高中总复习之二倍角公式

1、v1.0可编辑可修改【学习目标】1 .能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并了解它们之间的内在联系.2 .能熟练运用二倍角公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式.但不要求记忆)，能灵活地将公式变形并运用.3 .通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作用【要点梳理】要点一：二倍角的正弦、余弦、正切公式4 .二倍角的正弦、余弦、正切公式sin22sincos(S2)5 .2cos2cossin(C2)2cos2112sin2tan 22 tan1 ta

2、n2(T2 )1欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚要点诠释:(1)公式成立的条件是：在公式S2,C2中，角可以为任意角，但公式T2中，只有当一k及2k(kZ)时才成立；423(2)倍角公式不仅限于2是的二倍形式，其它如4是2的二倍、金是的二倍、3是的二倍等等都是适用的.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键.如：sin2sin cos；22sin2n 2sin2n-rcos-2n-r(n Z)2.和角公式、倍角公式之间的内在联系在两角和的三角函数公式 S ,C ,T 中，当时，就可得到二倍角的三角函数公式,它们的内在联系如下:以一8代要点二：二倍角公式

3、的逆用及变形1 .公式的逆用2 sintzccisa=sin2a：sinacos=dn2a-a”ffsin(x.=2corcal=1Jan*a=8早2cl.2UD.GE-,it3UlGC1-tan-a2,公式的蟒1sin2cx=(siuacosa)；阪京八-kr1+8$2c,=应哥白式；cos-lc=.sitr&=升品公式；1-r然？疗=1m/#17,制it叮要点三：两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型凑项、添项、求值题、化简题、证明题1 .对公式会“正着用”，“逆着用”，也会运用代数变换中的常用方法：因式分解、配方换元等;2 .掌握“角的演变”规律，寻求所求结论中的角与已知条件中的

4、角的关系，如也要抓住角之(),2()()等等，把握式子的变形方向，准确运用公式,间的规律(如互余、互补、和倍关系等等)；3 .将公式和其它知识衔接起来使用，尤其注意第一章与第三章的紧密衔接【典型例题】类型一：二倍角公式的简单应用例1.化简下列各式:(1)4sincos；(2)22.2sin82,、cos.；(3)tan37.51tan237.5v1.0可编辑可修改【思路点拨】逆用二倍角的正弦、余弦和正切公式.【答案】（1）2sin（2）走（3）-3(1) 4sin cos 2sin cos 2sin，一、.22(2) sin cos 882cos 一82sincos42(3)tan 37.5,

5、2 _1 tan 37.522sin 37.521 tan 37.51 tan 752,325欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚【总结升华】本题的解答没有去就单个角求其函数值，而是将所给式子作为一个整体变形，逐步向二倍角公式的展开形式靠近，然后逆用倍角公式，要仔细体会本题中的解题思路.8 sstn -1212COS SLU 12121答案（1）苴；（2）正：3）一有22t何斤oas:sinL2=ODS 126jSt=cosf2x-)cos84C3)rt=tanl50=tan(180-30)-ran3T-y类型二：利用二倍角公式求非特殊角的三角函数值例 2.求 sin10sin30sin50sin7

6、0 的值.【思路点拨】解这类题型有两种方法:sin2,八.、入，、万法一：适用sin,不断地使用二倍角的正弦公式2cos方法二：将正弦题目中的正弦形式全部转化为余弦形式，利用cossin 2进行化简.2sin-1【答案】116sin20sin50sin702cos10【斛析】方法一：sin10sin50sin70sin 20 cos20 sin 50 sin 40 sin502cos104cos101sin10 sin30 sin50 sin70161 一 一万法一：原式 cos20 cos40 cos802sin 40 cos40 cos80 sin80 cos804sin 202sin 2

7、0sin40 cos404cos10sin80 18cos1082sin 20 cos20 cos40 cos804sin 201 sin160116 sin2016【总结升华】本题是二倍角公式应用的经典试题.方法一和方法二通过观察角度间的关系，发现其特征（二倍角形式），逆用二倍角的正弦公式，使得问题出现连用二倍角的正弦公式的形式.在此过程中还应该看到化简以后的分子分母中的角是互余（补）的关系，从而使最终的结果为实数.利用上述思想，我们还可以把问题推广到一般的情形:般地，若sin 0,则 cos cos2 cos4 |cos2nn 1sin 2on 12 sin举一反三：2sin 20 cos

8、 20 cos40 cos802sin 20cos80【变式1求值：sin10cos40sin70【解析】原式cos20cos40cos802sin40cos40cos802sin804sin208sin20sin160sin2018sin208sin208类型三：利用二倍角公式化简三角函数式例3.化简下列各式：小sinsin2(1) (2),1sin4【思路点拨】（1）观察式子分析,1 coscos2利用二倍角公式把倍角展开成单角,(2)观察式子分析，利用二倍角公式把倍角展开成单角,利用平方差公式进行化简.【答案】(1) tan (2) sin2cos2sin sin 2解析(1)1 cos

