第八讲容斥原理

1、容斥原理容斥原理在计数时，先把包含于某内容中的所有对在计数时，先把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。“容容”就是就是“相容相容”和和“包含包含”的意思，的意思，“斥斥”就是就是“相斥相斥”和和“排除排除”的意思。所以，容斥的意思。所以，容斥原理又称包含与排除，或者排除法。原理又称包含与排除，或者排除法。 容斥原理容斥原理1 如果被计数的事物有如果被计数的事物有A、B两类，两

2、类，那么，那么，A类与类与B类元素个数总和类元素个数总和= A类元素个数类元素个数+ B类元素个数类元素个数既是既是A类又是类又是B类的元素个数。类的元素个数。A AB BABABAB 1. 某班学生每人家里至少有空调和电脑两某班学生每人家里至少有空调和电脑两种电器中的一种，已知家中有空调的有种电器中的一种，已知家中有空调的有41人，有电脑的有人，有电脑的有34人，二者都有的有人，二者都有的有27人，人，这个班有学生多少人？这个班有学生多少人？ 解解： AB = A + B -AB =39+37-25=51(人人)2.一次期末考试，某班有一次期末考试，某班有15人数学得满分，有人数学得满分，有

3、12人语文得满分，并且有人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？15 4 12 3. 一个班有学生一个班有学生48人，每人至少参加跑步、跳高人，每人至少参加跑步、跳高两项比赛中的一项。已知参加跑步的有两项比赛中的一项。已知参加跑步的有37人，参人，参加跳高的有加跳高的有40人，请问：这两项比赛都参加的学人，请问：这两项比赛都参加的学生有多少人？生有多少人？解：设解：设A=跑步跑步，B=跳高跳高，要求，要求|AB| |AB| =48 |A|=37 |B|=40 |AB|= |A|+|B|- |A

4、B| =37+40-48=294求不超过求不超过20的正整数中是的正整数中是2的倍数或的倍数或3的倍数的数共有多少个。的倍数的数共有多少个。解：设解：设A=20以内以内2的倍数的倍数，B=20以内以内3的倍数的倍数，显然，要求计算，显然，要求计算2或或3的的倍数个数，即求倍数个数，即求 AB 。|A|=10 |B|=6 |AB|=3 |AB|= =10+6-3=135. 在在1到到1000的自然数中，能被的自然数中，能被3或或5整除的数共有整除的数共有多少个？不能被多少个？不能被3或或5整除的数共有多少个？整除的数共有多少个？ 解：能被解：能被3整除的数有整除的数有333个；个； 能被能被5整

5、除的数有整除的数有200个个; 能被能被15整除的数有整除的数有66个，个， 能被能被3或或5整除的数的个数有整除的数的个数有:333+200-66=467，不能被不能被3或或5整除的数的个数有整除的数的个数有:1000-467=533个个6. 60名同学面向老师站成一横排。老师先让同名同学面向老师站成一横排。老师先让同学们从左到右按照学们从左到右按照1、2、3、4、59、60的顺序依次报数，再让报数是的顺序依次报数，再让报数是4的倍数的同学的倍数的同学向后转，接着又让报数是向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后的倍数的同学向后转。请问：现在面向老师的学生还有多少名转。请问：现在面向老师的学

6、生还有多少名.7. 电视台向电视台向100人调查前一天收看电视的情况，人调查前一天收看电视的情况，有有62人看过人看过2频道，频道，34人看过人看过8频道，频道，11人两个人两个频道都看过。两个频道都没看过的有多少人？频道都看过。两个频道都没看过的有多少人？ 解：解：100-(6234-11) 158有一根长是有一根长是240厘米的绳子，从一端开始每厘米的绳子，从一端开始每隔隔4厘米作一个记号，同时每隔厘米作一个记号，同时每隔6厘米也作一个厘米也作一个记号，然后将标有记号的地方剪断，请问：绳记号，然后将标有记号的地方剪断，请问：绳子一共被剪成了多少段？子一共被剪成了多少段？ 59+39-19=

7、79 9.在游艺会上，有在游艺会上，有100名同学抽到了标签分别为名同学抽到了标签分别为1至至100的奖的奖券。按奖券标签号发放奖品的规则如下：券。按奖券标签号发放奖品的规则如下：（1）标签号为）标签号为2的倍数，奖的倍数，奖2支铅笔；支铅笔；（2）标签号为）标签号为3的倍数，奖的倍数，奖3支铅笔；支铅笔；（3）标签号既是）标签号既是2的倍数，又是的倍数，又是3的倍数可重复领奖；的倍数可重复领奖；（4）其他标签号均奖）其他标签号均奖1支铅笔。那么游艺会为该项活动准备支铅笔。那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有多少支？的奖品铅笔共有多少支？ 解：解：(50-16)2+(33-16)3+165+

