控制系统数学模型的建立

1、机械工业出版社机械工业出版社2-1 概述2-2 数学模型2-3 系统微分方程式的建立2-4 传递函数2-5 控制系统结构图2-6 控制系统的传递函数 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型 本章主要内容： 系统和元件数学模型的建立系统和元件数学模型的建立 传递函数的概念传递函数的概念 结构图建立及化简结构图建立及化简2-1 概述 动态模型：动态模型：描述系统动态过程的方程式。描述系统动态过程的方程式。 如微分方程、偏微分方程、差分方程等。如微分方程、偏微分方程、差分方程等。 静态模型：在静态条件下静态模型：在静态条件下(即变量的各阶导数为零即变量的各阶导数为零)，描述，描述 系统各变量

2、之间关系的方程式。系统各变量之间关系的方程式。建模途径建模途径：理论推导法理论推导法通过系统本身机理通过系统本身机理( (物理、化学规律物理、化学规律) )的分析的分析 确定模型的结构和参数，从理论上推导出系确定模型的结构和参数，从理论上推导出系 统的数学模型。统的数学模型。实验测试法实验测试法根据对系统的观察，通过测量所得到的大量输根据对系统的观察，通过测量所得到的大量输 入、输出数据，推断出被研究系统的数学模型。入、输出数据，推断出被研究系统的数学模型。数学模型数学模型: :描述系统各变量之间关系的数学表达式。描述系统各变量之间关系的数学表达式。建立系统数学模型时，应注意：建立系统数学模型

3、时，应注意： 根据研究目的和精确性要求，忽略一些次要因素，使系统数学模型简化，便于数学上的处理。 根据所采用的分析方法，建立相应形式的数学模型(微分方程、传递函数等)，有时还要考虑便于计算机求解。 2-2 2-2 系统微分方程式的建立系统微分方程式的建立建立系统建立系统( (或元件或元件) )微分方程式的一般步骤微分方程式的一般步骤：(1)(1)确定输入变量和输出变量确定输入变量和输出变量; ;(2)(2)根据物理或化学定律，列出系统根据物理或化学定律，列出系统( (或元件或元件) )的原始方程式；的原始方程式；(3)(3)找出中间变量与其它因素的关系式；找出中间变量与其它因素的关系式；(4)

4、(4)消去中间变量，消去中间变量， 得到输入输出关系方程式；得到输入输出关系方程式； (5)(5)若所求输入输出关系为非线性方程，则需进行线性化；若所求输入输出关系为非线性方程，则需进行线性化；(6)(6)标准化。将输入项及各阶导数放到方程的右边，将输出项及各标准化。将输入项及各阶导数放到方程的右边，将输出项及各阶导数放到方程的左边，然后按降幂的顺序排列。阶导数放到方程的左边，然后按降幂的顺序排列。 建模举例建模举例1 R-L-C电路电路 ur(t)输入量，输入量，uc(t)输出量。输出量。列出列出uc(t)与与ur(t)的关系式。的关系式。 （1）写出原始方程式）写出原始方程式)(d1ddt

5、utiCRitiLr（2）i与与uc(t)的关系的关系 tiCtucd1)(（3）消去）消去i，得，得)()(d)(dd)(d22tututtuRCttuLCrccc)()(d)(dd)(d22221tututtuTttuTTrccc或式中式中 T1=L/R，T2=RC 为该电路的两个时间常数为该电路的两个时间常数 i是中间变量是中间变量ttuCicd)(d或建模举例建模举例2 弹簧弹簧质量质量阻尼器系统阻尼器系统 输入输入f f ( (t t) ) 输出输出y y( (t t) ) （1）列出原始方程式。要求写出系统在外力要求写出系统在外力f (t)作用下的运动方程式作用下的运动方程式222

