恒成立问题常见类型及解法

1、恒成立问题恒成立问题常见类型及解法常见类型及解法5 5、不等式恒成立问题不等式恒成立问题 高考命题中，不等式恒成立问题往往结合函数与导数高考命题中，不等式恒成立问题往往结合函数与导数同题考查，单独考查的较少，结合函数与导数的题目难度大、同题考查，单独考查的较少，结合函数与导数的题目难度大、分值高，要引起我们的足够重视。分值高，要引起我们的足够重视。6 6、不等式与其他知识的结合不等式与其他知识的结合细解命题特点转化思想转化思想解答不等式恒成立问题解答不等式恒成立问题 求解不等式恒成立问题的常用方法：求解不等式恒成立问题的常用方法： (1)(1)分离参数法：通过分离参数，转化为不含参数的函分离参

2、数法：通过分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题求解数的最值问题求解. . (2) (2)函数思想：转化为求含参数的函数的最值问题求解函数思想：转化为求含参数的函数的最值问题求解. . (3) (3)数形结合思想：转化为两熟悉函数图象间的上下关数形结合思想：转化为两熟悉函数图象间的上下关系求解系求解. . 解答过程中应注意的问题：解答过程中应注意的问题： (1)(1)分离参数时应注意系数符号对不等号的影响分离参数时应注意系数符号对不等号的影响. . (2) (2)应用函数方法求解时，所使用的函数一般为二次函应用函数方法求解时，所使用的函数一般为二次函数数. . (3) (3)应用数形结合法求

3、解时，应注意图象最高点或最低应用数形结合法求解时，应注意图象最高点或最低点处函数值的大小关系点处函数值的大小关系. . 在高三复习中经常遇到不等式恒成立问题。这类问在高三复习中经常遇到不等式恒成立问题。这类问题求解的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基题求解的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合法本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合法等解题方法求解。解题过程本身等解题方法求解。解题过程本身渗透着换元、化归、数渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，另外不等式恒成立问形结合、函数与方程等思想方法，另外不等式恒成立问题大多要

4、利用到一次函数、二次函数的图象和性质。题大多要利用到一次函数、二次函数的图象和性质。 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：类型：（1 1）一次函数型；）一次函数型；（2 2）二次函数型；）二次函数型；（3 3）变量分离型；）变量分离型；（4 4）利用函数的性质求解；）利用函数的性质求解；（5 5）直接根据函数的图象求解；）直接根据函数的图象求解；（6 6）反证法求解。）反证法求解。下面分别举例示之。下面分别举例示之。一、一次函数型一、一次函数型典例导悟二、二次函数型二、二次函数型典例导悟三、变量分离型三、变量分离型【理论阐释】【理论阐释】 若在

5、等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。典例导悟【理论阐释】【理论阐释】 若函数若函数f(x)f(x)是奇是奇( (偶偶) )函数，则对一切定义域中的函数，则对一切定义域中的x,f(-x)= x,f(-x)= f(x)f(x)，(f(-x)=f(x)(f(-x)=f(x)恒成立；若函数恒

6、成立；若函数y=f(x)y=f(x)的周期为的周期为T T，则对，则对一切定义域中的一切定义域中的x,x,有有f(x)=f(x+T)f(x)=f(x+T)恒成立；若函数图象平移前后恒成立；若函数图象平移前后互相重合，则函数解析式相等。互相重合，则函数解析式相等。四、利用函数的性质解决恒成立问题四、利用函数的性质解决恒成立问题典例导悟五、五、 把不等式恒成立问题转化为函数图象问题把不等式恒成立问题转化为函数图象问题【理论阐释】【理论阐释】 若把不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出不等若把不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出不等号两边对应函数的图象，这样就把一个很难解决的不等式的号两边对应

