第5章 刚体的定轴转动1(A rigid body about a fixed axis)

1、15.1 刚体的运动刚体的运动 5.2 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律 5.3 转动惯量的计算转动惯量的计算 5.4 刚体定轴转动定律的应用刚体定轴转动定律的应用 5.5 转动中的功和能转动中的功和能 5.6 刚体的角动量和角动量守恒定律刚体的角动量和角动量守恒定律*5.7 进动进动 (A rigid body about a fixed axis)转轴转轴2本章将介绍一种特殊的质点系本章将介绍一种特殊的质点系刚体刚体所遵循的力学所遵循的力学规律。着重讨论刚体的定轴转动。规律。着重讨论刚体的定轴转动。5.1 5.1 刚体的运动刚体的运动一、一、 概概念念什么是刚体什么是刚体? ? 实际的固体

2、在受力作用时总是要发生或大或实际的固体在受力作用时总是要发生或大或小的形状和体积的改变。如果在讨论一个固体的运动时小的形状和体积的改变。如果在讨论一个固体的运动时, ,这种这种形状或体积的改变可以忽略，我们就把这个固体当作刚体来处形状或体积的改变可以忽略，我们就把这个固体当作刚体来处理。理。在受外力作用时在受外力作用时不改变形状和体积的物体不改变形状和体积的物体称刚体称刚体。(2)(2)刚体可以看作是由许多质点组成刚体可以看作是由许多质点组成特殊质点系特殊质点系, ,每一个质点叫做刚体的一个质元每一个质点叫做刚体的一个质元, ,刚体这个质点刚体这个质点系的特点是系的特点是, ,在外力作用下各质

3、元之间的相对位在外力作用下各质元之间的相对位置保持不变。置保持不变。1. 刚体定义刚体定义: :mimiN 支持力支持力注意：注意：(1)(1)刚体是固体物件的理想化模型。刚体是固体物件的理想化模型。质元质元(A rigid body about a fixed axis)32. 2. 刚体的运动形式刚体的运动形式: : 如果刚体在运动中如果刚体在运动中, ,连结体内两连结体内两点的直线在空间的指向总保持平行点的直线在空间的指向总保持平行, ,这样的运动就叫这样的运动就叫平动。平动。 转动是刚体的基本运动形式之一。刚体转动是刚体的基本运动形式之一。刚体转动时各质元均做圆周运动转动时各质元均做圆

4、周运动, ,而且各圆而且各圆 的圆的圆心都在一条固定不动的直线上心都在一条固定不动的直线上, ,这条直线叫这条直线叫转转轴轴。如果转轴方向不随时间变化。如果转轴方向不随时间变化, , 则称则称定轴定轴转动转动。 转动转动: :平动：平动：转轴转轴mimi注意：注意： 刚体平动时刚体平动时, ,刚体内各刚体内各质元的运动轨迹都一样质元的运动轨迹都一样, ,而且在而且在同一时刻的速度和加速度都相等。同一时刻的速度和加速度都相等。因此因此, ,在描述刚体的平动时在描述刚体的平动时, ,可以可以用一点的运动来代表，通常就用用一点的运动来代表，通常就用刚体的质心的运动来代表整个刚刚体的质心的运动来代表整

5、个刚体的平动。体的平动。4 刚体的一般运动都可以认为是平动和绕某一转轴转动的刚体的一般运动都可以认为是平动和绕某一转轴转动的结合。如图结合。如图, ,车轮的转动。车轮的转动。5转动平面转动平面 二、刚体定轴转动的描述二、刚体定轴转动的描述 刚体绕某一固定轴转动时刚体绕某一固定轴转动时, ,其上各质元都在垂直于转轴的平其上各质元都在垂直于转轴的平面内作圆周运动面内作圆周运动, ,且所有质元的矢径在相同的时间内转过的角且所有质元的矢径在相同的时间内转过的角度相同度相同, ,根据这一特点根据这一特点, ,常取垂直于转轴常取垂直于转轴 的平面为参考系的平面为参考系, ,这个这个平面称转平面称转 动平面

6、。动平面。, ,虽然刚体上各质元的线速度、虽然刚体上各质元的线速度、 加速度一加速度一般是不同的。但由于各质元的相对位置保持不变般是不同的。但由于各质元的相对位置保持不变, ,所以描述各所以描述各质元运动的角量质元运动的角量, ,如角位移、如角位移、 角速度角速度 和角加速度都是一样的。和角加速度都是一样的。因此描述刚体的运动时因此描述刚体的运动时, ,用角量最为方便。用角量最为方便。Ovimi转轴转轴Zri转轴转轴61.角位移角位移3. 3. 角加速度矢量角加速度矢量)/(222sraddtddtd);/(sraddtd转动平面转动平面v2.2.角速度矢量角速度矢量: 方向与转动方向成右手螺

