山东省春季高考数学基础知识点

1、中职数学根底知识汇总预备知识：1完全平方和差公式：(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b22.平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)3立方和差公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)第一章集合1. 构成集合的元素必须满足三要素：确定性、互异性、无序性。2. 集合的三种表示方法：列举法、描述法、图像法文氏图。3. 常用数集：N自然数集、Z整数集、Q有理数集、R实数集、N+正整数集4. 元素与集合、集合与集合之间的关系：(1) 元素与集合是“与“ 的关系。(2) 集合与集合是“ “ “/ 的关系。注：1空集是任何集合的

2、子集，任何非空集合的真子集。做题时多考虑是否满足题意2一个集合含有 n个元素，那么它的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空真子集有 2n-2个5. 集合的根本运算用描述法表示的集合的运算尽量用画数轴的方法1A!Bx|xeA且xeB : A与B的公共元素组成的集合2AUB x |x匸A或x匸B: A与B的所有元素组成的集合相同元素只写一次3CU A : U中元素去掉 A中元素剩下的元素组成的集合。注：Cu(ADB) CuAUCuBCu(AUB) CuACCuB6. 会用文氏图表示相应的集合，会将相应的集合画在文氏图上。7. 充分必要条件：p是q的条件p是条件，q是结论如果p q，那么p是q的充

3、分条件;q是p的必要条件. 如果p q，那么p是q的充要条件第二章不等式1. 不等式的根本性质：略注：1比拟两个实数的大小一般用比拟差的方法；另外还可以用平方法、倒数法。2不等式两边同时乘以负数要变号！3同向的不等式可以相 力廿不能相减，同正的同向 不等式可以相乘。2. 重要的不等式：2 21a b 2ab，当且仅当a b时，等号成立。2a b 2 ab(a, b R )，当且仅当a b时，等号成立。3a b注：算术平均数.ab几何平均数23. 一元一次不等式的解法略4. 一元二次不等式的解法(1) 保证二次项系数为正(2) 分解因式十字相乘法、提取公因式、求根公式法，目的是求根：(3) 定解

4、：口诀大于取两边，小于取中间5. 绝对值不等式的解法假设a0,那么|x| a|x| a分式不等式的解法：与二次不等式的解法相同。注：分母不能为0.第三章函数1. 函数1定义：设A B是两个非空数集，如果按照某种对应法那么f ,对A内任一个元素x,在B中总有一个且只有一个值y与它对应，那么称f是集合A到B的函数，可记为：f :AtB,或f ：x宀f f在x a的函数值，记作f(a),函数值的全体构成的集合 C(C? B),叫做函数的值域.2函数的表示方法：列表法、图像法、解析法。注：在解函数题时可以画岀图像，运用数形结合的方法可以使大局部题目变得更简单。的解析式有意义的x的取值范围0, 偶次根式

5、的被开方式2. 函数的三要素：定义域、值域、对应法那么(1)定义域的求法：使函数0,主要依据：分母不能为特殊函数定义域:值域的求法:正比例函数:二次函数:反比例函数:x0,x 0ax,(a 0且 a1),x Rlogax,(a 0且 ay的取值范围y kx和一次函数：yax2 bx c的值域求法:1),xkxb的值域为R配方法。如果x的取值范围不是 R那么还需画图像(3)1 y -的值域为y | y 0x换元法、不等式法、数形结合法、函数的单调性等等。换元法、构造法、待定系数法等。另求值域的方法：解析式求法：在求函数解析式时可用3.函数图像的变换(1)平移(2) 向左平移(x) a个单位向上平

