ABCAiBiCi的6个顶点都在球。的球面上，若AB=3,AC=4,AB，

11、AC,AAi=12,则球O的半径为()A.3-217B.210C.123D.3_10答案C解析如图所示，由球心作平面ABC的垂线,则垂足为BC的中点M.15_1一又AM=2bC=5，OM=2aAi=6,所以球O的半径R= OA =引申探究1.本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？解由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径.设该正方体外接球的半径为R,内切球的半径为r.又正方体的棱长为4,故其体对角线长为4g3,从而V外接球=3tR3=37tx(243)3=32y3兀，4s4332兀V内切球=34=37tx2=

12、3.2 .本例若将直三棱柱改为“正四面体”，则此正四面体的表面积S与其内切球的表面积多的比值为多少？解正四面体棱长为a,则正四面体表面积为&=4X乎a2=43a2,其内切球半径r为正四面体高的4,即r=；W6a=*a,因此内切球表面积为$2=4行2=6:，则S|="3a"=63.63 .本例中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是36的正四棱锥”，则其外接球的半径是多少？解依题意，得该正四棱锥底面对角线的长为30xy2=6,高为，（3M2£x6：2=3,因此底面中心到各顶点的距离均等于3,所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.

13、思维升华“切”“接”问题的处理规律（1） “切”的处理首先要找准切点，通过作截面来解决，截面过球心（2） “接”的处理抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径跟踪训练2（1）（2018全国出）设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为9y3,则三棱锥D-ABC体积的最大值为（）A.123B.183C.24.3D.54.3答案B解析由等边ABC的面积为9g可得*3AB2=9V3,所以AB=6,所以等边4ABC的外接圆的半径为r=/3AB=2F.设球的半径为R,球心到等边4ABC的外接圆圆心的距离为d,则d=>/R2-r2=16-12=2.所

14、以三棱锥DABC高的最大值为2+4=6,所以三棱锥DABC体积的最大值为1X9>/3X6=1873.3则这个棱锥的外接球的表面积（2）（2019长春东北师大附中模拟）一个棱锥的三视图如图所示,为（）A.34%B.25%C.41兀D.50兀答案A宽、高分别是4,3,3的长方体所解析根据题中所给的三视图可以断定该几何体应该是由长、截成的四棱锥，所以该棱锥的外接球相当于对应的长方体的外接球，所以长方体的体对角线142+32+32V342就是其外接球的直径，所以有R=42=t4,从而求得其表面积为S=4充=34兀,故选A.课时作业“基础保分练B.16 + 4-J3D.48 + 4v3A.16+8

15、,30.48+8,3答案0解析根据三视图知，该几何体是底面为等边三角形，高为4的直三棱柱，画出几何体的直观图，如图所示,结合图中数据，计算它的表面积是S=2x1X2镉X4+3X4X4=48+8v3.2 .（2018鞍山质检）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）左视图B.2tt+ 8D.3 兀+ 4+4.2A.3tt+8C.2什4+472答案D解析由三视图可知，该几何体是一个组合体，左边是一个半球，球的半径为1,右边是一个三棱柱，三棱柱底面是斜边长为2的等腰直角三角形，高为2,组合体表面积由球表面积的一半，圆面积、棱柱的侧面积组成，其值为X4itX12+uX12+（272+2）X2

16、=371+4+4小,故选D.3 .（2018锦州*II拟）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）蝌现图A.18B.24C.32D.36答案B解析由三视图可知，几何体是三棱柱削去一个同底的三棱锥，如图,三棱柱的高为5,削去的三棱锥的高为3,三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形，所以几何体的体积为1x3X4X5-IxX3X4X3=30-6=24.2324 .算术书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出圆锥的底面周长l与高h,计算其体积V的近似公

17、式V=±l2h,它实际36上是将圆锥体积公式中的圆周率兀近似取3,那么，近似公式V"怒l2h相当于将圆锥体积公942式中的兀近似取（22A. 725 B.?157355D.而答案解析V=3<2h = - ttX3± 2h2兀仁12,125 /口 157 拓八八府"lh,由石;T94?信广而,故选C.5 .（2018营口*II拟）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A与B.20C.16D.2033992的正方形为底面，高为 2答案B解析由给定的三视图可知，该几何体表示左侧是一个以边长为的四棱锥，其体积为V1=：X2X2X2=8；右侧为一个