7、旋法则方向与转动方向成右手螺旋法则 。当减速转动时当减速转动时, ,角加速度与角速度方向相反角加速度与角速度方向相反; ;注意注意: :当加速转动时当加速转动时, ,角加速度与角速度方向相同角加速度与角速度方向相同；rpooX转动方向转动方向Z75.当角加速度矢量是常矢量时：当角加速度矢量是常矢量时：)(20202atvv0)(20202xxavv20021attvxxt 02210 )(tt4.质元线量与角量的关系质元线量与角量的关系ra ran2rv8virioiFiOZmi5.2 5.2 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律将刚体看成许多质量分别为将刚体看成许多质量分别为 m1 ;m2 mi

8、mn的质点的质点; ; 各质点距转轴的距离分别为各质点距转轴的距离分别为 r1 、r2、ri 、rn1.1.力矩定义力矩定义: :FrM实验发现实验发现, ,刚体做定轴转动时刚体做定轴转动时, ,其转动状态的改变与外力的其转动状态的改变与外力的大小大小 方向及作用点均有关。方向及作用点均有关。( (如开门如开门) )9O转轴与转动平面内的交点转轴与转动平面内的交点pFrFF/OZF/-表示力表示力F F在转轴方向的投在转轴方向的投影影F-表示力表示力F F在转动平面内的投在转动平面内的投影影r - O点到力的作用点的矢径点到力的作用点的矢径表示表示 F与与 r 的夹角的夹角10oiiriFii

9、iFriMiZiiiiFrFrMiZMiiFri表示表示 Fi与与 r i的夹角的夹角iZMiiiFrsin力矩垂直于力矩垂直于Z轴轴iZiiFFFZpFiFiZiiFr)(amrii)(iiirmr )(2iirm沿转轴方向沿转轴方向, ,并与矢径并与矢径 r 及及 F 成右手螺旋法则成右手螺旋法则 。力矩的方向力矩的方向: :2.114. 4. 刚体对于转轴的转动惯刚体对于转轴的转动惯量量iiimrJ)(25. 5. 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律JM 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律刚体对于某一转轴所受的合外力矩等于刚体对该转轴的转动刚体对于某一转轴所受的合外力矩等于刚体对该转轴的转动

10、惯量与在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。惯量与在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。3. 3. 整个刚体受合外力矩沿整个刚体受合外力矩沿Z Z轴的分量：轴的分量：iZZMM)(2iirm121. 定轴转动惯量定义定轴转动惯量定义: :iiirmJ25.3 5.3 转动惯量的计算转动惯量的计算分立刚体分立刚体: :转动惯量等转动惯量等于刚体中每个于刚体中每个质点的质量与质点的质量与这一质点到转这一质点到转轴的距离的平轴的距离的平方的乘积的总方的乘积的总和。和。mioiri13连续刚体连续刚体: :dmrJ2质量体密度质量体密度dvr2dsr2dlr2质量面密度质量面密度质量线密度质量

11、线密度dmor142. 转动惯量的计算转动惯量的计算 例例 1 1 刚性三原子分子其质量分布如图所刚性三原子分子其质量分布如图所示，求绕转轴的转动惯量示，求绕转轴的转动惯量233222211rmrmrmJ例例 2 2 质量为质量为m m ，长为，长为 l l 的均匀细棒，分别求其绕垂直的均匀细棒，分别求其绕垂直中心转轴和绕一端转轴的转动惯量。中心转轴和绕一端转轴的转动惯量。r1r2r3m1m2m3转轴转轴15解解: :设棒单位长质量设棒单位长质量: :则按如图所示建立一维坐标系则按如图所示建立一维坐标系, ,绕中心轴的转动惯量为绕中心轴的转动惯量为则按如图所示建立一维坐标系绕一端的转动惯量则按