9、 cos 2sin 2 sin cos-2cos 2 cossin (1 2 coscos (1 2 cos(2) , 1 sin 4sin22 2sin2 cos2 cos22(sin 2 cos2)2| sin 2 cos2 |sin 2 cos2.【总结升华】余弦的二倍角公式的变形形式:1 cos22cos2 ,1到消除式子中1的作用.由于sin22sincos,从而1sin2(sincos)2,可进行无理式的化简和运算.例4.化简:2/2cos 12 tan 4sin2 4原式2sin 42cos2cos一4cos-4cos2cos22sincossin2442cos2,1.cos2【

10、总结升华】三角函数的化简要从减少角的种类、函数的种类入手.通过切化弦、弦化切、异化同、高次降哥等手段，使函数式的结构化为最简形式.举一反三：【变式1】(1)J1sin6的化简结果是.(2)已知sin3,且ae(,汽)，则sin2的值为52cos3【答案】(1)sin3cos3(2)32【解析】(1)原式=1sin3cos3= .(sin3cos3)2= |sin3cos3|= sin3cos3v1.0可编辑可修改342sincos(2)因为sin一且ae(一，式)，所以cos,原式=22525cos2类型四：二倍角公式在三角函数式给值求值题目中的应用【高清课堂：倍角、半角公式370633例2】

11、例5.求值：3(1)已知sin()-,求cos().已知sin(-)m,求sin2.【思路点拨】观察所求的角与已知角的关系，发现它们是二倍的关系，所以用二倍角公式去求解.72【答案】(1)(2)2m2125【解析】(1)cos()coscos2661212sin212225=1_252sin2cos(2)=12sin2=12sin2一42=2m21求解的要点是利用公式沟通已知条件和所求式子之间，求 sin2 , cos2 , tan2 的值.【总结升华】给值求值是求值问题中常见的题型,的联系，考查公式运用和变换的技巧.举一反三：1【变式1】已知sincos3,且0【答案】8至8991713欢迎

12、广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚【解析】由sincos2cos)即12sin1cos一由sincos93,得sin2cos2sincos-2cossin即1sin22.sin3sin2整理得9sin23sin解得sin,17或sin6I（舍去）612sin2sin2cos28.万17【总结升华】解题过程中注意角的范围的判定.【变式2】已知tan(1)（1）求tan的值；（2）求sin22cos,上的值.1cos2tantantan41tantan41tan1tan1一，斛得tan2si12cos2sincos2cos722cos2costan【总结升华】（1）问中利用了方程的思想求式转化为含tan2

13、sincos2costan的值；对于第（2）问的题型,的式子求解，或者通过消元转化的方法求解.类型五：二倍角公式的综合应用【高清课堂：倍角、半角公式370633例3】例6.已知f(x)sin2x2sinxcosx3cos2x,求:般需要将分(1) f(x)的最大值以及取得最大值的自变量的集合；(2) f(x)的单调区间.【思路点拨】用降哥公式把原式降哥，然后用辅助角公式化成Asin(x)k的形式.z单减区间【答案】(1)22x|xk-,kz(2)单增区间k3-,k-,k8885k,k,kz88【解析】(1)原式=1sin2xcos2x1sin2xcos2x2,2sin(2x)24一,k z 时

14、, 8则当2x一2k，即x|xk42fmax(x)22(2) f (x)的单调递增区间为：2k2x 2 k ，贝U242xk3,k8f (x)的单调递减区间为：2 k-2x 2k2432x k ,k858缩角升塞公式22cos 一2a b .【总结升华】本题主要考查特殊角的三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦公式及yAsin(x)的性质等知识.要记住倍角公式两类重要变形并能熟练应用：(1)221 sinsincos,1sinsincos1cos2222221cos2.21cos21cos2sin.(2)扩角降哥公式cos,sin.(1)求f (x)的最大值及相应的x值;例7.已知向量a

15、(1sin2x,sinxcosx),b(1,sinxcosx),求函数f(x)(2)若 f()8，.,求cos2 2 的值.【思路点拨】利用向量数量积公式的坐标形式，将题设条件中所涉及的向量数量积转化为三角函数中的“数量关系”，从而建立函数f(x)关系式.(kZ)1625【解析】(1)因为a(1sin2x,sinxcosx),b(1,sinxcosx),所以f(x)1sin2x.22sinxcosx1sin2xcos2x72sin2x1.4因此，当2x2k(kZ)时，f(x)取得最大值J21.8(2)由f(sin2cos2及f()8得sin2cos25-,两边平方得1sin4525即sin41625因此,cos2cos2sin4也252 x cos 一21.xx【变式1】已知函数f(x)sincos22(I)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间;(n)求函数f(x)在,上的最小值.【答案】(I)2,2k-,2k4(n)x【斛析】(I)f(x)sin一-sinx2x1cosxcos-2211cosx一22sin(x一)24所以函数f(x)的最小正周期为由2kx2k24x2k函数f(x)单调递减区间是2k，3小(n)由一x，得一x422了2k,一,，3521则当x，即x时，f(x)取得取小值.4242【变式2已知向量m=(sinA,cosA),n(J3,1),mrn=1,且A为锐