6、1dd)()()(tyMtftftf阻尼器阻力 弹簧力 （2）消去中间变量 ttyBtfd)(d)(1B 阻尼系数阻尼系数 f2 (t) = Ky(t) K 弹性系数弹性系数 )()(d)(dd)(d22tftKyttyBttyM（3 3）代入上式并整理）代入上式并整理 线性定常二阶微分方程式线性定常二阶微分方程式 建模举例建模举例3 电枢控制的直流电动机电枢控制的直流电动机 原理图和结构图如下：原理图和结构图如下：（1）列写原始方程式。电枢回路方程式：）列写原始方程式。电枢回路方程式： 输入：输入：控制量控制量 电枢电压电枢电压ua ，扰动扰动负载转矩负载转矩ML变化变化输出（被控量）：输出

7、（被控量）： 角位移角位移q q 或角速度或角速度w w ，aeaaaauKiRtiLwdd式中 La 电枢回路总电感(亨)； Ra 电枢回路总电阻(欧)； Ke 电势系数(伏/弧度/秒)； w 电动机角速度(弧度/秒)； ua 电枢电压(伏)； ia 电枢电流(安)。 根据刚体旋转定律，写出运动方程式根据刚体旋转定律，写出运动方程式dLMMtJddw式中 J 转动部分转动惯量(公斤米2) ； ML 电动机轴上负载转矩(牛顿米)；Md 电动机转矩(牛顿米)。 （2）Md和和ia是中间变量。是中间变量。 电动机转矩与电枢电流成正比，有电动机转矩与电枢电流成正比，有 amdiKMKm 电动机转矩系

8、数(牛顿米/安)。 联立求解，整理后得联立求解，整理后得 tMKKLMKKRuKtKKJRtKKJLLmeaLmeaaemeameadd1dddd22www（续上页）（续上页）若输出为电动机的转角若输出为电动机的转角q q ，则有，则有 tMJTTMJTuKttTtTTLmaLmaemmadd1dddddd2233qqq 三阶线性定常微分方程三阶线性定常微分方程 meamKKJRT 机电时间常数，机电时间常数，(秒秒)aaaRLT 电动机电枢回路时间常数，一般比电动机电枢回路时间常数，一般比Tm小，小，(秒秒)tMKKLMKKRuKtKKJRtKKJLLmeaLmeaaemeameadd1dd

9、dd22wwwtMJTTMJTuKtTtTTLmaLmaemmadd1dddd22www或或建模举例建模举例4 磁场控制的直流电动机磁场控制的直流电动机设设电枢电流电枢电流Ia=常数，常数，气隙磁通气隙磁通F F( (t) ) Kf if ( (t) )，励磁回路电感励磁回路电感Lf= =常数。常数。（1 1）激）激磁回路方程式磁回路方程式tiRufffdd uf 励磁电压励磁电压( (伏伏)； if 励磁电流励磁电流( (安安)； Rf 励磁回路电阻励磁回路电阻( (欧欧)； 励磁绕组磁链励磁绕组磁链(韦韦)。 （2 2）电机转矩）电机转矩M Md d克服系统惯性和负载的阻尼摩擦，有克服系统

10、惯性和负载的阻尼摩擦，有 dMBtJwwddJ 转动部分转动惯量；转动部分转动惯量；B 阻尼摩擦系数。阻尼摩擦系数。 （3）消去中间变量）消去中间变量 , , Md ffiLfiffmmdiKiKKKMffiffffuBRKtBJRLtBJRLwwwdd)(dd22fdmfmfuKtTTtTTwwwdd)(dd22或 Tf励磁回路时间常数励磁回路时间常数( (秒秒) ), ；Tm 惯性和阻尼摩擦时间常数惯性和阻尼摩擦时间常数( (秒秒) ), ； Kd 电动机传递系数，电动机传递系数， 。 fffRLT BJTmBRKKfid建模举例建模举例5 热力系统热力系统 输入量：输入量：控制参数控制参

