有限元方法-02

1、有限元的直接法2.1有限元法的基本思路2.2直接法 单元节点单位位移与节点力的关系 材料力学超静定 柔度法力法 刚度法位移法 单元刚度矩阵、系统总刚度矩阵2.1有限元法基本思路n1区域的离散n2插值多项式n3单元刚度矩阵和力向量#n4系统方程的建立#n5引入边界条件#n6有限元方程的求解n7单元数据的处理2.1有限元法基本思路单元划分原则:n两个节点之间的杆件构成一个单元n杆件的交点n杆件截面变化处n支承点、自由端n集中载荷作用处n欲求位移处2.1有限元法基本思路绗架的力学计算简图移置载荷ppppp241353216452.1有限元法基本思路pN6N3N4N2建立节点 的平衡方程求杆件内力NU

2、YUYUXUX344FX=0FY=02.1有限元法基本思路n一个节点处的未知力的数目，往往多于一个节点所能建立的平衡方程的数目。n节点的位移数目，恰好等于该节点能够建立的平衡方程的数目。n只要将单元节点力用节点位移表示，无论有多少个未知力，都可以通过建立以节点位移表示的节点力平衡方程求出。n建立单元节点力与单元节点位移之间的关系单元方程。2.2节点力与节点位移之间的关系单元刚度矩阵n在结构力学中，直接应用材料力学公式和结构力学公式来建立结构的单元刚度矩阵和力向量。也称为直接公式法。n涉及的力学原理有： 1)线性叠加原理； 2)杆与梁的拉伸、扭转和弯曲公式； 3)超静定结构的刚度法或柔度法； 4

3、)力系平衡。2.2节点力与节点位移之间的关系单元刚度矩阵n单元节点的单位位移与单元节点力的关系n单元节点的位移与单元节点力的关系n单元刚度矩阵2.2节点力与节点位移之间的关系单元刚度矩阵lEAlEAlEAlEAKlEAulEAuFFKKuulEAulEAuFFKKuuuKuKFuKuKFuuKKKKuuKFFaaa。那么令；那么令即对于单元222122212111212111212221212212111121222112112121,10,01u1u221alxF1F22u1=1121u2=12.2节点力与节点位移之间的关系单元刚度矩阵lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIl

4、EIlEIlEIlEIlEIlEIlEIKlEIlEIlEIlEIMQMQKKKKvvvvKKKKKKKKKKKKKKKKvvKMQMQaa46266126122646612612161261200012223232223232323221114131211221122114443424134333231242322211413121122112211，可以求得：单位并依次令仅其他位移为；，当21alv2Q2M2v1Q1M112材料力学超静定01n超静定系统：支反力或内力不能单凭静力平衡方程式求解的结构系统。n多余约束：多于维持结构的几何不变性所需的支座或杆件或自由度。pL超静定梁,B端三次超

5、静定。BAUbx=0, Uby=0, bz=0Fbx0, Fby0, Mbz0材料力学超静定02n解超静定系统的一般原则： 1)解除超静定系统中的多余约束，得到静定的基本系统。与多余约束相对应的未知力称为多余未知力。LBA超静定梁的基本系统：解除的多余约束 Ubx, Uby, bz对应的多余未知力Fbx, Fby Mbz材料力学超静定03 2)将原系统上的载荷以及多余未知力加在基本系统上，称为相当系统。pBAFyFxMz超静定梁的相当系统材料力学超静定04 3)要使相当系统能够代替原来系统，则两者在变形情况上应完全一致。即，相当系统在多余未知力作用处的位移能够满足一定条件符合原系统在多余约束处

6、的变形谐调条件。 Ux=0, Uy=0, z=0材料力学超静定05n线性叠加原理：pFxMzFy+pBAFyFxMz=Ubx=0, Uby=0, bz=0材料力学超静定06柔度法力法nD1=D1P+ 11F1 + 12 F2+ 13 F3+ +1nFnnDn=DnP+ n1F1 + n2 F2+ n3 F3+ +nnFn柔度方程与矩阵 D1 11121314151n F1 D1P D2 21 F2 D2P = + Dn n1 nn Fn DnP柔度法力法n对于n次超静定结构，解除n个约束条件；n选择对应的n个未知力F1,F2,Fn；n将实际载荷作用在基本系统上，得到相应于n个未知力处的n个位移