12、如图所示建立一维坐标系绕一端的转动惯量为为dmxJ21dmxJ22oX图图图图Xo=m/l,dxdxdxxll2222121mldxxl02231mldm=dxdm16oRZ例例 3 3 求质量为求质量为 m m ，半径为，半径为 R R 的均匀薄圆环的转动惯的均匀薄圆环的转动惯量，轴与圆环平面垂直并通过其圆心。量，轴与圆环平面垂直并通过其圆心。dmdmRJ2mdmR22mR解解: :17RoZ例例 4 4 求质量为求质量为 m m ，半径为，半径为 R R 的均匀薄圆盘的转动惯的均匀薄圆盘的转动惯量，轴与圆盘平面垂直并通过其圆心。量，轴与圆盘平面垂直并通过其圆心。drr解解 (1)(1)设圆

13、盘单位面积上的质量为设圆盘单位面积上的质量为(2)在圆盘上取半径为在圆盘上取半径为r r，宽为，宽为 d dr r 的圆环，的圆环， 该圆环质量：该圆环质量：rdrdsdm2dmrJ2rdrrR202221mR2Rm(3) 圆盘转动惯量为圆盘转动惯量为18例例 5 5 求质量为求质量为 M M ，半径为，半径为 R R，厚为，厚为 l l 的的均匀圆柱体均匀圆柱体的转动惯量，轴与圆柱平面垂直并通过其轴心。的转动惯量，轴与圆柱平面垂直并通过其轴心。RoZldl解解 (1)(1)设圆柱体单位长度上的质量为设圆柱体单位长度上的质量为lmlmdd(2)(2)在圆柱体上沿轴向取长为在圆柱体上沿轴向取长为

14、 d dl l 的薄圆盘，该圆盘质量：的薄圆盘，该圆盘质量：2d21dmRJ lRJJld21d02222121MRlR圆盘转动惯量圆盘转动惯量为为(3)圆柱体转动惯量为圆柱体转动惯量为19Z3. 转动惯量的物理意义及性质转动惯量的物理意义及性质: :转动惯量与质量类似转动惯量与质量类似, ,它是刚体转动惯性大小的量度它是刚体转动惯性大小的量度; ;转动惯量不仅与刚体质量有关转动惯量不仅与刚体质量有关, ,而且与刚体转而且与刚体转轴的位置及刚体的质量分布有关轴的位置及刚体的质量分布有关; ;转动惯量具有迭加性转动惯量具有迭加性; ;如图如图, ,如果三个刚体绕同一转轴的转动惯量分别为如果三个刚

15、体绕同一转轴的转动惯量分别为J J1 1,J,J2 2,J,J3 3, ,则该刚体系统绕该轴的转动惯量为则该刚体系统绕该轴的转动惯量为J=JJ=J1 1+J+J2 2+J+J3 320转转动惯量具有相对性动惯量具有相对性; ;同一刚体同一刚体, ,转轴不同转轴不同, ,质量对转轴的分质量对转轴的分布不同布不同, ,因而转动惯量不同。因而转动惯量不同。平行轴定平行轴定理：理： 刚体对任一转轴的转动惯量等于刚刚体对任一转轴的转动惯量等于刚体对体对通过质心并与该轴平行的转动通过质心并与该轴平行的转动惯量加上刚体质量与两轴间距的二惯量加上刚体质量与两轴间距的二次方的乘次方的乘积。积。2mdJJCZCd

16、Z21转动定律转动定律实验指出实验指出, ,一个绕固定轴转动的刚体一个绕固定轴转动的刚体, ,当它所受的合外力矩当它所受的合外力矩( (对对该转轴而言该转轴而言) )为零时为零时, ,它将保持原有的角速度不变。该定理反映它将保持原有的角速度不变。该定理反映了任何转动物体都有转动惯性。了任何转动物体都有转动惯性。一个绕固定轴转动的刚体一个绕固定轴转动的刚体, ,当它所受的合外力矩当它所受的合外力矩( (对该转轴而言对该转轴而言) )不为零时不为零时, ,它将获得角加速度它将获得角加速度, ,角加速度的方向与合外力矩的方角加速度的方向与合外力矩的方向相同向相同; ;角加速度的量值与它所受的合外力矩

17、成正比角加速度的量值与它所受的合外力矩成正比, ,并与它的并与它的转动惯量成反比。转动惯量成反比。当选用国际单位制时当选用国际单位制时, ,该定律可写成该定律可写成JM 5.4 5.4 刚体定轴转动定律的应用刚体定轴转动定律的应用刚体转动的第二定律刚体转动的第二定律: :刚体转动的第一定律刚体转动的第一定律: :22例例6 6 如图一质量为如图一质量为M M 长为长为l l的匀质细杆，可绕其左端且与杆垂直的匀质细杆，可绕其左端且与杆垂直的水平轴转动，若将该杆置于水平位置后由静止释放，求杆转的水平轴转动，若将该杆置于水平位置后由静止释放，求杆转到与水平方向成到与水平方向成角时角时, ,杆的角加速

