2015-2016年广东省肇庆市高三（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

1、_2015-2016学年广东省肇庆市高三（上）期末数学试卷（文科）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合M=x|x23x40，N=x|3x3，则MN=（）A3，1B1，3）C（，4D（，41，3）2设是复数z的共轭复数，且满足，i为虚数单位，则复数z的实部为（）A4B3CD23一个口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出两个球，则摸出的两个都是白球的概率是（）ABCD4执行如图所示的程序框图若n=4，则输出S的值是（）A23B5C9D115已知tan=2，则=（）ABCD6在等比数列an中，已知，则a6a7

2、a8a9a10a11a12a13=（）A4BC2D7已知x，y满足不等式组则函数z=2x+y取得最大值与最小值之和是（）A3B9C12D158设向量=（1，2），=（3，2），若表示向量3，2，的有向线段首尾相接能构成三角形，则=（）A4B4C8D89函数f（x）=3+6sin（+x）cos2x（xR）的最大值和最小值之和是（）A2BC8D1210若某圆柱体的上部挖掉一个半球，下部挖掉一个圆锥后所得的几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，则此几何体的表面积是（）A24BCD3211设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，且Sn满足2（3n2n）=0，nN*则数列an的通项公式是（）Aan

3、=3n2Ban=4n3Can=2n1Dan=2n+112已知函数f（x）=lnx+x+h，在区间上任取三个实数a，b，c均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，则实数h的取值范围是（）A（，1）B（，e3）C（1，+）D（e3，+）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13曲线C：y=xlnx在点M（e，e）处的切线方程为14已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的体积为15已知函数y=f（x）是定义在R上的单调递增函数，且1是它的零点，若f（x2+3x3）0，则实数x的取值范围为16在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围为

4、三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17已知等差数列an的前n项和为Sn，且满足：a3=6，a5+a7=24（）求等差数列an的通项公式；（）求数列的前P项和Tn18在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA+sinB=2sinC，a=2b（）求cos（A）的值；（）若SABC=，求c的值19某学校为了了解学生使用手机的情况，分别在高一和高二两个年级各随机抽取了100名学生进行调查下面是根据调查结果绘制的学生日均使用手机时间的频率分布直方图和频数分布表，将使用手机时间不低于80分钟的学生称为“手机迷”高二学生日均使用手机时间的频数分布表时间分组频数0，20）12

5、20，40）2040，60）2460，80）2680，100）14100，1204（）将频率视为概率，估计哪个年级的学生是“手机迷”的概率大？请说明理由（）在高一的抽查中，已知随机抽到的女生共有55名，其中10名为“手机迷”根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你有多大的把握认为“手机迷”与性别有关？非手机迷手机迷合计男女合计附：随机变量（其中n=a+b+c+d为样本总量）参考数据P（k2x0）0.150.100.050.025x02.0722.7063.8415.02420如图1，正方形ABCD的边长为，E、F分别是DC和BC的中点，H是正方形的对角线AC与EF的交点，N是

6、正方形两对角线的交点，现沿EF将CEF折起到PEF的位置，使得PHAH，连结PA，PB，PD（如图2）（）求证：BDAP；（）求三棱锥ABDP的高21已知函数，aR（）求函数f（x）的单调区间；（）如果当x0，且x1时，恒成立，求实数a的范围四.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-1：几何证明选讲22如图，O的半径为r，MN切O于点A，弦BC交OA于点Q，BPBC，交MN于点P（）求证：PQAC；（）若AQ=a，AC=b，求PQ选修4-4：坐标系与参数方程23在极坐标系中，圆C的方程为=2acos（a0），以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平

7、面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）（）求圆C的标准方程和直线l的普通方程；（）若直线l与圆C恒有公共点，求实数a的取值范围选修4-5：不等式选讲24已知f（x）=|xa|+|2xa|，a0（）求函数f（x）的最小值；（）若不等式的解集非空，求a的取值范围_2015-2016学年广东省肇庆市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合M=x|x23x40，N=x|3x3，则MN=（）A3，1B1，3）C（，4D（，41，3）【考点】交集及其运算【专题】计算题；集合【分析】求出M中

8、不等式的解集确定出M，找出M与N的交集即可【解答】解：由M中不等式变形得：（x4）（x+1）0，解得：x1或x4，即M=（，14，+），N=3，3），MN=3，1，故选：A【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2设是复数z的共轭复数，且满足，i为虚数单位，则复数z的实部为（）A4B3CD2【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】计算题；对应思想；数学模型法；数系的扩充和复数【分析】设出z=a+bi（a，bR），则，代入，整理后利用复数相等的条件计算a的值，则复数z的实部可求【解答】解：设z=a+bi（a，bR），则，由，得a+bi+abi=，则2a=4即a=2复数z的实