6、移f(x)；个单位翻折沿x轴f(x)上下对折f (x a)f(x)r,、向右平移f(x)；个单位向下平移f(x)；个单位f(x)y f(x)保存y f(x a)f(x) ax轴上方图像F方翻折到上方y I f(x)|(1) 定义域关于原点对称假设f ( x) f (x) 偶(2) 假设 f( X) f(X)奇注：假设奇函数在 X 0处有意义，那么 f(0)0常值函数f(x) a a 0丨为偶函数f(x)0既是奇函数又是偶函数5.函数的单调性对于 xX2 a,b且XiX2，假设f (Xi)f (Xi)f(x2),称f (x)在a,b上为增函数f(x2),称f (x)在a,b上为减函数增函数：x值

7、越大，函数值越大； 减函数：x值越大，函数值反而越小;6. 二次函数i丨二次函数的三种解析式X值越小，函数值越小。X值越小，函数值反而越大。一般式：f(x)2 axbx c a0顶点式：f(x)a(xk)2 h a 0:1，其中(k,h)为顶点两根式：f(x)a(xXi)(x X2)a0，其中X" x2是2图像与性质二次函数的图像是-一条抛物线，有如下特征与性质开口a0开口向上a0开口向下bb4acb2对称轴：X顶点坐标：( ,)2a2a4af (x)0的两根与x轴的交点:有两交点有1交点无交点XiX2根与系数的关系:韦达定理XiX2f (x) ax2 bx c为偶函数的充要条件为二

8、次函数二次函数恒大小于 0f(x) 00图像位于x轴上方f(x) 0图像位于x轴下方假设二次函数对任意X都有f(t X) f (t X)，那么其对称轴是 X t o第四章指数函数与对数函数i. 指数幕的性质与运算i根式的性质：第3页共i7页a ；当n为偶数时,|a|2零次幕：a01(a 0)(3)负数指数幕：n a1 * r (a 0,n N ) a(4)分数指数幕：man叮am (a0, m, n N 且 n 1)(5)实数指数幕的运算法那么：(a 0, m,n R)mnma a anm nmnnn(a ) a(a b) a零的任何正整数次方根为零；负数没有偶次方根。幕运算时,注意将小数指数

9、、根式都统一化为分数指数；一般将每个数都化为最小的一个数的bnn为任意正整数，(n a)n a当n为奇数时,2.n次方。3.幕函数ya当a 0时,x rr当a 0时,xa 在(0,xa在(0,)上单调递增)上单调递减4.指数与对数的互化： ab Nloga N b(a0且 a1)(N 0)5.对数根本性质：log a a loga1 alogaNlogNaa6.7.loga b与logb a互为倒数 logam bn log a bm对数的根本运算：loga(M N)loga Mloga b logblOga blog balogalogaloga Mloga N(b0 且 b1)logb a

10、8.换底公式：loga(1) X R, y 0(1) x 0, y R性图像经过(0,1)点(2)图像经过(1,0)点质、a 1, y ax在R上为增函数；a 1,y logax在(0,)上为增函数；0 a 1,y ax在R上为减函数。0 a 1, y logax在(0,)上为减函数9. 利用幕函数、指数函数、对数函数的单调性比拟两个数的大小，将其变为同底、同幕次或用换底公式或是利用 中间值0，1来过渡。10. 指数方程和对数方程：指数式和对数式互化同底法 换元法取对数法注：解完方程要记得验证根是否是增根，是否失根。第五章 数列等差数列等比数列每一项与前一项之差为同一个常数每一项与前一项之比为

11、同一个常数疋a2a1a3a2anan 1 da1a3an.0)义a2q (qan 1注:当公差d0时,数列为常数列注：等比数列各项及公比均不能为0;当公比为1时，数列为常数列通项 公式ana1(n1)danaiqn 1推1dana m1nqmannmam论2anarn (nm)d2ann mamq3假设mn pq，那么 am an ap aq3假设m n p q，那么am ana p aq中项三个数a、b、c成等差数列，那么有三个数a、b、c成等比数列，那么有公式2b, aca cb2b2ac前n项和Snn(a1an) na1SnaM1 q )a1却q 1公式221 q1q1.前n项和Sn的解