7、函数的图象，这样就把一个很难解决的不等式的问题转化为利用函数图象解决的问题，然后从图象中寻找条问题转化为利用函数图象解决的问题，然后从图象中寻找条件，就能解决问题。件，就能解决问题。典例导悟六、采用逆向思维，考虑使用反证法六、采用逆向思维，考虑使用反证法【理论阐释】【理论阐释】 恒成立问题有时候从正面很难入手，这时如果考虑恒成立问题有时候从正面很难入手，这时如果考虑问题的反面，有时会有问题的反面，有时会有“柳暗花明又一村柳暗花明又一村”的效果，所的效果，所谓谓“正难则反正难则反”就是这个道理。就是这个道理。典例导悟【典例】设函数【典例】设函数 对任意对任意xx1,+),1,+),f(mx)+m

8、f(x)f(mx)+mf(x)0 0恒成立，则实数恒成立，则实数m m的取值范围是的取值范围是_._.【解题指导】【解题指导】转化为具体不等式后，再通分转化为整式不等转化为具体不等式后，再通分转化为整式不等式，最后分类讨论式，最后分类讨论. .【规范解答】【规范解答】 x x1,+),1,+),f(mx)+mf(x)f(mx)+mf(x)0,0, 即即mxmx2m2m2 2x x2 2-(1+m-(1+m2 2) )0.0. 1f xx,x11mxm(x) 0,mxx1m2mx0,mxx 1f xxx，由由f(mx)+mf(x)f(mx)+mf(x)0 0在在xx1,+)1,+)上恒成立知，上

9、恒成立知，mxmx2m2m2 2x x2 2-(1+m-(1+m2 2) )0 0在在xx1,+)1,+)上恒成立上恒成立, ,m0.m0.当当m m0 0时，只要时，只要2m2m2 2x x2 2-(1+m-(1+m2 2) )0 0恒成立即可恒成立即可, ,即即xx1,+),1,+), 2221mx,2m221m1,2mmm2 21,m1,m-1.-1.当当m m0 0时，只要时，只要2m2m2 2x x2 2-(1+m-(1+m2 2) )0 0恒成立即可恒成立即可, ,即即 xx1,+),1,+), 不恒成立不恒成立. .综上，实数综上，实数m m的取值范围为的取值范围为(-,-1).

10、(-,-1).答案：答案：(-,-1)(-,-1)2221mx.2m2221mx2m7 7（20102010山东高考）若对任意山东高考）若对任意x x0, 0, 恒成立，恒成立，则则a a的取值范围是的取值范围是_【解题提示】【解题提示】将恒成立问题转化为最值问题将恒成立问题转化为最值问题. .【解析】【解析】因为因为x x0 0 ，所以，所以 （当且仅当（当且仅当x=1x=1时取等时取等号），所以有号），所以有 即即 的最大值为的最大值为 故故aa答案答案: : ) )2xax3x11x2x2x111 1x3x1235x3x，2xx3x115，1.51,5 【方法技巧】【方法技巧】不等式恒成

11、立问题的解题方法不等式恒成立问题的解题方法1.1.不等式的恒成立问题与函数最值有密切的关系，解决不等不等式的恒成立问题与函数最值有密切的关系，解决不等式恒成立问题，通常先分离参数，再转化为最值问题来解：式恒成立问题，通常先分离参数，再转化为最值问题来解：cf(x)cf(x)恒成立恒成立 cf(x)cf(x)maxmax; ;cf(x)cf(x)恒成立恒成立 cf(x)cf(x)minmin. .2.2.高次函数或非基本初等函数的最值问题，通常采用导数法高次函数或非基本初等函数的最值问题，通常采用导数法解决解决. .【例【例3 3】设函数】设函数f(x)=axf(x)=ax2 2-2x+2,-2

12、x+2,对于满足对于满足1 1x x4 4的一切的一切x x值都值都有有f(x)f(x)0,0,求实数求实数a a的取值范围的取值范围. .【解题指南】【解题指南】解答本题可以有两条途径：解答本题可以有两条途径：(1)(1)分分a a0,a0,a0,a=00,a=0三种情况三种情况, ,求出求出f(x)f(x)在在(1,4)(1,4)上的最小值上的最小值f(x)f(x)minmin, ,再令再令f(x)f(x)minmin0,0,从而求出从而求出a a的取值范围；的取值范围；(2)(2)将参数将参数a a分离得分离得 然后求然后求 的最大的最大值即可值即可. .222a,xx 222g xxx