18、度是多少杆的角加速度是多少? ?解解:(1):(1)设转轴垂直向里为正设转轴垂直向里为正, ,系统对该转轴的转动惯量为系统对该转轴的转动惯量为 231MlJ(2)该系统所受的力矩该系统所受的力矩为为cos2lMgMcos61g(3)(3)由转动定律由转动定律: :M=J可得可得方向方向: :指里指里。mgl23例例7 7 固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴平对称轴OOOO转动转动, ,设大小圆柱体的半径分别为设大小圆柱体的半径分别为R R和和r r, ,质量质量分别为分别为M M和和m m, ,绕在两柱体上的细绳分别与物体绕在两柱体

19、上的细绳分别与物体m m1 1和和m m2 2相相连连, ,m m1 1和和m m2 2则挂在物体的两侧则挂在物体的两侧, ,如下图所示。如下图所示。求求: :柱体转动的角加速度柱体转动的角加速度; ;两细绳的张力两细绳的张力T T1 1和和T T2 2。设设 R=0.2m, r =0.1m, m=4kg, M=10kg, m1=m2=2kgmOOm1m2MrR24(4) (4) 由牛顿第二定律和转动第二定律可列方程如由牛顿第二定律和转动第二定律可列方程如下下2222amTgmXoT2m2gT1m1g1111amgmTJrTRT12辅助方程Ra 2222121mrMRJra 1;(3) (3)

20、 隔离物体分析力隔离物体分析力, ,(2) 定性分析定性分析m m1 1 向上向上, , m m2 2 向下向下; ;定转轴正向沿定转轴正向沿oooo, ,从左侧视图看转轴正向指里从左侧视图看转轴正向指里; ;设设m m2 2 向下为坐标正向向下为坐标正向; ;解解: :(1).(1).确定研究对象确定研究对象：m、M、m1、m2T2Rro1122; TTTTT1(1)(2)(3)(4)254. 4. 解方程可得结果如下解方程可得结果如下: :222212212rad/s13. 62grmgRmRmrmmrMRN83.20)(11rgmTN15.17)(22RgmT26练习练习1 1两个物体质

21、量分别为两个物体质量分别为m m1 1和和m m2 2 定滑轮的质量定滑轮的质量 为为 m m ，半径为，半径为r r ，可视为均匀圆盘。已知桌面间的滑，可视为均匀圆盘。已知桌面间的滑动摩擦系数和为动摩擦系数和为k k。 求求 m m1 1 下落的加速度和两段绳子中的张力各是多少？设下落的加速度和两段绳子中的张力各是多少？设绳子和滑轮间无相对滑动，滑轮轴受的摩擦力忽略不计。绳子和滑轮间无相对滑动，滑轮轴受的摩擦力忽略不计。m1m2rm271122; TTTT辅助方程221mrJ T2T1m1gfT1T2m2aaramTgm111（1 1）ak222mgmT（2 2）JrTT)(21（3 3）r

22、a （4 4）28gmam/2mmm21k21gmmmT121k21m/2m2/)1 (mgmmmT221kk12m/2m2/)1 (m解方程可得结果如下解方程可得结果如下:29将刚体看成许多质量分别为将刚体看成许多质量分别为m1 、m2 mimn的质点的质点;各质点距转轴的距离分别为各质点距转轴的距离分别为 r1、r2 ri rn221iikivmE整个刚体的动能整个刚体的动能kiikEE一、一、 转动动能转动动能221JEk称刚体的转动动能称刚体的转动动能5.5 5.5 转动中的功和能转动中的功和能则第则第 i i 个质元的动能个质元的动能 2221iirm221iiivm2221iiir

23、m30O二、力矩的功二、力矩的功-力矩作用于刚体的空间累积效力矩作用于刚体的空间累积效应应当力持续作用于刚体使其角位置由当力持续作用于刚体使其角位置由1 1到到2 2时时, ,力矩的功力矩的功为为21MdArdfdArdfcosdfrsinMd如图力如图力 f f 作用于作用于P P点使刚体绕转轴转过微小角度点使刚体绕转轴转过微小角度dd,P P点对应的线位移为点对应的线位移为dr, dr, 力所作的元功力所作的元功pfdrdr31四、四、 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理末态的角位置和角速度分别为末态的角位置和角速度分别为2 2和和2 2, ,则在该过程中力则在该过程中力矩的功为