7、D1P,D2P,DnP。n将n个未知力的单位值分别作用在基本系统上。由每个单位力，确定相应于所有n个未知力处的n个柔度ij。 柔度ij：定义为由于Fj处力的单位值所引起相应于Fi力处的位移。n实际位移D1,D2,Dn等于载荷产生的位移与未知力产生的位移之和。（位移的协调方程）柔度法力法p2p1p4p3p2p1p4p3f1f2f3f4p2p1p4p3d1pf1=1d2pd3pd4p4次超静定系统相当系统f2=1在各约束点产生的位移f1=1在各约束点产生的位移112131411222324213233343f2=1f3=1已知力在各约束点产生的位移f3=1在各约束点产生的位移+=柔度法力法nD1=

8、D1P+ 11F1 + 12 F2+ 13 F3+ +1nFnnDn=DnP+ n1F1 + n2 F2+ n3 F3+ +nnFn柔度方程与矩阵 D1 11121314151n F1 D1P D2 21 F2 D2P = + Dn n1 nn Fn DnP刚度法位移法nKnXnnX1= FnX1n刚度影响系数Kij: 在j节点产生单位位移(uj=1)而其它节点位移为零时，需在i节点位移方向上施加的节点力的大小。 如： K2X22X1= F2X1K11：在节点1产生单位位移，节点2保持不动，在节点1所需加的力。K12：在节点2产生单位位移，节点1保持不动，在节点1所需加的力。K21：在节点1产

9、生单位位移，节点2保持不动，在节点2所需加的力。K22：在节点2产生单位位移，节点1保持不动，在节点2所需加的力。刚度法位移法n对于n次超静定结构，选择n个约束条件对应的n个未知位移1, 2, n；n将已知载荷作用在基本约束系统上，得到相应于n个未知位移处固定端的n个F1P,F2P,FnP支反力。n将n个未知位移的单位值单独作用在基本约束系统上。每个单位位移，确定相应于所有n个未知位移处的n个刚度系数Kij。 n实际载荷F1,F2,Fn等于已知载荷在约束点产生的力与未知位移产生的固定端的支反力之和。（力的平衡方程）刚度法位移法p2p1p4p34次超静定系统p2p1p4p31=13=02=04=

10、01=02=13=04=01=02=03=14=01=02=03=04=1k11k21k12k22k32k33k23k43k34k44f1pf2pf3pf4p=+已知力在约束点处产生的合力矩约束点4处给定单位位移产生的力矩约束点3处给定单位位移产生的合力矩约束点2处给定单位位移产生的合力矩约束点1处给定单位位移产生的合力矩刚度法位移法nF1=F1P+K111+K122+K133+ +K1nnnFn=FnP+Kn11+Kn22+Kn33+ +Knnn刚度方程与矩阵 F1 K11 K12 K13 K14 K15 K1n 1 F1P F2 K21 2 F2P = + Fn Kn1 Knn n FnP

11、单元节点位移与单元节点力的关系jyxujvjiuiviMjyxUjVjMiUiVi刚度法建单元矩阵：F6X1=K6X62X1 F1 K11 K12 K13 K14 K15 K16 1 F2 K21 K22 K23 K24 K25 K26 2 F3 = K31 K32 K33 K34 K35 K36 3 F4 K41 K42 K43 K44 K45 K46 4 F5 K51 K52 K53 K54 K55 K56 5 F6 K61 K62 K63 K64 K65 K66 6两节点(6个自由度)平面杆件单元的刚度矩阵一般型式单元节点位移与单元节点力的关系单元节点单位位移与节点力的关系ui=1uj=