12、析式，求通项 anSi (n 1)Sn Si 1 (n 2)2. 弄懂等差、等比数通项公式和前n项和公式的证明方法。见教材第六章三角函数1. 弧度和角度的互换7.180o2.3.sin4.5.(1)(2)6.tansin2弧度1o弧度180扇形弧长公式和面积公式1I Irs扇 2Lr任意三角函数的定义：对边y 斜边=rcos邻边斜边0.01745 弧度1 弧度(型)°57o18'2 1r记忆法：与S ABC2tan对边y 邻边=x0 00-3006450460030902sin也vr屈両22222cos迟迟<2也22222tan0<331不存在特殊三角函数值三角函

13、数中为正的，其余的为负三角函数的符号判定口诀：一全二正弦，三切四余弦。 图像记忆法三角函数根本公式sin可用于化简、证明等coscos2诱导公式：口诀:可用于sin 求cos ；或者反过来运用奇变偶不变，符号看象限。解释：指k 一 (k Z)，假设k为奇数，那么函数名要改变，假设k为偶数函数名不变27.三角函数值求角：(1)确定角 所在的象限；求岀函数值的绝对值对应的锐角终边的角的集合8.和角、倍角公式和角公式：sin()sin coscossincos()cos cossinsintantantan()1 tan tan二倍角公式：sin 22 sin coscos 2'(3)写岀满

14、足条件的02的角；(4)加上周期同注意正负号相同注意正负号相反2 2 2 2cos sin 2 cos 1 12 si ntan 22 tan1 tan2半角公式：sin2 1 cos,1 cos2 C0S2 . 2函数图像性质定义域值域同期奇偶性单调性y sin xI亠1:rx R1,1T 2奇2k-,2k-2 232k-,2k2 2y cosx / 叮A T厂1Vx R1,1T 2偶2k,2k 2k ,2k9.三角函数的图像与性质9.正弦型函数 y Asi n( x ) (AO, 0)(1)定义域R，值域代A2周期：T3注意平移的问题：一要注意函数名称是否相同，二要注意将X的系数提出来，再

15、看是怎样平移的4y asinx bcosx .a2b2 sin(x10.正弦定理bsin A sin B其他形式：1 2 余弦定理2Rsin Ca 2Rsin AR 为 ABC的外接圆半径11.b2c22Rsin B2RsinC注意理解记忆，可只记一个a : b : c sin A: sin B : sin C2bccos Acos A c2a22bc注意理解记忆，可只记一个111S ABCabsinC-bcsin A-acsin B22212.三角形面积公式注意理解记忆，可只记一个13.海伦公式：S abc P(P a)(PbP C其中P为ABC的半周长，P牛第七章平面向量1.向量的概念1定

16、义：既有 大小又有方向 的量。向量的表示：书写时一定要加箭头!另起点为A，终点为B的向量表示为 AB。(3)向量的模长度：|AB|或|a|(4)零向量：长度为 0，方向任意。 单位向量：长度为 1的向量。 向量相等：大小相等，方向相同的两个向量。反负向量：大小相等，方向相反的两个向量。2. 向量的运算2计算法那么加法：AB BC AC减法：AB AC CA3运算律：加法交换律、结合律注：乘法内积不具有结合律3.数乘向量： a 1模为:| a |2方向:为正与a相同； 为负与a相反。4.AB的坐标：终点B的坐标减去起点 A的坐标。 AB(Xb Xa，Yb Ya)5.向量共线平行： 唯一实数 ，使

17、得a b。可证平行、三点共线问题等6.平面向量分解定理：如果e1,e2是同一平面上的两个不共线的向量，那么对该平面上的任一向量a，都存在唯一的一对实数Xi,X2，使得a7.、内心内切圆圆心：三角平分注意 ABC中，重心三条中线交点、外心外接圆圆心：三边垂直平分线交点 线交点、垂心三高线的交点8.向量的内积数量积(1)向量之间的夹角：图像上起点在同一位置；范围0,。内积公式：a b |a|b|cos a,b9.向量内积的性质:I -Fa |b-r r-r r(1) cos a,b夹角公式2a 丄 b a b 0|a|b|3a a | a |2 或 |a| . a a长度公式10.向量的直角坐标运