24、：矩的功为：21MdA即即, ,合外力矩对刚体做定轴转动所作的功合外力矩对刚体做定轴转动所作的功, ,等于刚体等于刚体转动动能的增量。转动动能的增量。设刚体上某质元初始时的角位置和角速度分别为设刚体上某质元初始时的角位置和角速度分别为1 1和和121dJ21dddtJ21222121JJ21222121JJA_定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理32m质量为质量为m m的不太大的整个刚体的重力势能的不太大的整个刚体的重力势能mygEPdmygdmmymgdcmgyydmycC一个不太大的刚体的重力势能和它一个不太大的刚体的重力势能和它的全部质量集中在质心时所具有的势能的全部质量集中在质心时所具

25、有的势能一样。一样。结论：结论：五五 、刚体系统的功能原理、刚体系统的功能原理A外力外力 +A非保守内力非保守内力=（Ek2 +Ep2 ）-（Ek1 +Ep1）当含刚体的系统在运动过程中当含刚体的系统在运动过程中只有保守力内力做功时只有保守力内力做功时, , 在该过程中系统机械能守恒。在该过程中系统机械能守恒。XYOz2221212121ccmghJmghJ五、刚体势能五、刚体势能33例例 3 3： 如图一质量为如图一质量为M M 长为长为l的匀质细杆，中间和右端各的匀质细杆，中间和右端各有一质量皆为有一质量皆为m m的刚性小球，该系统可绕其左端且与杆垂直的刚性小球，该系统可绕其左端且与杆垂直

26、的水平轴转动，若将该杆置于水平位置后由静止释放，求的水平轴转动，若将该杆置于水平位置后由静止释放，求杆转到与水平方向成杆转到与水平方向成角时角时, ,杆的角速度杆的角速度是多少是多少? ?mgl1. 1. 研究对象研究对象: :杆杆+ +球球+ +地球地球= =系统系统重力重力mgmg保守内力保守内力; ; 弹力其功为弹力其功为零零2. 2. 分析系统受力及力的功分析系统受力及力的功: :3. 3. 取重力势能零点取重力势能零点: :水平位水平位置置4. 4. 运动过程中系统满足机械能守恒的条件运动过程中系统满足机械能守恒的条件: :解解: :340)312(212222Mlmllmsinsi

27、n2sin2mgllmglMgsin)415()3(12glMmmM35rivimiZoi5.6 5.6 对定轴的角动量守恒定律对定轴的角动量守恒定律二、角动量定理二、角动量定理: :1. 角动量定义角动量定义: :质点对质点对Z Z轴的角动量轴的角动量: :iiiiizimrvmrL2刚体对刚体对Z Z轴的角动量轴的角动量: :2. 角动量定理角动量定理:dtdLM 转动物体所受合外力矩转动物体所受合外力矩 , ,等于转动物体角动量的变化率。等于转动物体角动量的变化率。意义意义: :JmrmrLiiiiiiZ)(22JLZ36三、角动量守恒定律三、角动量守恒定律: :由角动量定理可知：由角动

28、量定理可知：dtLdM1.1.角动量守恒有两种情况角动量守恒有两种情况: :注意注意: :2.2.角动量守恒定律与动量守恒定律、角动量守恒定律与动量守恒定律、 能量守恒定律一样都是自能量守恒定律一样都是自然界的规律。然界的规律。(1) (1) 是转动惯量是转动惯量J J与与角速度角速度都不变都不变; ;(2) (2) 是两者都变但二者的乘积是两者都变但二者的乘积J J不变。不变。当刚体所受合力矩为零时，当刚体所受合力矩为零时，M=0, L=常矢量常矢量37舞蹈中的角动量守恒现象舞蹈中的角动量守恒现象38滑冰中的角动量守恒现象滑冰中的角动量守恒现象 39跳水中的角动量守恒现象跳水中的角动量守恒现

29、象 起跳入水例题例题3 3：人走圆盘转。一个质量为：人走圆盘转。一个质量为M M，半径为，半径为R R的水平均匀的水平均匀圆盘可绕通过中心的光滑竖直轴自由转动。在盘缘上站圆盘可绕通过中心的光滑竖直轴自由转动。在盘缘上站着一个质量为着一个质量为m m的人，二者最初都相对地面静止。当人在的人，二者最初都相对地面静止。当人在盘上沿盘边走一周时，盘对地面转过的角度多大？盘上沿盘边走一周时，盘对地面转过的角度多大？MRxmO1解：解：如图所示，对盘和人组成的如图所示，对盘和人组成的系统，在人走动时系统所受的对竖系统，在人走动时系统所受的对竖直轴的外力矩为零，所以系统对此直轴的外力矩为零，所以系统对此轴的

