浙江科技学院线性代数 矩阵的对角化

1、定理定理1 1实实对称矩阵的特征值为实数对称矩阵的特征值为实数. .,0,0)( , 以取实向量以取实向量从而对应的特征向量可从而对应的特征向量可系系知必有实的基础解知必有实的基础解由由是实系数方程组是实系数方程组线性方程组线性方程组所以齐次所以齐次为实数为实数的特征值的特征值由于对称矩阵由于对称矩阵 EAxEAAiii 121212122 ,.Apppp 定定理理设设是是实实对对称称矩矩阵阵的的两两个个特特征征值值是是对对应应的的特特征征向向量量 若若则则 与与正正交交 , , (), .AnArAER AEnrr 注注：设设为为 阶阶对对称称矩矩阵阵是是 的的特特征征方方程程的的重重根根

2、则则矩矩阵阵的的秩秩从从而而对对应应特特征征值值恰恰有有个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量13 , .TAnPP APP APAn 定定理理设设 为为 阶阶对对称称矩矩阵阵 则则必必有有正正交交矩矩阵阵使使其其中中是是以以 的的个个特特征征值值为为对对角角元元素素的的对对角角矩矩阵阵证明证明,21s 它们的重数依次为它们的重数依次为srrr,21).(21nrrrs 根据定理根据定理1（实（实对称矩阵的特征值为实数对称矩阵的特征值为实数）和定）和定理理2可得：可得：设设 的互不相等的特征值为的互不相等的特征值为A,21知知由由nrrrs 由定理由定理2知知对应于不同特征值的特征向量正交对

3、应于不同特征值的特征向量正交，., ), 2 , 1( 单位正交的特征向量单位正交的特征向量个个即得即得把它们正交化并单位化把它们正交化并单位化关的实特征向量关的实特征向量个线性无个线性无恰有恰有对应特征值对应特征值rrsiiii PPAPP11.,11个特征值个特征值的的是是恰恰个个个个的对角元素含的对角元素含其中对角矩阵其中对角矩阵nArrss 这样的特征向量共可得这样的特征向量共可得 个个.n故这故这 个单位特征向量两两正交个单位特征向量两两正交.n以它们为列向量构成正交矩阵以它们为列向量构成正交矩阵 ，则，则P根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化

4、为对角矩阵，其具体步骤为对角矩阵，其具体步骤为：为：将特征向量正交化将特征向量正交化;3.将特征向量单位化将特征向量单位化.4.2. ;, 0的特征向量的特征向量求出求出由由AxEAi 1.;的特征值的特征值求求A解解 20212022EA 214 0 . 2, 1, 4321 得得,020212022)1( A 310130004)2(A例例1 1 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ，使使 为对角阵为对角阵.APP1 P(1)第一步第一步 求求 的特征值的特征值A 的的特特征征向向量量求求出出由由第第二二步步AxEAi, 0 得得由由对对, 04, 4

5、1 xEA 解得基础解系解得基础解系 122 .1 得得由由对对, 0, 12 xEA 解得基础解系解得基础解系.2122 得得由由对对, 02, 23 xEA 解得基础解系解得基础解系.2213 第三步第三步 将特征向量正交化将特征向量正交化.,3, 321321故它们必两两正交故它们必两两正交的特征向量的特征向量个不同特征值个不同特征值的的是属于是属于由于由于 A第四步第四步 将特征向量单位化将特征向量单位化. 3 , 2 , 1, iiii 令令12 32 3 ,1 3 得得,3231322 .3232313 1232211,212 ,3122P 作作.200010004 1 APP则则

6、 310130004)2(A 310130004EA ,422 . 4, 2321 得特征值得特征值 得基础解系得基础解系由由对对, 02, 21 xEA 1011 得得基基础础解解系系由由对对, 04, 432 xEA .110,00132 ,32恰恰好好正正交交与与 .,321两两两两正正交交所所以以 得得令令单位化单位化再将再将3 , 2 , 1,321 iiii 1012 ,12 ,0012 .212103 于是得正交阵于是得正交阵 123010,1201212012P .400040002 1 APP则则1.实对称矩阵的性质：实对称矩阵的性质： (1) (1)特征值为实数；特征值为实数； (2)(2)属于不同特征值的特征向量正交；属于不同特征值的特征向量正交； (3)(3)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值且对角矩阵对角元素即为特征值2.利用正交矩阵将实对称阵化为对角阵的步