9、部为：2故选：D【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题3一个口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出两个球，则摸出的两个都是白球的概率是（）ABCD【考点】古典概型及其概率计算公式【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计【分析】从中一次摸出两个球，先求出基本事件总数，再求出摸出的两个都是白球，包含的基本事件个数，由此能求出摸出的两个都是白球的概率【解答】解：一个口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出两个球，基本事件总数=10，摸出的两个都是白球，包含的基本事件个数m=3，摸出的两个都是白球的概率是p=故选：B

10、【点评】本题考查摸出的两个球都是白球的概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用4执行如图所示的程序框图若n=4，则输出S的值是（）A23B5C9D11【考点】程序框图【专题】图表型【分析】根据题中的程序框图，模拟运行，分别求解s和i的值，注意对判断框中条件的判断，若不符合条件，则结束运行，输出s的值，从而得到答案【解答】解：第一次循环：s=1+（2）=1，i=2，第二次循环：s=3，i=3，第三次循环：s=5，i=4， 第四次循环：s=11，i=5，运行结束，输出s=11故选：D【点评】本题考查了程序框图，考点是条件结构和循环结构的考查解题的时候要注意判循环

11、的条件是什么，根据判断的结果决定是执行循环体还是结束运行属于基础题5已知tan=2，则=（）ABCD【考点】二倍角的正弦；三角函数的化简求值【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系、诱导公式求得所给式子的值【解答】解：tan=2，则=sincos=，故选：A【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题6在等比数列an中，已知，则a6a7a8a9a10a11a12a13=（）A4BC2D【考点】等比数列的性质【专题】计算题；规律型；转化思想；等差数列与等比数列【分析】直接利用等比数列的性质求解即可【解答】解：在等比数列an中，已知

12、，则a6a7a8a9a10a11a12a13=4故选：A【点评】本题考查等比数列的简单性质的应用，考查计算能力7已知x，y满足不等式组则函数z=2x+y取得最大值与最小值之和是（）A3B9C12D15【考点】简单线性规划【专题】数形结合；综合法；不等式的解法及应用【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合求出最值即可【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，使目标函数z=2x+y取得最大值时过点B，联立，解得，故z的最大值是：z=12，取到最小值时过点A，联立，解得，故z的最小值是：z=3，最大值与最小值之和是15，故选：D【点评】本题考查了简单的线性规划，考查

13、了数形结合的解题思想方法，是中档题8设向量=（1，2），=（3，2），若表示向量3，2，的有向线段首尾相接能构成三角形，则=（）A4B4C8D8【考点】向量的加法及其几何意义【专题】数形结合；转化思想；平面向量及应用【分析】由于表示向量3，2，的有向线段首尾相接能构成三角形，可得=3+2，再利用数量积运算性质即可得出【解答】解：向量=（1，2），=（3，2），则3=（3，6），2=（7，6），表示向量3，2，的有向线段首尾相接能构成三角形，=3+2=（4，0），=（4，0），=4故选：B【点评】本题考查了向量的三角形法则、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9函数f（x）=3+

14、6sin（+x）cos2x（xR）的最大值和最小值之和是（）A2BC8D12【考点】三角函数的最值【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系、诱导公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的值域，二次函数的性质求得它的最值，从而得出结论【解答】解：函数f（x）=3+6sin（+x）cos2x=36sinx（12sin2x）=2，故当sinx=1时，f（x）取得最小值为2，当sinx=1时，f（x）取得最大值为10，故最大值和最小值之和是102=8，故选：C【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式，正弦函数的值域，二次函数的性质，属于中档题10若

15、某圆柱体的上部挖掉一个半球，下部挖掉一个圆锥后所得的几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，则此几何体的表面积是（）A24BCD32【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；数形结合；空间位置关系与距离【分析】几何体的表面积是圆柱的侧面积与半个求的表面积、圆锥的侧面积的和【解答】解：圆柱的侧面积为S1=2×2×4=16，半球的表面积为，圆锥的侧面积为，所以几何体的表面积为；故选C【点评】本题考查了几何体的三视图以及表面积的计算属于基础题11设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，且Sn满足2（3n2n）=0，nN*则数列an的通项公式是（）Aan=3n2Ban=4n3

16、Can=2n1Dan=2n+1【考点】数列递推式【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列【分析】由满足2（3n2n）=0，nN*变形为：（Sn+2）=0已知数列an的各项均为正数，可得2Sn=3n2n，利用递推关系即可得出【解答】解：由满足2（3n2n）=0，nN*因式分解可得：（Sn+2）=0，数列an的各项均为正数，2Sn=3n2n，当n=1时，2a1=31，解得a1=1当n2时，2an=2Sn2Sn1=3n2n23（n1）2（n1）=3n2，当n=1时，上式成立an=3n2故选：A【点评】本题考查了数列的递推关系、因式分解方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12已知函数f（x

