第5章 角动量及其守恒定律01

1、1物理学非常注意物理学非常注意守恒量守恒量的研究。的研究。在天体运动中在天体运动中,常遇到行星绕某一恒星（常遇到行星绕某一恒星（固定点固定点）转动时转动时, 行星始终在同一个平面内运动的现象。行星始终在同一个平面内运动的现象。例如：太阳系中的每个行星都有自己的转动平面例如：太阳系中的每个行星都有自己的转动平面例如：银河系中的例如：银河系中的每个恒星都有自己每个恒星都有自己的转动平面。的转动平面。银河系银河系在这些问题中，存在在这些问题中，存在着质点的着质点的角动量守恒角动量守恒的规律。的规律。2 第第 5 章章 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律 5.1 角动量角动量 质点的角动量守恒

2、定律质点的角动量守恒定律一、质点的角动量一、质点的角动量定义定义:Lrprm v - 质点对质点对参考点参考点O的的角动量角动量 或或 动量矩动量矩LrOsinsinLrpmrv大小：大小：mp方向：垂直方向：垂直 组成的平面组成的平面, r p 质点以角速度质点以角速度 作半径作半径为为 的圆运动，相对圆心的的圆运动，相对圆心的角动量角动量r2Lrmvmr右手螺旋右手螺旋举例：举例：34rmv与与共共线线，没没有有角角动动量量！Lrprm v5例：自由下落质点的角动量例：自由下落质点的角动量mvroRrA任意时刻任意时刻 t， 有有 212rgt pmmgtv（1） 对对 A 点的角动量点的

3、角动量3102ALrpmt gg rrR（2） 对对 O 点的角动量点的角动量prRprLO)(t gmRpRgRRmgtLOm注意：使用角动量时，必须指明是相对于哪个参考点的！注意：使用角动量时，必须指明是相对于哪个参考点的！否则，没有意义！否则，没有意义！6 角动量的时间变化率角动量的时间变化率dLdtvmv定义：对定义：对o点点力矩力矩MrF质点的质点的角动量定理角动量定理dLMdtrF大小大小Fr质点对某固定点所受的合外力矩等于它对该点角动量的时间变化率质点对某固定点所受的合外力矩等于它对该点角动量的时间变化率sinFrM MFrrOAddM tLdM t冲量矩冲量矩或或2121dtt

4、M tLL对同一参考点对同一参考点O, ,质点所受的冲量矩等质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量。于质点角动量的增量。二、质点的角动量定理二、质点的角动量定理drdpprdtdt ()drpdtrF 方向：右手螺旋方向：右手螺旋力臂力臂r力矩是引起质点角动量变化的原因！力矩是引起质点角动量变化的原因！78三、质点角动量守恒定律三、质点角动量守恒定律0M 则则d0dLt或或L 常矢量若对某一固定点，质点所受合外力矩为零，则质点对若对某一固定点，质点所受合外力矩为零，则质点对该固定点的角动量矢量保持不变。该固定点的角动量矢量保持不变。若若p mvrOAL质点做匀速直线运动中，对质点做匀速直线运动中

5、，对O点点角动量是否守恒？角动量是否守恒？r例：例：质点的质点的角动量定理角动量定理ddLMtoLrmvsinr mvrmv大小大小(1) 行星对太阳行星对太阳O的角动量的大小为的角动量的大小为sinlim0tsmrLtsinmvrprL其中其中是径矢是径矢 r 与行星的动量与行星的动量 p 或速度或速度 v 之间的夹角之间的夹角.s表示表示t时间内行星所走过的弧长时间内行星所走过的弧长, 则有则有若用若用2sinsrsrr表示从表示从O到速度矢量到速度矢量 v 的垂直距离的垂直距离, 则有则有OAvBrSr用用证明证明dtdmtmLt22lim0例例 试利用角动量守恒定律试利用角动量守恒定律

6、:证明关于行星运动的开普勒定律证明关于行星运动的开普勒定律: 任一行星和太阳之间的联线任一行星和太阳之间的联线,在相等的时间在相等的时间内扫过的面积相等内扫过的面积相等, 即掠面速度不变即掠面速度不变.9 时间内行星时间内行星与太阳间的联线所扫过的面与太阳间的联线所扫过的面积积, 如图中所示如图中所示.其中其中 是是tdtdmtmLt22lim0其中其中 d /dt 称为掠面速度称为掠面速度. 由于万有引力是有心力由于万有引力是有心力, 它对力心它对力心O的力矩总是等于零的力矩总是等于零,所以角动量守恒所以角动量守恒, L=常量常量, 行星作平面运动行星作平面运动, 而且而且常量mLdtd2这