13、 【规范解答】【规范解答】方法一：当方法一：当a a0 0时时, ,由由f(x)f(x)0,x(1,4)0,x(1,4)得：得： 或或 或或 或或 或或 211f xa(x)2,aa11af(1)a220114a11f( )20aa 14a,f 416a820 a1a01a 141a2 1a4,3a811a1a 1,a,22或 或即 当当a a0 0时时, , 解得解得aa; ;当当a=0a=0时时,f(x)=-2x+2,f(1)=0,f(4)=-6,f(x)=-2x+2,f(1)=0,f(4)=-6,不合题意不合题意. .综上可得综上可得, ,实数实数a a的取值范围是的取值范围是方法二：由

14、方法二：由f(x)f(x)0,0,即即axax2 2-2x+2-2x+20,x(1,4),0,x(1,4),得得在在(1,4)(1,4)上恒成立上恒成立. .令令g(x)g(x)maxmax=g(2)= ,=g(2)= ,所以要使所以要使f(x)f(x)0 0在在(1,4)(1,4)上恒成立上恒成立, ,只要只要a a 即可即可. . f 1a220,f 416a820 1a.2222axx 2222111 11g x2(),( ,1),xxx22 x4 1212【反思【反思感悟】感悟】1.1.一元二次不等式问题及一元二次方程解的确一元二次不等式问题及一元二次方程解的确定与应用问题常转化为二次

15、函数图象和性质的应用问题求解，定与应用问题常转化为二次函数图象和性质的应用问题求解，但要注意讨论但要注意讨论. .2.2.关于不等式的恒成立问题关于不等式的恒成立问题, ,能用分离参数法，尽量用能用分离参数法，尽量用. .因为该因为该法可以避开频繁地对参数的讨论法可以避开频繁地对参数的讨论. .4.(20104.(2010新课标全国卷新课标全国卷) )设函数设函数f(x)=ef(x)=ex x-1-x-ax-1-x-ax2 2. .(1)(1)若若a=0a=0，求，求f(x)f(x)的单调区间；的单调区间；(2)(2)若当若当x0 x0时时f(x)0f(x)0，求，求a a的取值范围的取值范围

16、【解题提示】【解题提示】在第在第(1)(1)问中先把问中先把a=0a=0代入，然后通过求导判断代入，然后通过求导判断导数正负求得单调区间，解决第导数正负求得单调区间，解决第(2)(2)问的关键是从当问的关键是从当x0 x0时时f(x)0f(x)0入手，结合函数的解析式联合求解，通过判断导数入手，结合函数的解析式联合求解，通过判断导数的正负找到分界点进行讨论的正负找到分界点进行讨论. .【解析】【解析】(1)a=0(1)a=0时，时，f(x)=ef(x)=ex x-1-x-1-x，f(x)=ef(x)=ex x-1.-1.当当xx(-,0)(-,0)时，时，f(x)f(x)0 0；当；当x(0,+)x(0,+)时，时，f(x)f(x)0.0.故故f(x)f(x)在在(-,0)(-,0)单调减少，在单调减少，在(0,+)(0,+)单调增加单调增加. .(2)f(x)=e(2)f(x)=ex x-1-2ax-1-2ax，由，由(1)(1)知知e ex x1+x1+x，当且仅当，当且仅当x=0 x=0时等号时等号成立成立. .故故f(x)x-2ax=(1-2a)x,f(x)x-2ax=(1-2a)x,从而当从而当1-2a01-2a0，即，即a a 时，时，f(x)0(x0)f(x)0(x0)，而而f(0)=0f(0)=0，于是当，于是当x0 x0时，时，f(x)0.f(x)0.由由e