8、331=24210. 某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半。其中各占一半。其中25%是白色的，是白色的，75%是蓝色的。是蓝色的。如果这批衬衫共有如果这批衬衫共有100件，其中大号白色衬衫件，其中大号白色衬衫有有10件，小号蓝色衬衫有多少件件，小号蓝色衬衫有多少件? 解：设小号和蓝色分别为两个事件解：设小号和蓝色分别为两个事件A和和B，小号占小号占50%，蓝色占，蓝色占75%，则：，则： 100=50+75+10- |AB|，得：，得： |AB|=35。小号蓝色小号蓝色=小号小号+蓝色蓝色-或小号或蓝色或小号或蓝色或小号或蓝色或小号或蓝色=全部全部-

9、既大号又白色既大号又白色【真题真题1】现有现有50名学生都做物理、化学实验，名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正人，化学实验做正确的有确的有31人，两种实验都错的有人，两种实验都错的有4人，则两种人，则两种实验都做对的有实验都做对的有(B) A、27人人 B、25人人C、19人人D、10人人【2004年中央年中央A类真题类真题】某大学某班学生某大学某班学生总数为总数为32人，在第一次考试中有人，在第一次考试中有26人及格，人及格，在第二次考试中有在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，人及格，若两次考试中，都没有及格的有都没有及格的有4人

10、，那么两次考试都及格的人，那么两次考试都及格的人数是人数是( )。 A22 B18 C28 D26解：解： |A|=26 |B|=24 |A|+|B|=262450； |AB|=32-428， |AB|= |A|+|B|-|AB|=50-2822 【2004年山东真题年山东真题】某单位有青年员工某单位有青年员工85人，人，其中其中68人会骑自行车，人会骑自行车，62人会游泳，既不会骑人会游泳，既不会骑车又不会游泳的有车又不会游泳的有12人，则既会骑车又会游泳人，则既会骑车又会游泳的有（的有（ ）人）人 A.57 B.73 C.130 D.69解：设解：设A=自行车自行车，B=游泳游泳， |A|

11、=68 |B|=62 85= |A|+|B|- |AB|+12 |AB|= (6862+12) -85= 57BABA全体解：解：SADM+SCNB+SAPB+SOCD =SABCD+SPMON = 24-(7.8+18）=1.8，可得，PMON面积为1.8cm2DPCNMOAB 11.如图所示如图所示,矩形矩形ABCD的面积为的面积为24平方厘米平方厘米,三三角形角形ADM与三角形与三角形BCN的面积之和为的面积之和为7.8平方平方厘米厘米,则四边形则四边形PMON的面积是多少平方厘米的面积是多少平方厘米.（08年华杯赛初赛试题）年华杯赛初赛试题）12.如下图所示，在长方形内画出一些直如下图

12、所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是线，已知边上有三块面积分别是13，35，49那么图中阴影部分的面积是多少？那么图中阴影部分的面积是多少？AD4935E13BC解：解：SABC+SCDE+（13+49+35） =S长方形长方形+S阴影阴影SABC = SCDE = 1/2S长方形长方形 S阴影阴影 = 13+49+35 =9713.如图所示，长方形ABCD的两条边长分别为8和6，四边形OEFG（绿色绿色）的面积是42，则阴影部分的面积为？A.322B.282C.242D.202蓝蓝+黄黄=3/4整个面积黄黄+绿绿=1/4整个面积蓝蓝-绿绿=2/4整个面积蓝蓝=24+4=28

13、思考题思考题1有有128位旅客，其中位旅客，其中25人既不懂英语、人既不懂英语、又不懂法语，有又不懂法语，有98人懂英语，人懂英语，75人懂法语，人懂法语，请问：既懂英语、又懂法语的有多少人？请问：既懂英语、又懂法语的有多少人？2六一班有学生六一班有学生46人，其中会骑自行车人，其中会骑自行车的有的有19人，会游泳的有人，会游泳的有25人，既会骑车又人，既会骑车又会游泳的有会游泳的有7人，既不会骑自行车又不会人，既不会骑自行车又不会游泳的有多少人？游泳的有多少人？二二. 三集合类型三集合类型容斥原理容斥原理2 如果被计数的事如果被计数的事物有物有A、B、C三类，三类，|ABC|=|A|+|B|

