高等数学第七版课件19初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质

1、第九讲 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质第九讲第九讲一、初等函数的连续性二、闭区间上连续函数的性质第九讲第九讲一、初等函数的连续性二、闭区间上连续函数的性质思路思路初等函数初等函数在其定义区间内连续在其定义区间内连续初等函数初等函数由基本初等函数经过有限次四则和复合所构成由基本初等函数经过有限次四则和复合所构成基本初等函数在定义域内连续基本初等函数在定义域内连续连续函数经过四则运算仍连续连续函数经过四则运算仍连续连续函数经过复合运算仍连续连续函数经过复合运算仍连续证明如下结论：证明如下结论：一、初等函数的连续性一、初等函数的连续性（一）连续函数的和、差、积、商的连续性（一）连续函数的和

2、、差、积、商的连续性定理定理xx cot,tan在其定义域内连续在其定义域内连续u例例设函数设函数f( (x) )和和g( (x) )在点在点x0 0连续，连续，fg、积、积f g及商及商f/ /g（当（当g( (x0 0)0)0时）都在点时）都在点x0 0连续连续. .则则它们的和（差）它们的和（差）在在R内连续内连续xx cos,sin（二）反函数的连续性（二）反函数的连续性定理定理u例例且连续，那么它的反函数且连续，那么它的反函数如果函数如果函数y= =f( (x) )在区间在区间Ix上单调增加上单调增加( (或单调减少或单调减少) )Iy=y| |y= =f( (x),),xIx 上单

3、调增加（或单调减少）且连续上单调增加（或单调减少）且连续. .)(1yfx 也在对应的区间也在对应的区间xysin ,22 上单调增加且连续上单调增加且连续在在其反函数其反函数xyarcsin 在在1,1 上单调增加且连续上单调增加且连续一、初等函数的连续性一、初等函数的连续性（三）复合函数的连续性（三）复合函数的连续性设函数设函数y= =f g( (x)是由函数是由函数u= =g( (x) )与函数与函数y= =f( (u) )复合而成，复合而成，y= =f g( (x)在点在点x0 0的某去心邻域内有定义，的某去心邻域内有定义，Aufxgfuuxx)(lim)(lim00则则定理一定理一定

4、理二定理二而函数而函数y= =f( (u) )在在u= =u0 0连续，连续，0)(lim0uxgxx若若gfDxU )(0定理三定理三gfDxU )(0若函数若函数u= =g( (x) )在在x= =x0 0连续连续, ,且且g( (x0 0)=)=u0 0，而函数，而函数y= =f( (u) )在在u= =u0 0连续，连续，0)(lim0uxgxxAufuu)(lim0),(00 xUxo0)(uxg且存在且存在0 0，若若当当时时0()f u 复合函数复合函数y= =f g( (x)在在x= =x0 0也连续也连续一、初等函数的连续性一、初等函数的连续性（四）初等函数的连续性（四）初等

5、函数的连续性基本初等函数在其定义域内连续基本初等函数在其定义域内连续一切初等函数在其定义区间内连续一切初等函数在其定义区间内连续结论结论l注注不能说初等函数在其定义域内连续不能说初等函数在其定义域内连续例如例如1cos)( xxf定义域定义域 Z,2| kkxx 中的点都是孤立点中的点都是孤立点不能说函数在该点连续不能说函数在该点连续一、初等函数的连续性一、初等函数的连续性（五）初等函数的连续性的应用（五）初等函数的连续性的应用1 1讨论函数的连续性讨论函数的连续性定理三定理三u例例讨论函数讨论函数1sinyx 的连续性的连续性设函数设函数y= =f g( (x)是由函数是由函数u= =g(

6、(x) )与函数与函数y= =f( (u) )复合而成，复合而成，而而若函数若函数u= =g( (x) )在在x= =x0 0连续连续, ,且且g( (x0 0)=)=u0 0，gfDxU )(0函数函数y= =f( (u) )在在u=u0连续连续, ,则复合函数则复合函数y= =f g( (x)在在x= =x0 0也连续也连续一、初等函数的连续性一、初等函数的连续性（五）初等函数的连续性的应用（五）初等函数的连续性的应用2 2利用复合函数的连续性求极限利用复合函数的连续性求极限定理二定理二设函数设函数y= =f g( (x)是由函数是由函数u= =g( (x) )与函数与函数y= =f( (