18、直三棱柱，其底面如俯视图所示，高33为2,其体积为V2=：X2X2X2=4,所以该几何体的体积为V=V1+V2=+4=g，故选B.2336 .如图所示，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r,则R=.必答案233解析由水面高度升高r,得圆柱体积增加了2求，恰好是半径为r的实心铁球的体积，因3炉4- 3有匕止233=R-r故2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的7 .一个六棱锥白体积为2由，其底面是边长为侧面积为.答案121解析设六棱锥的高为h,则V=：Sh,3所以呼X4X6h=2V3,解得h=1.34设六棱锥的斜高为h',则h2+

19、雨2=h，2,故h，=2.所以该六棱锥的侧面积为卜2X2X6=12.左视憎8 .一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为答案2f解析由三视图可知，该几何体是一个组合体,它由半个圆锥与四分之一球体组成，其中，圆锥的底面半径为x兀x12x2=r；3球半径为1,体积为4x3.x13=；,所以，该几何体的体积为尹;二,9.某组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为巨T 左视图解析 如图所示，该组合体由一个四棱锥和四分之一个球组成，球的半径为1,四棱锥的高为球的半径，四棱锥的底面为等腰梯形，上底为2,下底为1,高为呼,所以该组合体的体积丫=1*2*（2+1）*乎x1+4*410.（2017全国n

20、）长方体的长、宽、高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为答案14兀解析二.长方体的顶点都在球。的球面上,长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径设球的半径为R,则2R=31“ c、 c c c=-X-X (1+ 2)X 6X 8=24, 2则几何体的体积为V= V1+V2= 72 + 24= 96.方法二 用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱， 使AA'111=2V 三棱柱=2 X SaabcX AA = 2* 24X 8= 96.+22+12=/4.球O的表面积为S=4兀R2=4兀*=14兀.11.（2019呼伦贝尔模拟）已知一几何体的三视图如图所示，则该几何

21、体的体积为幡觇图答案解析由三视图可得该几何体由左、右两部分组成,左边为圆锥,右边为三棱锥.该几何体的体积V=1X1X612X1+1X1X1X2X1=-7+1.4332123ABC,且 AE / FC / BD, BD =12.如图，在ABC中，AB=8,BC=10,AC=6,DB，平面3,FC=4,AE=5.求此几何体的体积.解 方法一 如图，取 CM=AN=BD,连接DM, MN, DN ,用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥则V几何体=V三棱柱+V四棱锥由题知三棱柱ABCNDM的体积为V1=1x8X6X3=72.四棱锥DMNEF的体积为1、，=BB = CC =8,所以V几

22、何体V2=QXS梯形MNEFXDN3力技能提升练13 .某几何体的三视图如图所示，依次为主视图、左视图和俯视图，则这个几何体的体积为()主现图 左觇图俯觇图A.6 7t+ 4 B.8 tt+ 8 C.6 tt+ 23334D.8ti+-3答案 B解析 由三视图可知，该几何体是如图所示的组合体,该组合体由一个三棱锥与四分之三球体组成,2,所以可得该几何体的其中棱锥的底面是等腰直角三角形，一侧面与底面垂直，球半径为体积为V=3X45X23+1X1X4X2X2=8tt+8,故选B.43323其中俯视图是等腰直角三角形，则该14 .(2019湛江*II拟)已知一个三棱锥的三视图如图所示,三棱锥的外接球体积为-Zfl 主视图左视图俯视图答案4,3兀解析如图所示，在长、宽、高分别为2，册,2的长方体中,点E,F分别为对应棱的中点，则三视图对应的几何体为三棱锥E-ABF,将三棱锥补形为三棱柱ABFA1B1E,则三棱锥的外接球即三棱柱的外接球，取AB,A1B1的中点G,H,易知外接球的球心为GH的中点，据此可得外接球半径R=叱平2+12=8外接球的体积V=（tR3=4371.3V拓展冲刺练1,则该几何体的外接球