12、1UiUjUi=EA/LUj=EA/LUj=-EA/LUi=-EA/L产生单位位移ui=1,uj=1，需要施加的力单元节点单位位移与节点力的关系产生单位位移vi=1,vj=1，需要施加的力Vi=1Vj=1MjMii=0j=0ViVjMi=6EI/L2Vi=12EI/L3Mj=-6EI/L2Vj=12EI/L3Mi=-6EI/L2Vi=-12EI/L3Vj=-12EI/L3Mj=6EI/L2单元节点单位位移与节点力的关系Vj=0j=1Vi=0i=1MiViMjVj产生单位位移i=1, j=1，需要施加的力Mi=4EI/LVi=6EI/L2Vj=-6EI/L2Mj=2EI/LMj=4EI/LVj=

13、-6EI/L2Mi=2EI/LVi=6EI/L2单元刚度矩阵jjjiiijjjiiivuvulEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAMVUMVU460260612061200000260460612061200000222323222323单元刚度矩阵特性n单元刚度矩阵元素取决于该单元的形状、大小和材料，与位置无关，与位移模式有关。n对称性，Kij=Kji。互等定理：j处单位位移给出i处节点力，等于i 处单位位移给出j处节点力。n单元刚度矩阵是奇异的。由于节点位移中包含单元的刚体位移 单元在两个节点力的作用下处于平

14、衡。 FX=0 FY=0 MZ=02.2.3坐标变换n 目的：将不同局部坐标方向上的单元节点力（或位移）变换到同一整体坐标系oxy方向上，以便建立节点平衡方程 n单元坐标变换矩阵：n单元节点位移坐标变换式：e=Ten单元节点力坐标变换式： Fe=TFe1000cossin00sincos10000cossin0sincos00T2.2.3坐标变换P=20kNL2=2mL1=1mL2/21234123232121343yxxyyx(a) 平面刚架(b)单元、节点编号与整体、局部坐标（有限元直接法例题1坐标变换）UYUYUXUX2.2.4等效节点载荷n所有施加在几何实体边界上的载荷或约束必须最终传

15、递到有限元模型上（节点或单元上）进行求解。 n静力等效原则。只需给出载荷作用下两端固定梁的固端反力公式，将固端反力前加一负号即为等效节点载荷。2.2.4等效节点载荷一、局部坐标内等效节点荷载的计算-单元固端反力的计算公式以F0e=(Uoi,Voi,Moi,Uoj,Voj,Moj)T表示非节点荷载引起的两端固定梁的固端反力（如下图所示），则下述荷载的固端反力计算公式为：lclgcMlclcgcMVgcVlclccVUUjiijiji3412386123222g0302220003322000 xycdlOV0iiM0iV0jM0jjg2.2.4等效节点载荷22022032032000220lGc

16、dMlGcdMlcdlGVldclGVUUjijijixycdlOV0iiM0iV0jM0jjGG2.2.4等效节点载荷lclcMMldldMMVVlMcdVUUjiijiji32326000003000 xycdlOV0iiM0iV0jM0jjMM2.2.5建立节点平衡方程n总刚度矩阵建立的原则n各单元变形后，在节点处协调联接。即与i节点有n个单元相连，要求这n个单元在i节点处具有相同的节点位移值。n结构的有限元各节点必须满足平衡条件。即与i节点相连的所有各单元作用在i节点上的节点力，应与作用在i节点上的节点载荷保持平衡。2.2.5建立节点平衡方程n建立总刚度矩阵的方法 节点平衡法节点平衡法

17、 在总体坐标下，对每个节点建立力和力矩平衡方程，遍历系统整体模型的每个节点。 单元矩阵扩维法单元矩阵扩维法 单元矩阵的维数扩充到系统整体矩阵的维数。将单元矩阵中节点编号按系统整体模型的节点自由度编号，来放置单元各元素。将所有单元矩阵相加。2.2.6引入边界条件n消除结构的刚体位移，求得唯一解。总刚度矩阵是奇异的，不存在逆矩阵。n边界约束条件的处理方法： 划行划列降阶法 划零置1法 乘大数法（对角线元素扩大法）2.2.6引入边界条件n划行划列降阶法划行划列降阶法n当结构的边界条件是零位移时，把边界条件带入到总刚度方程中，在节点位移列向量中相应项为零值，在总刚度矩阵中，与位移为零的项所对应的行与列