7、u) )复合而成，复合而成，)()(lim)(lim000ufufxgfuuxx 则则gfDxU )(0而函数而函数y= =f( (u) )在在u= =u0 0连续，连续，0)(lim0uxgxx若若变量代换变量代换上述结论可写为上述结论可写为)(lim()(limxgfxgfxxxx00 函数符号与极限符号可交换函数符号与极限符号可交换一、初等函数的连续性一、初等函数的连续性（五）初等函数的连续性的应用（五）初等函数的连续性的应用2 2利用复合函数的连续性求极限利用复合函数的连续性求极限u例例)()(lim)(lim000ufufxgfuuxx )(lim()(limxgfxgfxxxx00

8、 9323 xxxlimxxax)(loglim 10命题命题设设u( (x)0,)0,u( (x)1)10lim ( )lim ( )u xav xb 则则( )lim ( )v xbu xa 一、初等函数的连续性一、初等函数的连续性（五）初等函数的连续性的应用（五）初等函数的连续性的应用3 3利用初等函数的连续性求极限利用初等函数的连续性求极限u例例xxsinlnlim2 201xx lim一切初等函数在其定义区间内连续一切初等函数在其定义区间内连续4 4找间断点找间断点对于初等函数对于初等函数间断点间断点无定义的点无定义的点u例例xxxfsin)( 求函数求函数的间断点的间断点第九讲第九

9、讲一、初等函数的连续性二、闭区间上连续函数的性质第九讲第九讲一、初等函数的连续性二、闭区间上连续函数的性质二、闭区间上连续函数的性质二、闭区间上连续函数的性质（一）有界性与最大值最小值定理（二）零点定理（三）介值定理（四）应用二、闭区间上连续函数的性质二、闭区间上连续函数的性质（一）有界性与最大值最小值定理（二）零点定理（三）介值定理（四）应用最值概念最值概念设设f( (x) )在区间在区间I上有定义，如果存在上有定义，如果存在x0 0I，使得，使得对任一对任一xI，恒有恒有 00( )()( )()f xf xf xf x 则称则称f( (x0 0) )是函数是函数f( (x) )在区间在区

10、间I上的最大值（最小值）上的最大值（最小值）. .注注(1) 最大值可以等于最小值最大值可以等于最小值(2) 函数在区间函数在区间I上可能取不到最值上可能取不到最值在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值最大值和最小值. .定理定理几何意义几何意义abxoy1 2 定理的条件是重要的定理的条件是重要的l注注u例例y= =x在在( (1,2)内内xoy1221311101xxxxxy在在 0,2 上上xoy12二、闭区间上连续函数的性质二、闭区间上连续函数的性质（一）有界性与最大值最小值定理（二）零点定理（三）介值定理（四

11、）应用二、闭区间上连续函数的性质二、闭区间上连续函数的性质（一）有界性与最大值最小值定理（二）零点定理（三）介值定理（四）应用设函数设函数f( (x) )在闭区间在闭区间 a,b 上连续，且上连续，且f( (a) )与与f( (b) )异号（即异号（即f( (a)f( (b)0) )，则在开区间，则在开区间( (a,b) )内至少有一点内至少有一点使使f( ()=)=0. .定理定理几何意义几何意义如果连续曲线弧如果连续曲线弧y= =f( (x) )的两个端点的两个端点位于位于x轴的不同侧，那么这段曲线弧轴的不同侧，那么这段曲线弧与与x轴至少有一个交点轴至少有一个交点. .xoyab如果如果x

12、0 0使使f( (x0 0)=0)=0，那么，那么x0 0称为函数称为函数f( (x) )的的零点零点. .二、闭区间上连续函数的性质二、闭区间上连续函数的性质（一）有界性与最大值最小值定理（二）零点定理（三）介值定理（四）应用二、闭区间上连续函数的性质二、闭区间上连续函数的性质（一）有界性与最大值最小值定理（二）零点定理（三）介值定理（四）应用设函数设函数f( (x) )在闭区间在闭区间 a,b 上连续，且在这区间的端点取上连续，且在这区间的端点取不同的函数值不同的函数值f( (a)=)=A及及f( (b)=)=B，则对于，则对于A与与B之间的任意之间的任意一个数一个数C，在开区间，在开区间( (a,b) )内至少有一点内至少有一点使得使得 f( ()=)=C ( (a b)定理定理几何意义几何意义Abxoya)(xfy BC连续曲线弧连续曲线弧y= =f( (x) )与水平直线与水平直线y= =C至少至少相交于一点相交于一点. .推论推论在闭区间在闭区间 a,b 上连续的函数上连续的函数f( (x) )的值域的值域为闭区间为闭区间 m,M,其中其中m与与M依次为依次为f( (x) )在在 a,b 上的最小值与最大值上的最小值与最大值. .二、闭区间上连续函数的性质二、闭区间上连续函数的性质（一