14、+|C|-|AB|-|AC|-|BC|+|ABC|三集合三集合 A AB B AB C AC B C C A 1 4 2 B 1+5+4+7=A 2+4+6+7=B 7 3+6+5+7=C 5 6 C 3某年级的课外小组分为美术、音乐、手工三个某年级的课外小组分为美术、音乐、手工三个小组，参加美术小组有小组，参加美术小组有20人，参加音乐小组有人，参加音乐小组有24人，参加手工小组有人，参加手工小组有31人，同时参加美术和人，同时参加美术和音乐两个小组有音乐两个小组有5人，同时参加音乐和手工两个人，同时参加音乐和手工两个小组有小组有6人，同时参加美术和手工两个小组的有人，同时参加美术和手工两个

15、小组的有7人，三个小组都参加的有人，三个小组都参加的有3人，这个年级参加人，这个年级参加课外小组的同学共有多少人？课外小组的同学共有多少人？|ABC|=|A|+|B|+|C|-|AB|-|AC|-BC|+|ABC|学生人数学生人数=20+24+31-5-6-7+3=60人人 数数20 5 音音24 3 7 6 手工手工312. 有三个面积各为有三个面积各为50平方厘米的圆放在桌平方厘米的圆放在桌面上，两两相交的面积分别是面上，两两相交的面积分别是8、10、12平方厘米，三个圆相交的面积是平方厘米，三个圆相交的面积是5平方厘平方厘米，求三个圆盖住桌面的面积？米，求三个圆盖住桌面的面积？3.在一根

16、长的木棍上有三种刻度线，第一在一根长的木棍上有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成种刻度线将木棍分成10等份，第二种将木等份，第二种将木棍分成棍分成12等份，第三种将木棍分成等份，第三种将木棍分成15等份。等份。如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？被锯成多少段？解：只需要计算出木棍上共有多少条不同的刻解：只需要计算出木棍上共有多少条不同的刻度线，在此基础上加度线，在此基础上加1就是段数了。因为（就是段数了。因为（10，12，15）=60，不妨设木棍长，不妨设木棍长60厘米。厘米。6010=6，6012=5，6015=4 （6，5）=30，（，（6

17、，4）=12， （5，4）=20，（，（6、5、4）=60 因此，共有刻度线因此，共有刻度线 9+11+14142=27条，条，木棍总共被锯成木棍总共被锯成27+1=28段。段。4某个班的全体学生在进行了短跑、游泳、投某个班的全体学生在进行了短跑、游泳、投掷三个项目的测试后，有掷三个项目的测试后，有4名学生在这三个项目名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一项达到上都没有达到优秀，其余每人至少有一项达到了优秀，达到了优秀的这部分学生情况如下表，了优秀，达到了优秀的这部分学生情况如下表，求这个班的学生共有多少人？求这个班的学生共有多少人？短跑短跑游泳游泳投掷投掷跑与游跑与游跑与投跑与

18、投游与投游与投全优全优1718156652学生人数学生人数=17+18+15-6-6-5+2+4=39人人5某大学有外语教师某大学有外语教师120名，其中教英语名，其中教英语的有的有50名，教日语的有名，教日语的有45名，教法语的有名，教法语的有40名，有名，有15名既教英语又教日语，有名既教英语又教日语，有10名名既教英语又教法语，有既教英语又教法语，有8名既教日语又教名既教日语又教法语，有法语，有4名教英语、日语和法语三门课，名教英语、日语和法语三门课，则不教三门课的外语教师有多少名则不教三门课的外语教师有多少名? 120-(50+45+40-15-10-8+4)=14(人人)6.6.分母

19、是分母是10011001的最简分数一共有多少个？的最简分数一共有多少个？ 解：这一题实际上就是找分子中不能整除解：这一题实际上就是找分子中不能整除10011001的数。由于的数。由于1001=71001=711111313，所以就，所以就是找不能被是找不能被7 7，1111，1313整除的数。整除的数。如图 7的倍数的倍数143个个 11的倍数的倍数91个个 13 11 7 13的倍数的倍数77个个1001-【143+91+77-13-11-7+1】=7207.7.【国考国考2010-472010-47】某高校对一些学生进某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备行问卷调查。在接受