7、就证明了掠面速度不变这就证明了掠面速度不变, 也就是开普勒第二定律也就是开普勒第二定律.OA1vCDB2v1rS2r1r2r10mimjm1iFjFjifijf0irjr质点系角动量质点系角动量1niiLL第i i个质点角动量的时间变化率角动量的时间变化率()iiiijijdLrFfdtdLdtMM外内M外iiirFM内()iijiijrf0dLMdt外质点系的角动量定理质点系的角动量定理0M外时时质点系的角动量守恒质点系的角动量守恒iiLL常矢量5.2 质点系的角动量及角动量守恒定律质点系的角动量及角动量守恒定律1()niiirp质点系角动量的时间变化率角动量的时间变化率()iiiijiii

8、jrFrf系统中任意一对内力矩的矢量和为零系统中任意一对内力矩的矢量和为零11d0dLt时外0MiLL常量讨论讨论: 1) 角动量守恒，要求角动量守恒，要求0外M外MddiiLMLLt外质点系角动质点系角动量守恒定律量守恒定律2) 矢量式有矢量式有3个分量式个分量式,即即 的某个分量的某个分量=0, 则相应角动量的分量守恒则相应角动量的分量守恒0 ,0iiFM0 ,0iiFMFFFF合外力矢量和等于零，角动量不一定守恒！合外力矢量和等于零，角动量不一定守恒！121. 质点系的角动量定理也是适用于质点系的角动量定理也是适用于惯性系惯性系。2. 外力矩和角动量都是相对于惯性系中的外力矩和角动量都是

9、相对于惯性系中的 同一固定点同一固定点说的。说的。3. 当合外力矩为零时，质点系总角动量不随当合外力矩为零时，质点系总角动量不随 时间变化，时间变化， -质点系的角动量守恒定律。质点系的角动量守恒定律。 4. 内力矩内力矩不影响质点系总角动量，但可影不影响质点系总角动量，但可影 响质点系响质点系 内内 某些质点的角动量。某些质点的角动量。说明说明13角动量守恒说明天体系统的旋转盘状结构角动量守恒说明天体系统的旋转盘状结构14例题例题. . 两个同样重的特警，各抓着跨过滑轮的轻绳的两个同样重的特警，各抓着跨过滑轮的轻绳的一端如图，他们起初都不动，然后一端如图，他们起初都不动，然后右边的特警右边的

10、特警用力向用力向上爬绳，另一个特警仍抓住绳子不动。忽略滑轮的质上爬绳，另一个特警仍抓住绳子不动。忽略滑轮的质量和轴的摩擦。问：哪一个特警先到达滑轮？量和轴的摩擦。问：哪一个特警先到达滑轮？设滑轮半径为设滑轮半径为R R，两特警，两特警的质量分别为的质量分别为m1、m2，解：解：把特警看成质点，把特警看成质点，以滑轮中心为以滑轮中心为“固定点固定点”，m1= m21m2m(爬爬)(不爬不爬)15对对“m1+m2 + + 轻绳轻绳 + + 滑轮滑轮”系统：系统：外力：外力：条件：条件：N,gm,gm210 外外M所以角动量守恒所以角动量守恒设两特警分别以设两特警分别以 速度上升。速度上升。12,

11、v v设角动量以指向纸内为正设角动量以指向纸内为正。gm1gm2N0R1m1v1rR0r2v2m2rR 0r1111Lrmv（指向纸内）（指向纸内）111Lm Rv2222Lrmv（指向纸外）（指向纸外）222Lm R v1/1()m Rrv11m Rv2/2()m Rrv22m Rv16系统的角动量守恒：系统的角动量守恒：021 LL11220m Rm Rvv1122mmvv1212mmvv爬与不爬，两特警同时到达滑轮！爬与不爬，两特警同时到达滑轮！（启动前）（启动前）（启动后）（启动后） 若若 ，此时系统的角动量，此时系统的角动量 还守恒否？会出现什么情况？还守恒否？会出现什么情况？21m

