第七章-参数估计

1、精选优质文档-倾情为你奉上第七章 参数估计§7.1 参数的点估计 §7.2 估计量的评选标准一、 填空题1矩估计法是通过 参数 与 总体矩 的联系，解出参数，并用 样本矩 代替 总体矩 而得到参数估计的一种方法；2极大似然估计法是在 总体分布形式 已知情况下的一种点估计方法；3设是正态总体的一个样本，则的极大似然估计为 ；总体方差的矩估计为 ；4.设为未知参数的估计量，若，则称为的无偏估计量；5设为总体的一个样本，则总体均值的无偏估计为 ；总体方差的无偏估计为 ；6.设总体服从二项分布已知，是来自的样本，则的极大似然估计量为；解 ， ， ，令得到。7.在天平上重复称量一重为

2、的物品，假设各次称量结果相互独立且服从正态分布，若以表示次称量结果的算术平均值，则为使，的最小值应不小于自然数16。解 ，所以 ，解得所以只需，得到。二、 计算下列各题1. 设来自指数分布的一个样本，试求的矩估计。解 ，令，所以的矩估计为。2. 设总体的密度函数为，是取自的简单随机样本，（1）求的矩估计量；（2）求的方差。解 （1）因为 令即，所以的矩估计量为； （2）由于 所以。3. 设总体服从两点分布（-分布），为未知参数，。是来自该总体的简单随机样本，试求未知参数的矩估计和极大似然估计。 解 (1) ，所以的矩估计； 。4. 设总体的密度函数为，其中是未知参数，是来自该总体的一个简单随机

3、样本，试求参数的矩估计和极大似然估计。解（1）矩法 ，令，则，所以的矩估计 ；（2）极大似然法 ，故， 并且令，解得。5. 设是来自参数为的泊松分布总体的一个样本，试求的矩估计量及极大似然估计量。解 （1）总体的分布律为，因为 ，所以令，得到的矩估计量为；（2）样本的似然函数为，则，令，解得的极大似然估计量为。6. 设总体其中未知，为其子样，试证下述统计量：, ,都是的无偏估计，并指明哪个估计“最好”。证 同理可得, 故均为的无偏估计。又同理可得 , , , 故最好。7.(1)设是来自总体的样本，试证是的无偏估计量； （2）试证在的一切形为的估计中，为最有效的。 证 （1）因为，所以是的无偏估

4、计； (2)，下面求函数在条件下的极小值点。为此令，令解得，得，从而得，从而证明了最有效。8. 设为正态总体的一个样本，试适当选择，使为的无偏估计。解 ，。 9.设是参数的两个相互独立的无偏估计，且，找出常数使也是的无偏估计，并且使它在所有的这种形状的估计量中方差最小。解 要使,只需 即可；，即求最小值，且。设 ，令, 解得。10.设分别来自总体和中抽取容量为的两独立样本，其样本方差分别为，试证，对于任意常数，都是的无偏估计，并确定常数使达到最小。证 因为对于正态分布来说，样本方差为其总体方差的无偏估计，即，而，所以 是的无偏估计。又因为，所以，所以由二次函数性质知，当时取最小值。这时，所以

5、当，时取最小。11.设某产品的寿命的概率密度为，是测得个样品的寿命，试求（1）的矩估计量；（2）的极大似然估计量。解 （1）由已知， ， 令，解得 ，其中； （2）似然函数 ，所以，因为，所以是的单调增函数，所以，故当时，取得最大值，故应取。又令得，当时，由，知在处达到最大，故有，从而得的极大似然估计量为，§7.3 参数的区间估计一、填空题1. 设由来自正态总体，容量为的样本，得样本均值，则未知参数的置信度为的置信区间是 ；2.方差未知时,数学期望的置信度为的置信区间是；2. 方差的置信度为的置信区间为 ；4. 设是取自正态总体的样本，其中和都是未知参数，的置信度为的置信上限为 ；5

6、.设总体，是来自的样本，总体是来自的样本，为已知常数，两个样本相互独立，则的置信度为的置信区间为。二、计算下列各题1. 某种零件的长度服从正态分布，已知总体的标准差，从总体中抽取200个零件组成样本，测得它们的平均长度为8.8cm，试估计在95%置信度下，全部零件平均长度的置信区间。解 ，对应于,所以 ，查表得 ， 因而置信区间为，即。2. 某县1996年进行的一项抽样调查结果表明：调查的400户农民家庭每人每年的化纤布消费量为3.3m。根据过去的资料可知总体方差为0.96，试以95%的置信度估计该县1996年农民家庭平均每人化纤布消费的置信区间。解，对应于, 查表， 置信区间为。3. 抽查食

7、盐的包装重量，得重量(g)如下：506, 508, 499, 503, 504, 510, 497, 512, 514, 505, 493, 496, 506, 502, 509, 496设袋装重量服从正态分布，试求总体均值与方差的置信度为0.95的置信区间。解 （1） ，所以的置信区间为即 ；（2）由，查表得，方差的置信区间。4. 某车间生产铜丝，设铜丝折断力服从正态分布，现随机地取出10根，检查折断力，得数据如下：578, 572, 570, 568, 572, 570, 570, 572, 596, 584，求铜丝折断力方差的置信度为0.95的置信区间。解 因为，这里，查自由度为10-1

8、=9的分布表，得，从而 所以铜丝折断力方差的置信度为0.95的置信区间为（35.87, 252.44）。5. 已知两个总体，方差已知，容量为，求的置信度为的置信区间。解 , , ， , ，所以 ，所以所求置信区间为 。6.分别使用金球和铂球测定引力常数（单位：）， 用金球测定观察值为6.683，6.681，6.676，6.678，6.679，6.672 用铂球测定观察值为6.661，6.661，6.667，6.667，6.664. 设测定值总体为，均为未知，但有，求两个测定值总体均值差的置信度为0.90的置信区间。解 由题意知：总体均值差的置信度为0.90的置信区间为 ，这里，本题中，查表得，

9、代入上述区间得总体均值差的置信度为0.90的置信区间为。7.某厂利用两条自动化流水线灌装番茄酱，分别从两条流水线上抽取样本：及，算出。假设这两条流水线上装的番茄酱的重量都服从正态分布， 相互独立，其均值分别为，（1）设两总体方差，求的置信度为0.95的置信区间； （2）求的置信度为0.95的置信区间。解 （1）由于 ， 对，查分布表得，于是有 ，因此的置信度为0.95的置信区间上，下限分别为， 和， 所以的置信区间为； （2）由于，对于给定的置信水平， 即 ，的置信区间为。 由分布表对，查得，因此的置信度为0.95的置信区间为。8.设某种清漆的9个样品，其干燥时间（单位：小时）分别为6.0，5

10、.7，5.8，6.5，7.0，6.3，5.6，6.1，5.0，设干燥时间总体服从正态分布，在下列两种情形下求的置信度为0.95的单侧置信上限，（1）由以往经验知（小时）；（2）若为未知。解 （1） 当已知时，于是即 于是，的置信度为的单侧置信区间为，则为其单侧置信上限。此时，查表得，代入上式得； （2）方差未知，此时，于是得，此处，查表得，代入上式得。9. 设两位化验员A,B独立地对某种聚合物含量用相同的方法各做10次测定，其测定值的样本方差依次为。设分别为A,B所测定的测定值总体的方差，设总体均为正态的，求方差比的置信度为0.95的置信上限。解 这时，于是，由此得，的置信度为0.95的单侧置信上限为，查表得，将代入上式得的置信上限为2.84。10.设是来自正态总体的随机