17、）=lnx+x+h，在区间上任取三个实数a，b，c均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，则实数h的取值范围是（）A（，1）B（，e3）C（1，+）D（e3，+）【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用【专题】转化思想；综合法；导数的综合应用【分析】由条件可得2f（x）minf（x）max且f（x）min0，再利用导数求得函数的最值，从而得出结论【解答】解：任取三个实数a，b，c均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，等价于f（a）+f（b）f（c）恒成立，可转化为2f（x）minf（x）max且f（x）min0令得x=1当时，f'（x）0；当1xe时，f

18、9;（x）0；所以当x=1时，f（x）min=f（1）=1+h， =e1+h，从而可得，解得he3，故选：D【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数的恒成立问题，求函数的最值，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13曲线C：y=xlnx在点M（e，e）处的切线方程为y=2xe【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】计算题【分析】先求导函数，求曲线在点（e，e）处的切线的斜率，进而可得曲线y=xlnx在点（e，e）处的切线方程【解答】解：求导函数，y=lnx+1当x=e时，y=2曲线y=xlnx在点（e，e）处的切线方程为ye=2（xe）即y=2xe故答案为：y=2

19、xe【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，求出切线的斜率是关键，属于基础题14已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的体积为【考点】球内接多面体；球的体积和表面积【专题】空间位置关系与距离【分析】先求正四棱柱的底面边长，然后求其对角线，就是球的直径，再求其体积【解答】解：正四棱柱高为4，体积为16，底面积为4，正方形边长为2，正四棱柱的对角线长即球的直径为2，球的半径为，球的体积是V=，故答案为：【点评】本题考查学生空间想象能力，四棱柱的体积，球的体积，容易疏忽的地方是几何体的体对角线是外接球的直径，导致出错15已知函数y=f（x）是定义在R上的单调递增函

20、数，且1是它的零点，若f（x2+3x3）0，则实数x的取值范围为（4，1）【考点】函数单调性的性质【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用【分析】利用函数单调性的性质，将不等式进行转化求解即可【解答】解：y=f（x）是定义在R上的单调递增函数，且1是它的零点，不等式f（x2+3x3）0等价为f（x2+3x3）f（1），即x2+3x31，即x2+3x40，解得4x1，故答案为：（4，1）【点评】本题主要考查函数单调性的应用，利用函数零点的关系将不等式进行转化是解决本题的关键16在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（1，1）【考点】正弦定理【专题】计算题；规律

21、型；转化思想；解三角形【分析】利用正弦定理，以及两角和的正弦函数，化简求解即可【解答】解：因为，所以，=因为ABC是锐角三角形，由得，所以，故故答案为：（1，1）【点评】本题考查正弦定理以及两角和的正弦函数的应用，考查计算能力三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17已知等差数列an的前n项和为Sn，且满足：a3=6，a5+a7=24（）求等差数列an的通项公式；（）求数列的前P项和Tn【考点】数列的求和；数列递推式【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】（）通过设等差数列an的首项为a1、公差为d，联立a3=6、a5+a7=24可知首项、公差，进而可得结论；

22、（）通过（）裂项可知=，进而并项相加即得结论【解答】解：（）设等差数列an的首项为a1、公差为d，a3=6，a5+a7=24，解得：，an=2+（n1）×2=2n；（）由（）得：，所以=【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，利用裂项相消法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题18在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA+sinB=2sinC，a=2b（）求cos（A）的值；（）若SABC=，求c的值【考点】正弦定理；余弦定理【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形【分析】（）由正弦定理化简已知等式得a+b=2c，联立a=2b，可得，由余

23、弦定理可求cosA，利用诱导公式可求cos（A）的值（）由，得，利用三角形面积公式可解得c的值【解答】（本小题满分12分）解：（）sinA+sinB=2sinC，由正弦定理得a+b=2c，（2分）又a=2b，可得，（3分），（5分）（7分）（）由，得，（8分），（10分），解得c=4（12分）【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，诱导公式，同角三角函数基本关系式的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题19某学校为了了解学生使用手机的情况，分别在高一和高二两个年级各随机抽取了100名学生进行调查下面是根据调查结果绘制的学生日均使用手机时间的频率分布直方图和频数分布表，

24、将使用手机时间不低于80分钟的学生称为“手机迷”高二学生日均使用手机时间的频数分布表时间分组频数0，20）1220，40）2040，60）2460，80）2680，100）14100，1204（）将频率视为概率，估计哪个年级的学生是“手机迷”的概率大？请说明理由（）在高一的抽查中，已知随机抽到的女生共有55名，其中10名为“手机迷”根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你有多大的把握认为“手机迷”与性别有关？非手机迷手机迷合计男女合计附：随机变量（其中n=a+b+c+d为样本总量）参考数据P（k2x0）0.150.100.050.025x02.0722.7063.8415.0