18、算:！AB (xb xaVb yA)设 a (Xi, yi), b (X2，y2)，那么 a b (Xi x?,% y?)a (Xi,yi)a bX1X2y211.中点坐标公式：假设A(, y1) ,B (x2,y2),点M(x,y)是线段AB的中点,那么X( X2 丁,y12.向量平行、垂直的充要条件：设a (x-! ,y1),b (x2, y2)，那么a II bXiX2yiy2相对应坐标比值相等XjX2y1y2 0两个向量垂直那么它们的内积为011. 长度公式(1)向量长度公式:(x, y)，那么 |a|. x2 y2(2)两点间距离公式：设点A(Xi, yj, B(X22)，那么丨 A

19、B |.(X2Xi)2%)212. 向量平移X' X(1)平移公式：点P(x,y)平移向量a (a1,a2)到P'(x',y')，那么y' ya1记忆法:“新=旧 +向量a2a2f (x aj2图像平移：y f (x)的图像平移向量 a (ai,a2)后得到的函数解析式为: 第八章平面解析几何1.曲线C上的点与方程 F(x, y) 0之间的关系:(1) 曲线C上点的坐标都是方程 F(x, y) 0的解;(2) 以方程F(x,y) 0的解(x, y)为坐标的点都在曲线 C上那么曲线C叫做方程F (x, y) 0的曲线，方程 F(x, y) 0叫做曲线C的方

20、程。2. 求曲线方程的方法及步骤：(1)设动点的坐标为X，y；写岀动点在曲线上的充要条件；(3)用X,y的关系式表示这个条件列岀的方程；4化简方程不需要的全部约掉；5证明化简后的方程是所求曲线的方程。如果方程化简过程是同解变形的话第五步可省略。3. 两曲线的交点：联立方程组求解即可4. 直线：(1) 倾斜角 ：一条直线丨向上的方向与 X轴的正方向所成的最小正角叫这条直线的倾斜角。其范围是0,)经过两点R(xyj, P2(X2, y2)的直线的斜率Ky2X2yiXi(XiX2)直线的方程两点式：yy2yiX X1斜截式：ykxbyiX2X1点斜式：yy。k(x X0)一般式：AxByC0l 方程

21、为 3x+4y+5=0 ,那么与1平行的直线可设为3x+4y+C=0 ;与l垂直的直线可设为4X-3Y+C=0(2)斜率：倾斜角为90°的直线没有斜率； k tan倾斜角的正切2.求直线的方程最后要化成一般式。(4)两条直线的位置关系li : yk|Xb|l2 : y k2Xb211 : A x Bi x C i 012 : A2 XB2X C20li与丨2平行kk?.且 bib?AiBiC2A2B2C2li与l2重合kik2 且 b|b2AiBiC2A2B2C2li与l 2相交kik2ABiA2B2li 丄 l 2ki k2iA A2 Bi B20注：系数为0的情况可画图像来判定。

22、(5)点到直线的距离| AX0_By。_C |i A2 B2d r 相交；d r 相切；d r 相离点P(x°,y0)到直线Ax By C 0的距离：d5.圆的方程(i)标准方程:(Xa)2(yb)2r2 r0其中圆心(a,b)，半径r(2)一般方程:X22yDxEyF 0D2E2 4F 0圆心DE2半径:r、D2E24F2，24直线和圆的位置关系：主要用几何法，利用圆心到直线的距离d和半径r比拟6.椭圆几何定义动点与两定点焦点的距离之和等于常数2a|PFi| IPF2I 2a标准方程2 2二雪 1焦点在x轴上ab2 2乡厶 1焦点在y轴上ba图像Ja,b, c的关系299a2b2c