30、角动量守恒。以轴的角动量守恒。以J1和和J2分别表分别表示人和盘对轴的转动惯量，并以示人和盘对轴的转动惯量，并以1 1和和2 2分别表示任一时刻人和盘分别表示任一时刻人和盘绕轴的角速度。绕轴的角速度。由于起始角动量为由于起始角动量为零，所以角动量守恒给出：零，所以角动量守恒给出：02211 JJ其中其中222121,MRJmRJ41带入上式得带入上式得dtdMRdtdmR22122121220012212112MmdMRdmR212人在盘上走一周时人在盘上走一周时带入上式可得带入上式可得2222Mmm以以 和和 分别表示人和盘对地面发生的角位移，分别表示人和盘对地面发生的角位移，则：则：12d

31、tddtd2211,42例例4 4: :如图长为如图长为 l 的均匀直棒其质量为的均匀直棒其质量为M,上端用光滑水平上端用光滑水平轴吊起而静止下垂。今有一子弹质量为轴吊起而静止下垂。今有一子弹质量为m , ,以水平速度以水平速度vo 射入杆的下端而不复出。射入杆的下端而不复出。求：子弹刚和杆开始一起运动时的角速求：子弹刚和杆开始一起运动时的角速度度多大多大? ?mvool43解解: :1. 定转轴正向：定转轴正向：指外指外2. 隔离物体分析力及力矩；隔离物体分析力及力矩；子弹冲入杆的过程中，以子弹和杆子弹冲入杆的过程中，以子弹和杆为系统，则为系统，则系统的角动量守恒。系统的角动量守恒。)31(

32、22mlMllmvo设子弹刚冲入杆中，子弹和杆共同设子弹刚冲入杆中，子弹和杆共同的角速度为的角速度为，则由角动量守恒定律可，则由角动量守恒定律可得得lmMmvo)3(3mvoolfFMgmgf44例例5 5: :如图长为如图长为 l ，质量为质量为 m的均匀直棒静止在一光滑的水的均匀直棒静止在一光滑的水平面上。它的中点有一竖直光滑固定轴，一个质量为平面上。它的中点有一竖直光滑固定轴，一个质量为m 的的小球以水平速度小球以水平速度 vo 射垂直于棒冲击其一端发生弹性碰撞。射垂直于棒冲击其一端发生弹性碰撞。lmvomo求求: :碰撞后球的速度碰撞后球的速度v 和棒的角速度和棒的角速度。45解解:

33、:定转轴正向指上；定转轴正向指上；以子弹和杆为系统，以子弹和杆为系统，则系统的角动量守恒则系统的角动量守恒动能守恒。动能守恒。mvomovm212122mlvmlvmlolmmvmo) 3(122222121212121mlvmvmo)3()3(mmvmmvoZ46例例 6:如图长为如图长为l 的均匀细棒的均匀细棒, ,一端悬于一端悬于o点点, ,另一端自由另一端自由下垂下垂, ,紧靠紧靠o o 点有一摆线长为点有一摆线长为l 的单摆的单摆, ,摆球质量为摆球质量为m ,现现将单摆拉到水平位置后将单摆拉到水平位置后, ,由静止释放由静止释放, ,设摆球在其平衡位设摆球在其平衡位置与棒做弹性碰撞

34、后摆置与棒做弹性碰撞后摆 球恰好静止球恰好静止, ,试求试求: :细棒的质细棒的质量量M;细棒碰撞后摆动的最大角度细棒碰撞后摆动的最大角度o47(一一)单摆下落过程单摆下落过程(AB):1.研究对象研究对象: :摆摆 球球+ +地球地球= =系统系统重力重力mg保守力力保守力力; ; 绳的张力绳的张力T其功为零其功为零2.分析系统受力及力的功分析系统受力及力的功: :3.取零点势能取零点势能: :B B点点4. AB过程系统满足机械能守恒条件过程系统满足机械能守恒条件: : 212mvmgl glv2BAmgTC(1)48(二二)单摆与棒碰撞过程单摆与棒碰撞过程( (在在B B点点):):1. 研究对象研究对象: : 摆球摆球+ +棒棒= =系统系统2. 设