11、数 i 干扰干扰i i 和和 Q Q输出量：输出量： q q0 0 （1）按能量守恒定律）按能量守恒定律socit t 供给水箱中水的热流量供给水箱中水的热流量( (瓦特瓦特)； 0 0 出水带走的热流量出水带走的热流量( (瓦特瓦特)； c 进水带入的热流量进水带入的热流量( (瓦特瓦特)； s 通过热绝缘耗散的热流量通过热绝缘耗散的热流量( (瓦特瓦特) )。 （2）找出中间变量）找出中间变量 tCtdd0qC 水箱中水的热容量水箱中水的热容量( (焦耳焦耳/）；q q 0 0 水箱中水的温度水箱中水的温度()。 00qpQC Q 出水流量出水流量( (公斤公斤/秒秒) )； Cp 水的比

12、热水的比热(焦耳焦耳/公斤公斤)。 Risqq0R 由水箱内壁通过热绝缘扩散由水箱内壁通过热绝缘扩散到周围环境的等效热值到周围环境的等效热值(/瓦特瓦特)。 （3）代入热平衡方程）代入热平衡方程ipipRQCRQCtCqqq)1()1(dd00或ipipRQCRRQCtTqqq) 1() 1(dd00T=RC为热时间常数(秒)。 一阶非线性微分方程式一阶非线性微分方程式 当当Q一定，一定，q q i也为常值时，也为常值时，系统为系统为一阶线性定常微分方程一阶线性定常微分方程 ipRRQCtTqq)(dd1ipcQCq建模举例建模举例6 流体过程流体过程 输入输入_qi输出输出_h （1）根据物

13、质守恒定律得：）根据物质守恒定律得： qqtSiddha为节流阀的流量系数(米2.5/秒)（3 3）消去中间变量消去中间变量q，得得iqhthSadd一阶非线性微分方程式一阶非线性微分方程式 S 液罐截面积(米2)；h 液面高度(米)；（2）按流量公式可得）按流量公式可得 hqa 增量化数学模型增量化数学模型：将输入输出参数都用增量将输入输出参数都用增量来表示的数学模型来表示的数学模型。非线性方程的线性化非线性方程的线性化例如例如 热力系统数模：热力系统数模：ipiopoRQCRRQCtTqqq) 1() 1(dd静态时：静态时：i i 、i i 都不变，并等于额定值，都不变，并等于额定值，

14、则则o 就等于给定值。从而就等于给定值。从而0ddtoq对象ioi设设Q=Q=常量常量iiiiiioooqqqqqq000,其中，其中，000) 1() 1(ipiopRQCRRQCqq输入与输出关系式为：输入与输出关系式为：平衡状态)(xfy （1）单变量非线性方程）单变量非线性方程 的线性化的线性化将将 在平衡点在平衡点P(xP(x0 0,y,y0 0) )附近展成泰勒级数，即附近展成泰勒级数，即)(xfy 200000)(! 2)()()(xxxfxxxfxfyxxx0在平衡点，00)(yxf 2000! 2)()(xxfxxfyy忽略二次以上高阶无穷小xxfy)(0（接上页）（接上页）

15、)(2, 1xxfy （2）具有两个自变量非线性方程）具有两个自变量非线性方程 的的线性化线性化 设在平衡点设在平衡点(x(x1010,x,x2020) )处的各阶偏导数都具有有处的各阶偏导数都具有有限值，略去二次以上高阶无穷小，限值，略去二次以上高阶无穷小，)()(),(2022101120100202101202101xxxfxxxfxxfyyyxxxxxxxx或2211202101202101xxfxxfyxxxxxxxx（接上页）（接上页）线性化举例线性化举例 iqhthSadd试将流体过程数学模型 线性化，即将 线性化，并写出增量化数学模型。hqa过工作点(h0 ,q0)作一切线代替