20、调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有参加注册会计师考试的有6363人，准备参加人，准备参加英语六级考试的有英语六级考试的有8989人，准备参加计算机人，准备参加计算机考试的有考试的有4747人，三种考试都准备参加的有人，三种考试都准备参加的有2424人，准备只选择两种考试都参加的有人，准备只选择两种考试都参加的有4646人，不参加其中任何一种考试的都人，不参加其中任何一种考试的都1515人。人。问接受调查的学生共有问接受调查的学生共有( )( )人人? ?A.120 B.144 C.177 D.192参加两种考试的被重复计算一次，参加参加两种考试的被重复计算一次，参加三种考试的被重复计算两

21、次，三种考试的被重复计算两次， 参加考试的有：参加考试的有： 63+89+47-46-224=199-94=105 参加调查的人数为：参加调查的人数为：105+15=120如图 会计会计63 x 英语英语89 24 y z 计算机计算机47 63+89+47-(x+24)+(y+24)+(z+24)-24+15=120 x+z+y=468.【2005年中央年中央A类真题类真题】对某单位的对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中赛和电影、戏剧。其中58人喜欢看球赛，人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，

22、既喜人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜人，三种都喜欢看的有欢看的有12人，则只喜欢看电影的有人，则只喜欢看电影的有 A.22人人 B.28人人 C.30人人 D.36人人 58-612-x 6 38-6-12-4 球球 戏戏 12 4 x 电影电影 52-12-4- x58+20+（36- x）=100, （36-x ）=22 40-x 6 16 球球 戏戏 12 4 x 36- x 电影电影 58+20+（36- x）=100, （36-x ）=229. 某班有某班有35个学生

23、，每个学生至少参加英语小个学生，每个学生至少参加英语小组、语文小组、数学小组中的组、语文小组、数学小组中的个课外活动小个课外活动小组。现已知参加英语小组的有组。现已知参加英语小组的有17人。参加语文人。参加语文小组的有小组的有30人，参加数学小组的有人，参加数学小组的有13人。如果人。如果有有5个学生三个小组全参加了，问有多少个学生个学生三个小组全参加了，问有多少个学生只参加了一个小组？只参加了一个小组？A.15 B.16 C.17 D.18 17 30 英英 语语 5 数数13 |A|=17 |B|=30 |C|=13 |ABC|=5|ABC|=|A|+|B|+|C| -|AB|-|AC|-

24、|BC| +|ABC|=35所以所以 |AB|+|AC|+|BC|=30所求数目所求数目= |A|-|AB|-|AC| +|ABC| +|B|-|BC| |-|AB +|ABC| +|C|-|AC|-|BC| +|ABC|=60-230+35=15设设X为只参加了一个小组为只参加了一个小组Y为只参加了两个小组为只参加了两个小组X+Y+5=3517+30+13-Y（因为多加了一次）（因为多加了一次）-25（因（因为多加了两次）为多加了两次）=35Y=15X=1510.如图所示，如图所示，X、Y、Z分别是面积为分别是面积为64、180、160的三张不同形状的纸片。它们部分重叠放的三张不同形状的纸片

25、。它们部分重叠放在一起盖在桌面上，总共盖住的面积为在一起盖在桌面上，总共盖住的面积为290。且且X与与Y、Y与与Z、Z与与X重叠部分面积分别为重叠部分面积分别为24、70、36。问阴影部分。问阴影部分（黄色）（黄色）的面积是多少？的面积是多少？ A15 B16 C14 D18 11.三位专家为三位专家为10幅作品投票，每位专家分别都投幅作品投票，每位专家分别都投出了出了5票，并且每幅作品都有专家投票。如果票，并且每幅作品都有专家投票。如果三位专家都投票的作品列为三位专家都投票的作品列为A等，两位专家投等，两位专家投票的列为票的列为B等，仅有一位专家投票的作品列为等，仅有一位专家投票的作品列为C

26、等，则下列说法正确的是（等，则下列说法正确的是（ D ）。）。 A. A等和等和B等共等共6幅幅 B. B等和等和C等共等共7幅幅 C. A等最多有等最多有5幅幅 D. A等比等比C等少等少5幅幅每位专家分别都投出了每位专家分别都投出了5票票 黑色黑色代表三位专家都投票的代表三位专家都投票的A等作品，等作品， 黄色黄色为代表只有两位专家投票的为代表只有两位专家投票的B等作品，等作品， 蓝色蓝色代表只有一位专家投票的代表只有一位专家投票的C等。等。 A+B+C=10 (5+5+5)-B-2A=10 2A+B=5 C-A=5 A等比等比C等少等少5幅幅思考题思考题1. 某班数学测验时有某班数学测验时有10人得优，英语得优人得优，英语得优有有12人，两门都得优有人，两门都得优有3人，两门都没得