必修一上函数性质单调性奇偶性题型

1、第3讲函数性质一、函数的单调性1增函数、减函数定义设函数yf (X)的定义域为集合1 :增函数定义如果对于属于定义域I内某个区间f(xj f (X2),那么就说在f (X)这个区间D上是增函数;减函数定义如果对于属于定义域I内某个区间f(Xj f(X2),那么就说f (X)在这个区间D上是减函数.D上的任意两个自变量的值X1、X2，当i X1X2时，都有D上的任意两个自变量的值X1、X2，当i X1X2时，都有2 单调函数、单调区间定义如果函数y f (x)在区间D是增函数或减函数,那么就说函数yf (x)这一区间具有严格的单调性，区间D(Xi X2)f(xJf%)0f (x)在a,b上是减函

2、数.叫做y f (x)的单调区间.3.增函数、减函数的等价定义等价定义1匸型f(X2)0X1X2f区)f (x2)2 0X1X2任取 Xi,X2a, b，那么f (x)在a,b上是增函数;f(x)在a,b上是减函数.f(x)在a,b上是增函数;等价定义2(Xi X2)f(xJ f区)04 .对单调性概念的理解:1函数的单调性只能在定义域内讨论，可以是整个定义域，也可以是定义域的某个区间.2丨有些函数在其定义域内不具有单调性，如y x1 , y x2 ；有些函数在其整个定义域内都具有单调性，如y X , y X3 ;3丨当函数在闭区间上单调时，区间包不包括端点都可以，但习惯上写成闭区间的形式；因

3、为对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以区间端点处不具有单调性；4函数单调性定义中的 Xi、X2应取自同一单调区间且具有任意性;5在单调区间上，增函数的图像是上升的，减函数的图像是下降的;5 定义法证明函数单调性的步骤任取，作差、变形一般是因式分解、配方、分子或分母有理化，判断符号，结论.6.复合函数分析法设 y f(u) , u g(x) x a,b , u m, n都是单调函数，那么 yfg(x)在a,b上也是单调函数，其单调性由“同增异减来确定，即“里外函数增减性相同，复合函数为增函数,“里外函数的增减性相反，复合函数为减函数。如下表:题型一：求函数的单调

4、区间，常用以下四种方法。1.定义法【例1】试用函数单调性的定义判断函数2 xf(x)竺在区间(0, 1)上的单调性.x 1【例2】 证明函数y x3在定义域上是增函数.)上是减函数.【例3】 根据函数单调性的定义，证明函数f(x)x3 1在(【例4】 证明函数f(x)在定义域上是减函数.【例5】讨论函数f(x)x 1)的单调性.【例6】求函数f(x)=x+ -的单调区间。x【例7】【例8】f(x)是定义在R上的增函数，对x R 有 f(x)>0，且 f(5)=1，设 F(x)= f(x)+，讨论F (x)的求证：函数f (x) x a(a 0)在(a,)上是增函数x【例9】单调性，并证明

5、你的结论。函数f (x)对任意实数x , y均有f(x y) f (x) f (y).且当x > 0时，f (x)0 ,试判断f (x)的单调性，并说明理由.【例10】给定函数f(x)对于任意正数x , y都有f(xy) = f(x) f(y)，且f(x)工0 ,当x 1时，f (x)1 试判断f(x)在(0,)上的单调性，并说明理由.2.图象法【例11】如图是定义在区间5,5上的函数y f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数?【例12】求函数y 1 2冈|2 x的单调减区间【例13】求以下函数的单调区间：1 y | x 1| ;(2) y x

6、x 0.x【例14】求以下函数的单调区间：2 y |x 1|2x4| ;(2) y x 2|x| 3【例15】作出函数y |x2 x|的图象，并结合图象写出它的单调区间.【例16】画出以下函数图象并写出函数的单调区间2 21y x 2|x| 12y | x 2x 3|3.求复合函数的单调区间1【例17】求函数y 的单调区间.x x 2【例18】讨论函数yx2 2x 3的单调性.题型二：利用单调性求函数中参数的取值范围【例19】设函数f (x)(2a 1)x b是R上的减函数，贝U a的范围为(【例20】函数y x2 bx c(x 0,)是单调函数的充要条件是(A. b 0B. b 0C. b