16、原曲线，切线斜率K 。02|)(|00hdhhddhdqKhhhhaaRhhhhKq02a称为液阻20ahR 由qqtSiddh增量化，得qqdthdSiRhqdthdSiiqRhdthdRS整理，得2-3 控制系统的控制系统的传递函数传递函数 2.3.1 传递函数的概念传递函数的概念 RCRC电路如下：电路如下： )()()(tututRircttiCtucd)(1)(消去中间变量消去中间变量i( (t) )，得，得)()(d)(dtututtuRCrcc)()()()(sUsURCusRCsUrccc0 进行拉氏变换：进行拉氏变换：求出求出Uc( (s) )的表达式：的表达式：)(1)(1

17、1)(0crcuRCsRCsURCssU若若uc(0)=0 )(11)(sURCssUrc或或1111)()()(TsRCssUsUsGrc式中式中 T=RC 传递函数的定义传递函数的定义传递函数传递函数: : 线性线性(或线性化或线性化)定常系统在零初始条件下，定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。 若线性定常系统由下述若线性定常系统由下述n阶微分方程描述：阶微分方程描述：)()(dd)(dd)(dd)()(dd)(dd)(dd0111101111trbtrtbtrtbtrtbtcatctatctatctammmmmmnnnn

18、nn令C(s)=Lc(t) R(s)=Lr(t)ansn+an-1sn-1+a1s+a0C(s)=bmsm+bm-1sm-1+b1s+b0R(s) )()()()()(01110111sDsMasasasabsbsbsbsRsCsGnnnnmmmm设初始条件为零设初始条件为零拉氏变换，拉氏变换，得到得到s的代数方程的代数方程 M(s) 为传递函数为传递函数的分子多项式的分子多项式D(s)为传递函数为传递函数的分母多项式。的分母多项式。 基于复阻抗的电路系统建模方法RC电路如下：电路如下：11( )( )( )11crrscUsUsUsRCsRsC电阻阻抗：R电容复阻抗：11j CsCw电感复阻

19、抗：j LsLw由图可得：( )1( )( )1crUsG sUsRCs( )( )( )ccrRCsUsUsUs( )( )( )ccrRCu tu tu t可得传递函数：既有：取拉氏反变换得系统微分方程：2.3.2 传递函数的性质传递函数的性质 1.传递函数是复变量s的有理真分式函数，一般mn ，且所有系数均为实数。2.传递函数只取决于系统和元件的结构和参数，与外作用及初始条件无关。3.传递函数有一定的零、极点分布图与之对应，它们表征了系统的动态性能。 )()()()()()()(2121nmpspspszszszsksRsCsG例如：-z1,-zm传递函数的零点，传递函数的零点，m m个

20、个 -p1,-pn传递函数的极点，传递函数的极点， n个个4.4.令令s s = 0= 0，则，则 称为传递系数，或静态 放大系数。 00)0(abG5.5.一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的函数关系。函数关系。 6 一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的函数关系。2.3.3 典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数（1 1）比例环节）比例环节 G(s)= K 表明输出量与输入量成正比。表明输出量与输入量成正比。 例如：例如： 无弹性变形的杠杆、不计非线性和惯性的电无弹性变形的杠杆、不计非线性和惯性的电子放大器、测速发电机都可认为是比例环节。子放

21、大器、测速发电机都可认为是比例环节。 （2 2）惯性环节）惯性环节1)(TsKsG式中式中 K环节的比例系数环节的比例系数 T 环节的时间常数环节的时间常数 当输入为单位阶跃函当输入为单位阶跃函数时，输出量将按指数曲数时，输出量将按指数曲线上升，具有惯性。线上升，具有惯性。 （3 3）积分环节）积分环节 TssG1)(积分控制器。积分控制器。积分时间常数为积分时间常数为RCRC。当输入为当输入为1 1( (t t) )时，时，输出为输出为t t/ /T T，随时间，随时间直线增长。直线增长。（4 4）微分环节 G(s) = Ts （理想微分环节 ）1)(21sTsTsG（实际微分环节） 测速发