23、2注意：通常题目会隐藏这个条件对称轴与对称中心x轴：长轴长2a ； y轴：短轴长2b ； 0(0,0)顶点坐标(a,0) (0, b)焦点坐标(c,0)焦距2c注：要特别注意焦点在哪个轴上离心率e三庄17.双曲线几何定义动点与两定点焦点的距离之差的绝对值等于常数2aIIPF1| IPF2II 2a标准方程2 x 2 a2y1焦点在b2X轴上a2 2X21焦点在y轴上b图像J1bJ /7-3-V/ aa,b,c的关系2 ca2 b2注意：通常题目会隐藏这个条件对称轴与对称中心X轴：实轴长2a ； y轴：虚轴长2b ；0(0,0)顶点坐标(a,0)焦点坐标(c,0)焦距2c注：要特别注意焦点在哪个

24、轴上离心率e 1I；1I 1渐近线bay/焦点在x轴上y'焦点在y轴上8.注:2掌握焦点在哪个轴上的判断方法3圆锥曲线中凡涉及到弦长，都可用联立直线和曲线的方程求解再用弦长公式：|AB| .1 k2 .(x1 x2)24x1x2注：等轴双曲线：1实轴长和虚轴长相等a b 2离心率e 2 3渐近线y x4圆锥曲线中最重要的是它本身的定义！做题时应注意圆锥曲线上的点是满足圆锥曲线的定义的!第九章立体几何、线集合、面集合的关系1. 空间的根本要素：点、线、面 注：用集合符号表示空间中点元素2. 平面的根本性质1三个公理： 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面

25、内。 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们的所有公共点组成的集合是过该点的一条直线。 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。2三个推论： 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。 经过两条相交直线，有且只有一个平面。 经过两条平行直线，有且只有一个平面。3. 两条直线的位置关系：1相交：有且只有一个公共点，记作"a b A 2平行：a.过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行。b. 平行于同一条直线的两条直线平行3异面： 定义：不同在任何一个平面内的两条直线 异面直线的夹角：对于两条异面直线，平移一条与另一条相交所成的不大于一的角。注意在找异面直线之间的夹2角

26、时可作其中一条的平行线，让它们相交。4. 直线和平面的位置关系：1直线在平面内：丨2直线与平面相交：丨A3直线与平面平行 定义：没有公共点，记作： 丨/ 判定：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么该直线与平面平行。 性质：如果一条直线与一平面平行，且过直线的另一平面与该平面相交，那么该直线与交线平行。5. 两个平面的位置关系1相交：丨2平行： 定义：没有公共点，记作： “/ 判定：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面都平行，那么两平面平行 性质：a.两个平行平面与第三个平面都相交，那么交线互相平行b. 平行于同一平面的两个平面平行c. 夹在两平行平面间的平行线段相等d. 两条直线被

27、三个平行平面所截得的对应线段成比例6. 直线与平面所成的角：1定义：直线与它在平面内的射影所成的角2范围：o, j7. 直线与平面垂直1判定：如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么该直线与平面垂直2性质： 如果一条直线垂直于一平面，那么它垂直于该平面内任何直线； 垂直于同一平面的两直线平行； 垂直于同一直线的两平面平行。8. 两个平面垂直(1) 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么两个平面互相垂直。(2) 性质定理：如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们的交线的直线与另一个平面垂直9. 二面角(1)定义：过二面角丨的棱上一点0，分别在两半平面内引棱 丨的垂线OA、OB，那