7、0D . b 0【例21】f(x)aa22x(aa 0且a工1是R上的增函数.那么实数 a的取值范围是.A. (0 , 1)(0,1)U 2 ,(0 , 1)U 2 ,题型三：函数的单调性与方程、不等式【例22】f(x)在区间(,)上是减函数，a, b R 且 a b0,那么以下表达正确的选项是A . f(a) f(b)f(a)f(b)B . f(a) f(b)f( a) f( b)C . f (a) f(b)f(a)f(b)D. f(a) f(b)f( a) f( b)【例23】假设f(x)是R上的减函数，且f(x)的图象经过点 A(0, 3)和点B(3 ,1)，那么不等式| f (x 1)

8、 1| 2的解集为B (,2)C. (0 , 3)D . ( 1 , 2)【例24】设f(x)是定义在R上的函数，对 m、n R恒有 f (m n) f (m) f(n)，且当 x 0 时，0 f (x)1。1求证：f(0)1;2证明：x R时恒有f (x) 0 ；3求证：f(x)在R上是减函数；4假设f (x) f (2 x) 1，求x的范围。【例25】设f(x)是定义在(0,)上的单调增函数，满足f(xy) f(x) f (y), f(3) 1求：1f 1； 2丨当f(x) f (x 8)2时x的取值范围.【例26】f (x)是定义在R上的增函数，且f()f (x) f (y).y求证：f

9、(1) 0 , f (xy) f (x) f (y);1假设f (2)1，解不等式f(x) f ()2 .x 3【例27】设n 1 , f(x)是定义在有限集合A 1,2, 3,，n上的单调递增函数，且对任何x, y A，有f(x) f(y)f(x)f(y).那么，A . n2B. n 3C. n 4D . n > 5题型四：函数的最值1【例28】求函数f(x) x -，x 0的最小值.x【例29】求函数y.x 1 x 1的最小值.【例30】求函数y、函数的奇偶性1 .奇函数定义如果对于函数定义域内任意一个x，都有f( x)f (x)，那么函数f(x)就叫奇函数.2.偶函数定义如果对于函

10、数定义域内任意一个x，都有f( x) f (x)，那么函数f(x)就叫偶函数.3 .函数的奇偶性定义如果一个函数是奇函数或偶函数，那么称这个函数在其定义域内具有奇偶性. 注：1函数可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数.2奇函数、偶函数定义域关于原点对称.3定义域关于原点对称是函数f (x)为奇函数或偶函数的必要不充分条件.4 判断函数奇偶性的步骤先看函数的定义域是否关于原点对称；在定义域关于原点对称的条件下，再根据f( x)与f(x)的关系做出判断,为了便于判断，有时需要将函数进行化简.5 判断函数奇偶性的方法1丨奇偶性定义是判断函数奇偶性的主要方法.2为了便于判断，有时将函数解析

11、式化简后利用奇偶性定义的等价形式:f ( x) f (x) 0函数为奇函数;f( x)f (x)1函数为奇函数f(x) 0 ; f ( x) f (x) 0函数为偶函数;f( x) 1f(x)函数为偶函数f(x) 0丨.3丨根据函数图像的对称性判断奇偶性:图像关于原点对称的函数是奇函数，图像关于y轴对称的函数是偶函数.4丨利用根本函数的奇偶性结论判断具体内容见后面附录二5丨由任意一个定义域关于原点对称的函数f (x)，均可构造出一个奇函数 g(x) f (x) f ( x)2、一个偶函数 h(x) f (x) f ( x) 2 6利用以下结论判断奇偶性：奇函数土奇函数=奇函数，偶函数土偶函数

12、=偶函数，奇函数x奇函数 =偶函数，奇函数x偶函数 =奇，偶函数x 偶函数=偶函数等.5 有关函数奇偶性的结论1丨奇函数在关于原点对称的区间内具有相同的单调性如果具有单调性2丨偶函数在关于原点对称的区间内具有相反的单调性如果具有单调性3丨假设奇函数f(x)在x 0处有定义，那么f (0)0 4丨假设f(x) 0，且f(x)定义域关于原点对称，那么函数f(x)既是奇函数，又是偶函数.典例分析题型一：判断函数奇偶性1.判断函数奇偶性可以直接用定义,而在某些情况下判断f(x)f(-x)是否为0是判断函数奇偶性的一个重要技巧，比拟便于判断.【例1】 判断以下函数的奇偶性:y丄；x42 y x x 2