12、m 讨论讨论gm1gm2N0R17系统所受的合外力矩为系统所受的合外力矩为21)0Mmm gR外（由角动量定理由角动量定理ddLMt外初始时特警未动，初始时特警未动， 。00L 1m2m(爬爬)(不爬不爬)系统总角动量系统总角动量1 12 2()LmmRvv若若有有11220,mmvv轻的升得快；轻的升得快；以向纸以向纸内为正内为正12d:0,dLmmt0L12vv12d:0,0dLmmLt若1122120,mmvvvv轻的升得快。轻的升得快。则则18 当较轻的人爬到滑轮处，较重的人离滑轮还有多高当较轻的人爬到滑轮处，较重的人离滑轮还有多高的距离？的距离？若开始时离滑轮的距离均为若开始时离滑轮

13、的距离均为 h 。 设设 m : 较轻人的质量，较轻人的质量， m+M : 较重人的质量。较重人的质量。由牛顿第二定律，得由牛顿第二定律，得2121dtxdmmamgT整理得整理得)(222212MmdtxdmdtxdMg1m2m(爬爬)(不爬不爬)hmm+MhxTTmg(m+M)g2222)()()(dtxdMmaMmgMmT19对对 t 积分积分dtdxMmdtdxmMgt21)(再对再对 t 积分积分解得解得)21(2gthMmMl即是较重的人离滑轮的距离。即是较重的人离滑轮的距离。)(222212MmdtxdmdtxdMglhhtdxMmmdxMgtdt2010)(1m2m(爬爬)(不

14、爬不爬)hmm+MhxTTmg(m+M)gmm+Ml20例题例题 如图所示，如图所示， 长为长为 l 的轻杆，两端各固定一质量分别为的轻杆，两端各固定一质量分别为 m 和和 2m 的小球，的小球，杆可绕水平光滑轴杆可绕水平光滑轴 O 在竖直面内转动，转轴在竖直面内转动，转轴 O 距两端分别为距两端分别为 l/3 和和 2l/3 。原。原来杆静止在竖直位置。今有一质量为来杆静止在竖直位置。今有一质量为 m 的小球，以水平速度的小球，以水平速度 v0 与杆下端小球与杆下端小球作对心碰撞，碰后以作对心碰撞，碰后以 v0/2 返回，试求碰撞后轻杆获得的角速度返回，试求碰撞后轻杆获得的角速度。Ol/32

15、l/3v0v0 / 2m2m系统所受的合外力矩为零，角动量守恒：系统所受的合外力矩为零，角动量守恒： 解：解： lmv320碰前的角动量为碰前的角动量为：碰后的角动量为：碰后的角动量为： 2201221()2() 2333mvlmlml所以所以 220021221 ()2 () 32333mvlmvlmlml 032vl21解：解：小球所受力矩为零，动量矩守恒小球所受力矩为零，动量矩守恒2211vmrvmr2112/rvrv 21222121mvmvEk21212112/rrrvrv) 1(212121222121212121222141rrmrmrrrmEk例题：例题： 将一质量为将一质量为

16、m的小球，系于轻绳的一端，绳的另一端穿过光滑的小球，系于轻绳的一端，绳的另一端穿过光滑水平桌面上的小孔用手拉住，先使小球以角速度水平桌面上的小孔用手拉住，先使小球以角速度 在桌面上做半径在桌面上做半径为为r1的圆周运动，然后缓慢将绳下拉，使半径缩小为的圆周运动，然后缓慢将绳下拉，使半径缩小为r2，在此过程中，在此过程中小球的动能增量？小球的动能增量？1111rv221.1.质点系角动量质点系角动量)(1iiniivmrLLicirrr由由得得icivvv上两式先后代入前式上两式先后代入前式)(iiiicvmrrL) (iciiiiiicvvmrvmr iiiiciiiiiicvmrvmrvmr

17、0ccriririm* 质心参考系中的角动量质心参考系中的角动量 (选学内容选学内容) iici iciirmvm rv因为这里因为这里ccmrv0cr0（质心相对质心的位矢为（质心相对质心的位矢为0）所以：所以： cciiiiLrmvrmv23质点系角动量可以表示为质点系角动量可以表示为自旋轨道LLL其中其中ccccLrmvrp轨道( )ciiiiLLrm v自旋也叫固有角也叫固有角动量动量cccLrpL2.2.质心参考系的角动量定理质心参考系的角动量定理cccccdrdpdLdLprdtdtdtdt()cccccdpdLvmvrdtdtcccdpdLrdtdt对定点对定点O：M外()iiirF()ciiirrF()ciiiiirFrFdLMdt外由由cccdpdLr