28、么 AOB为二面角的平面角(2)范围：0,(3) 二面角的平面角构造： 按定义，在棱上取一点 O，分别在两半平面内引棱的垂线OA、OB，那么 AOB即是 作一平面与二面角的棱垂直，与两半平面分别交于OA、OB， AOB即是第十章排列、组合与二项式定理1分类用加法：Nm2mn分步用乘法:Nmgm2有序为排列：Pnmn(n1)(n2)(nm 1)-n!(nm)!无序为组合：cmPmnn(n1)(n2)(n m1)n!p;m!m!( n m)!阶乘：Pnn n! n(n 1)(n 2)3 2 1规定：0!1 CO 1注：1做排列组合题的原那么：先特殊，后一般！2在一起，用捆绑法；不在一起，用插空法；

29、另外的思考方法：一般法、排除法、分类讨论法、时机均等法等等。3.组合数的两个性质：1 cm cnmcmcm14.二项式定理：(a b)nC：anb° C：an bcnan rbrcnC：a°bnr n r rr通项：Tr 1 Cna b，其中Cn叫做第r 1项的二项式系数注：1二项展开式中第 r 1项的系数与第r 1项的二项式系数C；是两个不同的概念。2杨辉三角1. 二项式系数的性质(1)除每行两端的1以外，每个数字都等于它肩上两数之和，即cn 1cn cn1(2)与首末两端等距离的两项的二项式系数相等，即cn cn1 r(3)n为偶数,展开式有奇数项，中间项的二项式系数最

30、大；第:21项n为奇数，展开式有偶数项，中间两项的二项式系数最大。第n 1项和后一项27.C0 C：cmc： 2nC0C2C4nnC1c3C5nnn2n概率与统计、概率1. 概率：随机事件 A的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值2. 等可能事件的概率：如果一次试验中可能岀现的结果有年n个，且所有结果岀现的可能性都相等，那么，每1一个根本领件的概率都是一，如果某个事件 A包含的结果有n3. 互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件 有一个发生)的概率，等于事件A、B分别发生的概率和，即m个，那么事件 A的概率p(A).n.如果事件A、B互斥，那么事件 A+B发生(即A、B中 P(A

31、+B)=P(A)+P(B)。对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件注意：i.对立事件的概率和等于1 : P(A) P(A) P(A A) 1 .ii.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件 相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件 B(或A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件如果两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A-B)=P(A) -P(B).由此，当两个事件同时发生的概率PAB丨等于这两个事件发生概率之积，这时我们也可称这两个事件为独立事件 独立重复试验：假设n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结

32、果，那么称这n次试验是独立的.如果在一次试验中某事件发生的概率为P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率：k knPn(k) CnP (1 P)二、随机变量.1.随机试验的结果应该是不确定的.试验如果满足下述条件：试验可以在相同的情形下重复进行；试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；每次试验总是 恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果它就被称为一个随机试验 .2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随 机变量。0,5即可以取0设离散型随机变量E可能取的值为：x1,x2, ,xi

33、,E取每一个值X1(i 1,2,)的概率P( Xi) pi，那么表称为随机变量E的概率分布，简称X1X2XiPP1P2Pi有性质 p1 0, i 1,2,； p1 p2 pi 1 .注意：假设随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如:5之间的一切数，包括整数、小数、无理数3. 离散型随机变量的二项分布：在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数E是一个随机变量如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生 k次的概率是k k n kPn(k) Cn p q ,k = 0,1,2, 厂 n，q

34、1 p.于是得到随机变量E的概率分布如下：01k nPX-X 00 nCn P q八 11n 1CnP qk k n kC-n p qx-x n n 0-n P q由于Ckpkqn k恰好是二项展开式nOOn11n1kknknnO(q p) Cn p q CnP qCn p q Cn p q中的各项的值，所以称这样的随机变量E服从二项分布，记作EB(n, p)，其中n , p为参数，并记k k n kCn p q = b(k； n，p).二项分布的判断与应用 . 二项分布，实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布 当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比拟小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列三、数学期望与方差.1.期望的含义：一般地，假设离散型随机变量E的概率分布为X1X2XiPP1P2Pi那么称EX2P2XnPn为E的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.2. 二项分