22、电机测速发电机微分器微分器(理想理想)实际微实际微分环节分环节（5） 比例微分环节)1 ()(TsKsGc（6 6）振荡环节）振荡环节 222222121)(nnnsssTsTsGwww式中：式中： w wn 无阻尼自然振荡频率，无阻尼自然振荡频率，w wn=1 1/T； 阻尼比，阻尼比，0 1。单位阶跃函数作用下的响应曲线单位阶跃函数作用下的响应曲线:sesG)(c(t)= r(t) 延滞环节的传递函数延滞环节的传递函数:拉式变换（7 7）延滞环节）延滞环节 sesG)(延滞环节是线性环节，延滞环节是线性环节， 为延滞时间。为延滞时间。具有延滞环节的系统叫做延滞系统。具有延滞环节的系统叫做延

23、滞系统。()000( )( )d()d( )d( )ststssC sc t etr tetreeR s 求传递函数步骤求传递函数步骤 建立微分方程建立微分方程 将微分方程代数化（求拉氏变换）将微分方程代数化（求拉氏变换） 在初始条件为零时求在初始条件为零时求)()()(sRsCsG2-4 控制系统结构图与信号流图控制系统结构图与信号流图 .1 、结构图的概念结构图的概念RCRC网络的微分方程式为网络的微分方程式为: : RiuucrtiCucd1拉氏变换：拉氏变换： )()()(sRIsUsUcr)(1)(sICssUc)()()(1sIsUsURcr系统结构图的建立系统结构

24、图的建立步骤步骤（1 1）建立控制系统各元部件的微分方程。建立控制系统各元部件的微分方程。 在建立微分方程时，应分清输入量、输出量，在建立微分方程时，应分清输入量、输出量，同时应考虑相邻元件之间是否有负载效应。同时应考虑相邻元件之间是否有负载效应。 （2 2）对各元件的微分方程进行拉氏变换，并作出对各元件的微分方程进行拉氏变换，并作出各元件的结构图。各元件的结构图。 （3）按照系统中各变量的传递顺序，依次将各元）按照系统中各变量的传递顺序，依次将各元件的结构图连接起来，置系统的输入变量于左端，件的结构图连接起来，置系统的输入变量于左端，输出变量于右端。输出变量于右端。 例例1 1 绘制无源电路

25、的结构图。ur为网络输入，uc为网络输出。 因为(uruc) 为R1与C并联支路的端电压，i1+i2=i，R2i= uc ，所以2.4.2 2.4.2 控制系统结构图的建立控制系统结构图的建立例例2. 绘制两级绘制两级RC网络的结构图。网络的结构图。 )()()(111sIRsUsUr)()(1)(2111sIsIsCsU(1)列写原始方程：列写原始方程：)()()(221sIRsUsUc)(1)(22sIsCsUc(2)画出子方程结构图：画出子方程结构图：（3）连接相关信号线）连接相关信号线得到最终结构图：得到最终结构图：负载效应负载效应后一级网络作为前一级网络的负载，后一级网络作为前一级网

26、络的负载，对前级网络的输出电压对前级网络的输出电压u1产生影响。产生影响。注意：此时，不能用两个单独网络结构图的串联注意：此时，不能用两个单独网络结构图的串联 表示组合网络的结构图。表示组合网络的结构图。隔离放大器隔离放大器可用两个简单的可用两个简单的RC RC 网络网络组成，消除负载效应。组成，消除负载效应。例例3. 位置随动系统如下，试建立系统的结构图。位置随动系统如下，试建立系统的结构图。 )()()(ssscreqqq)()(sKsUessq)()(sUKsUsaaaabaaRsLsEsUsI)()()()()(ssKsEmebqBsssMsMsLdm2)(J()(q)()(sIKsM

27、amd)(1)(sismcqqdLmmMMdtdBtJqq22ddabaaaauEiRtiLdd2.4.3 结构图的等效变换结构图的等效变换 1结构图的基本组成形式结构图的基本组成形式 （1）串联连接）串联连接 （2）并联连接）并联连接 )()()()()()(122sRsGsGsUsGsC)()()()(21sGsGsRsC结论：结构图串联总传递函数等于各个环节传递函数的乘积。结论：结构图串联总传递函数等于各个环节传递函数的乘积。结论：结构图并联总传递函数等于各个环节传递函数的代数和。结论：结构图并联总传递函数等于各个环节传递函数的代数和。)()()()()()(2211sRsGsCsRsG