18、的元素，在求其它节点的位移时将不起作用，因而可从刚度矩阵中划去相应的行与列。降低总刚度矩阵的阶数。2.2.6引入边界条件2.2.6引入边界条件n划零置划零置1 1法法n当边界条件不一定是零位移，而是已知值时，在总刚度矩阵中，把与给定节点位移对应的主对角线上的元素置1，而该行该列上的其余元素置零。n在节点载荷列向量中，把相应的项用给定位移值代替，而其余元素，则应从中减去给定节点位移与总刚度矩阵中相应的列项的乘积。2.2.6引入边界条件2.2.6引入边界条件n乘大数法（对角线元素扩大法）乘大数法（对角线元素扩大法）n当边界条件不一定是零位移，而是已知值时，在总刚度矩阵中，把与给定节点位移对应的主对

19、角线上的元素程乘以相当大的一个数，如1x1015，而该行该列上的其余元素不变。n在节点载荷列向量中，把相应的项用给定位移与相应的主对角线上的元素、同一相当大的数如1x1015这三项的乘积代替，而其余元素不变。2.2.6引入边界条件2.2.7解方程组求节点位移n高斯消元法n三角分解法2.2.8求单元内力n求解得到的节点位移带到单元方程中返求由节点位移引起的节点力。n计算每个单元的内力、弯矩图和变形。2.2.9平面刚架例题P=20kNL2=2mL1=1mL2/21234123232121343yxxyyx(a) 平面刚架(b)单元、节点编号与整体、局部坐标（有限元直接法例题1）UYUYUXUX23

20、2121343UYUYUXUX节点力和节点位移在整体坐标下的编号F9F7F8F6F4F5F9F7F8F6F4F5F3F1F2F12F10F112.2.9平面刚架例题2.2.9平面刚架例题由于外力作用于单元2上且不在节点上，因此只有节点2和3有等效节点荷载，根据2.2.4中等效节点载荷公式可以求得：P=20kN1234123U02U03V02V03M02M03mkN5-mkN5kN10kN10000203020302jMMVVUU节点位移引起的单元节点力之和等于节点荷载，据此建立各个节点的平衡方程，如下： 434022212434022212434221203332311103332311133

21、2311100MMMMMVVVVVUUUUMMMMMVVVVVUUUU写成向量形式：uKFT444333222111,MVUMVUMVUMVUF T444333222111,vuvuvuvuu 其中：2.2.9平面刚架例题单元1的刚度矩阵 F1 K11 K12 K13 K14 K15 K16 1 F2 K21 K22 K23 K24 K25 K26 2 F3 = K31 K32 K33 K34 K35 K36 3 F4 K41 K42 K43 K44 K45 K46 4 F5 K51 K52 K53 K54 K55 K56 5 F6 K61 K62 K63 K64 K65 K66 6两节点(6

22、个自由度)平面梁单元的刚度矩阵一般型式单元2的刚度矩阵 F4 K44 K45 K46 K47 K48 K49 4 F5 K54 K55 K56 K57 K58 K59 5 F6 = K64 K65 K66 K67 K68 K69 6 F7 K74 K75 K76 K77 K78 K79 7 F8 K84 K85 K86 K87 K88 K89 8 F9 K94 K95 K96 K97 K98 K99 9两节点(6个自由度)平面梁单元的刚度矩阵一般型式局部坐标系内单元1和单元3的刚度矩阵lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIl

23、EAlEA460260612061200000260460612061200000KK22232322232331局部坐标系内单元2的刚度矩阵lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEA2230230232302323000200223022302323023230002002K2223232223232各单元的坐标变换矩阵对于单元1和单元3，=90，坐标变换矩阵为10000100101000001010TT31对于单元2，=0，其坐标变换矩阵为（单位矩阵）I2T在整体坐标系内单元1和单元3的单元刚度矩阵lEIlEIl

24、EIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEI406206000060126012206406000060126012KK22232322232331在整体坐标系内单元2的单元刚度矩阵lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEA2230230232302323000200223022302323023230002002K2223232223232在整体坐标系内单元2的单元刚度矩阵lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlE

25、IlEIlEIlEIlEIlEAlEA2230230232302323000200223022302323023230002002K2223232223232节点力平衡方程组02. 1054. 151. 0054. 108 .16008 .1600054. 1007. 354. 1007. 302. 151. 0039. 054. 1026. 039. 000039. 08 .1639. 00039. 039. 00054. 100007. 340. 80040. 826. 039. 0051. 002. 139. 00054. 151. 054. 1039. 039. 0039. 0039.

26、 08 .16008 .160040. 8054. 10040. 807. 354. 107. 351. 054. 102. 154. 1008 .168 .1654. 107. 354. 1007. 3108K已知节点1和节点4处各自由度位移为零，即T3332220 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0vuvuu T4441113, 5 ,10, 0 , 5,10, 0 ,10MVUMVUF且2.2.9平面刚架例题n整体刚度矩阵：单元矩阵扩维，同编号相加。n边界条件： 1 =2 = 3 = 10 = 11 = 12 =0n划行划列降阶法求解 只需求解未知位移4 4 ,5 5 , , 6 6

27、,7 7 ,8 8 , , 9 9 2.2.9平面刚架例题P=-20kN2LLL1234123232121454yxxyyx(a) 平面刚架(b)单元、节点编号与整体、局部坐标（有限元直接法例题1）UYUYUXUX343xy另一种解法231245UYUYUXUX节点力和节点位移在整体坐标下的编号F12F10F11F6F4F5F9F7F8F6F4F5F3F1F2F15F13F142.2.9平面刚架例题34F12F10F11F9F7F8（1）（2）（3）（4）2.2.9平面刚架例题这样划分单元，使得所有单元尺寸相同，即局部坐标系内的单元刚度矩阵相同 lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEI

28、lEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEA460260612061200000260460612061200000KKKK2223232223234321 10000100101000001010TT41各单元的坐标变换矩阵为 I32TT各单元坐标变换矩阵在整体坐标系内单元1和单元4的单元刚度矩阵 lEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEI406206000060126012206406000060126012KK22232322232341在整体坐标系内单元2和单元3的单元刚度矩阵 l

29、EIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEA460260612061200000260460612061200000KK22232322232332节点力平衡方程组节点位移引起的单元节点力之和等于节点荷载，据此建立各个节点的平衡方程，如下： 55545443433232212111555454434332322121115554544343323221211100000000MMMMMMMMMMMVVVVVPVVVVVVUUUUUUUUUUU写成向量形式：uKFT555444333222111,MVUMVUMVUMVUM

30、VUF T555444333222111,vuvuvuvuvuu 其中：节点力平衡方程组令杆为等截面，面积A=8e-3m2，惯性矩I=1.22e-4m4，弹性模量E=2.1e11Pa，l=1m，则有02. 1054. 151. 0054. 108 .16008 .16054. 1007. 354. 1007. 351. 0054. 102. 1054. 108 .16008 .16054. 1007. 354. 1007. 310KK84102. 154. 1051. 054. 1054. 107. 3054. 107. 30008 .16008 .1651. 054. 1002. 154. 1054. 107. 3054. 107. 30008 .16008 .1610KK832节点力平衡方程组02. 1054. 151. 0054. 108 .16008 .16000054. 1007. 354. 1007. 351. 0054. 102. 102. 1054. 154. 1051. 054. 1008 .160054. 18 .1607. 30054. 18 .1600054. 1007. 354. 10