25、24【考点】独立性检验的应用【专题】应用题；方程思想；综合法；概率与统计【分析】（）将频率视为概率，即可得出结论（）利用频率分布直方图直接完成2×2列联表，通过计算K2，说明有90%的把握认为“手机迷”与性别有关【解答】解：（）由频率分布直方图可知，高一学生是“手机迷”的概率为P1=（0.0025+0.010）×20=0.25（2分）由频数分布表可知，高二学生是“手机迷”的概率为（4分）因为P1P2，所以高一年级的学生是“手机迷”的概率大（5分）（）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“手机迷”有（0.010+0.0025）×20×100=25（人

26、），非手机迷有10025=75（人）（6分）从而2×2列联表如下：非手机迷手机迷合计男301545 女451055合计7525100（8分）将2×2列联表中的数据代入公式计算，得（11分）因为3.0302.706，所以有90%的把握认为“手机迷”与性别有关（12分）【点评】本题考查独立性检验以及概率的计算，考查基本知识的应用，属于中档题20如图1，正方形ABCD的边长为，E、F分别是DC和BC的中点，H是正方形的对角线AC与EF的交点，N是正方形两对角线的交点，现沿EF将CEF折起到PEF的位置，使得PHAH，连结PA，PB，PD（如图2）（）求证：BDAP；（）求三棱锥A

27、BDP的高【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系【专题】证明题；数形结合；数形结合法；立体几何【分析】（1）由PHAH，PHEF可得PH平面ABCD，故PHBD，又ACBD，得出BD平面PAH，得出BD；（2）分别把ABD和BDP当做底面求出棱锥的体积，列出方程解出【解答】（）证明：E、F分别是CD和BC的中点，EFBD又ACBD，ACEF，故折起后有PHEF又PHAH，PH平面ABFED 又BD平面ABFED，PHBD，AHPH=H，AH，PH平面APH，BD平面APH，又AP平面APH，BDAP（）解：正方形ABCD的边长为，AC=BD=4，AN=2，NH=PH=1

28、，PE=PFPBD是等腰三角形，连结PN，则PNBD，PBD的面积设三棱锥ABDP的高为h，则三棱锥ABDP的体积为由（）可知PH是三棱锥PABD的高，三棱锥PABD的体积：VABDP=VPABD，即，解得，即三棱锥ABDP的高为【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，选择恰当的底面和高是计算体积的关键21已知函数，aR（）求函数f（x）的单调区间；（）如果当x0，且x1时，恒成立，求实数a的范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【专题】综合题；分类讨论；综合法；导数的概念及应用【分析】（）先求了函数f（x）的定义域和导数，构造函数g（x）=x2+2

29、（1a）x+1，由此利用导数性质和分类讨论思想能求出函数f（x）的单调区间（）“当x0，且x1时，恒成立”，等价于“当x0，且x1时，恒成立”，构造函数h（x）=f（x）a，由此利用导数性质和分类讨论思想能求出实数a的取值范围【解答】解：（）函数f（x）的定义域为（0，+）（1分）（2分）设g（x）=x2+2（1a）x+1，=4a（a2）当a0时，函数y=g（x）的对称轴为x=a1，所以当x0时，有g（x）g（0）0，故f（x）0，f（x）在（0，+）上是增函数；（3分）当0a2时，由=4a（a2）0，得g（x）=x2+2（1a）x+10，所以f（x）0，f（x）在（0，+）上是增函数，（4分

30、）当a2时，令g（x）=0得，令f（x）0，解得0xx1或；令f（x）0，解得x1xx2所以f（x）的单调递增区间（0，）和（，+）；f（x）的单调递减区间（，a1+）（6分）（）“当x0，且x1时，恒成立”，等价于“当x0，且x1时，（）恒成立”，（7分）设h（x）=f（x）a，由（）知：当a2时，h（x）在（0，+）上是增函数，当x（0，1）时，h（x）h（1）=0，所以；（8分）当x（1，+）时，h（x）h（1）=0，所以；（9分）所以，当a2时，式成立（10分）当a2时，h（x）在（x1，1）是减函数，所以h（x）h（1）=0，式不恒成立（11分）综上所述，实数a的取值范围是（，2（12分）【点评】本题考查函数的单调区间和实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质、分类讨论思想的合理运用四.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-1：几何证明选讲22如图，O的半径为r，MN切O于点A，弦BC交OA于点Q，BPBC，交MN于点P（）求证：PQAC；（）若AQ=a，AC=b，求PQ【考点】与圆有关的比例线段【专题】证明题；选作题；转化思想；综合法；推理和证明【分析】（）连结AB，推导出OAMN，BPBC，从而B、P、A、Q四点共圆，由此能证明PQAC（）过点A作直径AE，连结