28、sC)()()( )()()()()(2121sRsGsGsRsGsRsGsC)()()()(21sGsGsRsC（3）反馈连接反馈连接 按照信号传递的关系可写出：按照信号传递的关系可写出： )()()()()()()()()(sCsHsBsBsRsEsEsGsC消去E(s)和B(s)，得 )()()()()()()()()()(sCsHsGsRsGsCsHsRsGsC)()()()()(1 )()()()(sRsGsCsHsGsCsHsGsC)()(1)()()(sHsGsGsRsC因此 若反馈通路的传递函数H(s)=1，常称作单位反馈。 此处的“+”号对应于负反馈。例例1. 求出如下所示结

29、构图的传递函数。求出如下所示结构图的传递函数。 结构图结构图的串联的串联反馈连接反馈连接 例例2. 求位置随动系统的闭环传递函数。求位置随动系统的闭环传递函数。方框中即为随动系统的闭环传递函数该结构图不是基本组成形式，该结构图不是基本组成形式，需使用结构图的等效变换法则。需使用结构图的等效变换法则。结构图如下：结构图如下：2结构图的等效变换法则结构图的等效变换法则 （1）综合点（比较点）的移动）综合点（比较点）的移动 a. 综合点前移综合点前移 b. 综合点后移综合点后移 c. 综合点之间的移动综合点之间的移动 （2）引出点（分支点）的移动）引出点（分支点）的移动 a.引出点后移引出点后移 b

30、.引出点前移引出点前移 c. 相邻引出点之间的移动相邻引出点之间的移动 3 、结构图变换举例结构图变换举例 例例1.1.简化结构图，并求系统传递函数简化结构图，并求系统传递函数C( (s) )/R( (s) ) 。1432134323243211)()(HGGGGHGGHGGGGGGsRsC例例2.化简两级化简两级RC网络结构图，并求出传递函数网络结构图，并求出传递函数Uc(s)/Ur(s)。 11111111111sCRsCRsCR简化结构图求总传递函数的一般步骤：简化结构图求总传递函数的一般步骤：1.确定输入与输出量。确定输入与输出量。 如果输入量有多个，必须分别对每个输入量逐如果输入量有

31、多个，必须分别对每个输入量逐个进行结构变换，求得各自的传递函数；个进行结构变换，求得各自的传递函数； 有多个输出量时，也应分别变换。有多个输出量时，也应分别变换。2. 2. 若若结构图中有交叉关系，应运用等效变换法则，结构图中有交叉关系，应运用等效变换法则，首先将交叉消除，化为无交叉的多回路结构。首先将交叉消除，化为无交叉的多回路结构。3. 3. 对多回路结构，可由里向外进行变换，直至变换对多回路结构，可由里向外进行变换，直至变换为一个等效的方框，即得到所求的传递函数。为一个等效的方框，即得到所求的传递函数。2.5 2.5 控制系统的信号流图控制系统的信号流图2.5.1. 信号流图的定义信号流

32、图的定义 信号流图是由节点和支路组成的信号传递网络。节点节点标志变量标志变量(信号信号) ；方框图：信号流图：运算表达式：节点支路支路支路是连接两个节点的定向线段。有增益（即传递函数），是连接两个节点的定向线段。有增益（即传递函数），称为支路增益称为支路增益; ;信号信号只能在支路上沿箭头方向传递。只能在支路上沿箭头方向传递。 经支路传递的信号应乘以支路的增益。经支路传递的信号应乘以支路的增益。 信号流图的常用术语：信号流图的常用术语： 输入节点输入节点 只有输出支路的节点。只有输出支路的节点。 输出节点输出节点 只有输入支路的节点称为输出节点。只有输入支路的节点称为输出节点。 混合节点混合节