13、; y x3 x;3 y x 1.【例2】 判断以下函数的奇偶性：4511 f (x) x ； f (x) x ； f (x) x ; f (x)2 .xx【例3】判断以下根式函数的奇偶性并说明理由:1 f (x) (x 1)3f(x)=.,x2 1x-1x21x+1【例4】 判别以下函数的奇偶性:2231f (x) x 5| x| ;2f (x) |x 1| |x 1| ; 3f(x) x x .【例5】判断函数f(x)= x21 x-1x2 1x+1的奇偶性.2.由函数奇偶性的定义，有下面的结论：在公共定义域内1丨两个偶函数之和积为偶函数；2两个奇函数之和为奇函数；两个奇函数之积为偶函数;

14、3丨一个奇函数和偶函数之积为奇函数.【例6】假设函数f(x)= (x3 x) g(x)是偶函数，且f(x)不恒为零，判断函数g(x)的奇偶性.【例7】函数y f(x)与y g(x)有相同的定义域，对定义域中任何x，有f (x) f( x) 0, g(x)g( x) 1，那么F(x)2f(x)g(x) 1f(x)是A .奇函数C 既是奇函数又是偶函数B .偶函数D .非奇非偶函数题型二：求解析式与函数值1.利用函数奇偶性可求函数解析式.【例8】设f(x)是R上的奇函数，且当x 0,)时，f(x) x(13x)，那么当 x (, 0)时,f (x) =【例9】偶函数f(x)的定义域为R，当x &g

15、t;0时，f(x)= x23x-1，求f(x)的解析式.设 x v 0,那么x > 0【例10】函数f (x)为R上的奇函数，且当 x 0时f (x)x(1 x).求函数f (x)的解析式.【例11】函数f(x) (m2 1)x2 (m 1)x n 2，当m, n为何值时，f(x)是奇函数?【例12】f(x)是偶函数,x 0 时，f (x)2x2 4x ,0时f(x)的解析式.【例13】f(x)是定义域为R的奇函数，当x 0时,f(x)2x2 x 2，求f (x)的解析式.【例14】f (x)图象关于x1对称，当x < 1时，f(x)1，求当x 1时f (x)的表达式.【例15】2

16、函数f(x) ax(a,b,c Z)是奇函数，且bx cf (1) 2, f(2)3,求 a,b,c的值.2.对于函数奇偶性有如下结论：定义域关于原点对称的任意一个函数f(x)都可表示成一个偶函数和一个奇函数之和.1即 f(x)= F(x)+G(x) 其中 F(x) = f(x)+ f(-x),G(x) = f(x) f(-x)2利用这一结论，可以简捷的解决一些问题.x2 x【例16】定义在R上的函数f(x)=2，可表示成一个偶函数g(x)和一个奇函数h(x)之和,求g(x) , h(x).x 1【例17】f(x)是奇函数,g(x)是偶函数并且f (x) g(x) x 1，那么求f(x)与g(

17、x)的表达式.【例18】f(x)是奇函数,g(x)是偶函数，且f(x) g(x)1，求 f(x)、x 1g(x).3.利用函数奇偶性求函数值【例 19】 fx x2ax3bx 8且f ( 2) 10,.求 f (2).【例20】 假设f(x)是定义在R上的奇函数，贝U f(0)=;假设f(x)是定义在R上的奇函数，f(3) 2，且对一切实数x都有f(x 4) f(x)，那么f(25)=;设函数y f(x) (x R且x 0丨对任意非零实数 x,x2满足f(x X2) f(xj f(X2)，那么函数y f (x)是指明函数的奇偶性【例21】函数f(x)32x x .假设 x、X2、X3 R 且

18、x X2 0 , X2 x3 0 ,用 x 0 .那么 f(x) f(X2) f(X3) .【例22】A 大于零小于零C .等于零大于零或小于零设函数f(x)|x| 2x2 x2x2|x|的最大值为M，最小值为m，那么M与m满足 丨.【例23】函数f(x)在R上有定义，且满足f(x)是偶函数;f(0)2005 : g(x) f (x 1)是奇函数；求 f(2005)的值.题型三：奇偶性与对称性的其他应用1奇偶性与单调性【例24】函数f(x)是偶函数，而且在(0,)上是减函数，判断f(x)在(，0)上是增函数还是减函数并证明你的判断.对奇函数有没有相应的结论.【例25】已设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在区间(，0)上是减函数，实数a满足不等式2f (3a a 3)f (3a2 2a)，求实数a的取值范围【例26】y f (x)为(，)上的奇函数，且在(0,)上是增函数.求证：y f (x)在(,0)上也是增函数;【例27】函数f(x)，当x,y R时恒有 f(x y) f (x) f(y). 求证：函数f(x)是奇函数；