33、点 既有输入支路又有输出支路的节点。既有输入支路又有输出支路的节点。 通路通路 从某一节点开始沿支路箭头方向经过从某一节点开始沿支路箭头方向经过 各相连支路到另一节点所构成的路径。各相连支路到另一节点所构成的路径。 前向通路前向通路 从输入节点开始并终止于输出节点且从输入节点开始并终止于输出节点且 与其它节点相交不多于一次的通路。与其它节点相交不多于一次的通路。 回路回路 如果通路的终点就是通路的起点，并且与如果通路的终点就是通路的起点，并且与 任何其它节点相交不多于一次的通路。任何其它节点相交不多于一次的通路。 不接触回路不接触回路 各回路之间没有任何公共节点。各回路之间没有任何公共节点。2

34、..2.信号流图的画法信号流图的画法（1）根据系统微分方程绘制。）根据系统微分方程绘制。thCQQidd11121RhhQ对槽对槽1 1：thCQQQhfdd2222RhQh对槽对槽2 2：两个互相关联两个互相关联的串联储槽的串联储槽合并各子图（续上页）（续上页） 信号流图的画法信号流图的画法（2）由系统结构图按照对应关系绘制。例如：）由系统结构图按照对应关系绘制。例如： 例例3此处的单位传输不能舍去2.5.3. 2.5.3. 梅逊梅逊(S.J.Mason)(S.J.Mason)公式公式梅逊公式的表达式为：梅逊公式的表达式为： nkkkPP1式中：式中： P P 总增益；总增益；

35、 特征式，且特征式，且 kjijiiLLLLLL1n所有前向通路的条数；所有前向通路的条数；Pk第第k条前向通路的增益；条前向通路的增益；k在在中，将与第中，将与第k条前向通路相接触的回路除去后条前向通路相接触的回路除去后 所余下的部分，称为余子式；所余下的部分，称为余子式；Li所有回路的增益之和；所有回路的增益之和；LiLj所有两两互不接触回路的回路增益乘积之和；所有两两互不接触回路的回路增益乘积之和；LiLjLk 所有三个互不接触回路的回路增益乘积之和。所有三个互不接触回路的回路增益乘积之和。 例例14433542321654321432141HGGHGGHGGHGGGGGGLLLLLii

36、共有共有4 4个回路个回路 、回路互不接触回路互不接触 32543235423232 )(HHGGGGHGGHGGLLLLji32543244335423216543211 1HHGGGGHGGHGGHGGHGGGGGGLLLjii特征式3254324433542321654321654321111HHGGGGHGGHGGHGGHGGGGGGGGGGGGpP因为因为P P1 1= =G G1 1G G2 2G G3 3G G4 4G G5 5G G6 6，1 1=1 =1 ，所以，所以例例21G2G3G4G5G7G6G1H2H)(sR)(sC543211GGGGGP 54612GGGGP 72

37、13GGGP 254324254632722141HGGGGLHGGGLHGGLHGL214321)(1LLLLLL1321111L25432254627214147215461543213322111)1 ()(1)()(HGGGGHGGGHGGHGHGGGGGGGGGGGGGPPPPsRsC4 4个回路：个回路：1 1组互不接触回路组互不接触回路L L1 1L L2 2：3 3条前向通路：条前向通路：前向通路相应的余子式：前向通路相应的余子式：总增益：总增益：例例3 要求：要求：绘制三级RC网络结构图，并求其传递函数Uc/Ur 。（1）绘制结构图。用复阻抗与电压、电流关系，可以直接绘出网络的结构图： （2）求传递函数。该结构图有5个反馈回路，回路传递函数均相同，即RCsLLL1521RCsLi5有6组两两互不接触回路，为-、-、-、-、-及-： 222sCRLLji6有1组三个互不接触的回路，即-： 3331sCRLLLkji特征式为 333222111sCRsCRRCs LLLLLLkjijii65前向通路只有一条： 33311sCRP 前向通路与