appMath2005-2特殊函数

1、1高等工程数学高等工程数学(2)2005年9月7日2 Section 3. Legendre函数定义6. Legendre函数是如下Legendre方程 (1.14)的解，其中 可以是任何复常数.（1.14） 称为 阶Legendre方程.在球坐标中分离变量时,可得如上方程. 0) 1(2)1 (222wdzdwzdzwdz3 两个基本解可以用以下积分表示: (1.15) (1.16)其中,C1为沿(- ,-1)切开的t平面上的一条正向闭曲线,且含1, z为内点. C2为在t平面上沿负向绕1一周,沿正向绕点-1一周的8字形闭曲线. 称为 次的第一类Legendre函数, 称为 次第二类Lege

2、ndre函数.dtzttizPC12)(2) 1(21)(1dttztizQC12)(2) 1(sin41)(2)(zP)(zQ4 当 为整数时,方程(1.14)的多项式解称 为Legendre多项式.可以如下表示: (1.17) 称为n次Legendre多项式,它是第一类Legendre函数.)(zPn022)!2()!( !2)!22() 1()(nmmnnmnzmnmnmmnzPn1)(0zPzzP)(1) 13()(2212zzP5 Legendre多项式性质: 1.奇偶性2.特殊值3.微商表示(Rodrigues)1) 1 (nP)() 1()(zPzPnnnnnP) 1() 1(0

3、)0(12kP!)!2(!)!12() 1()0(2kkPkknnnnnzdzdnzP) 1(!21)(264.递推公式)() 1()()(1zPnzPzzPnnn0)()(01zzPzP)()(2)()(11zPzPzzPzPnnnn0 , 0)()() 12()() 1(11nznPzPnzPnnnn)()()(1znPzPzPznnn75.正交性. Legendre 多项式函数系 为在区间-1,1上的正交系,即 在用分离变量法解Laplace方程的Dirichlet问题时会遇到下列Fourier-Legendre级数)( )( 0)()(12211nmnmdxxPxPnnm0)(nnzP

4、8 6.Fourier-Legendre级数 设函数 在-1,1上有定义,函数 在-1,1上的积分存在且绝对收敛,则级数 (1.18a) 收敛于且级数(1.18)称为Fourier-Legendre级数.其中展开系数)(0 xPCnnn)(xf) 11( )0()0(21xxfxf), 2 , 1 , 0( )()(11212ndxxPxfCnnn)()1 (412xfx(1.18b)9(1.18a)10111213141516171819202122 Section 4. Bessel函数定义7. 阶Bessel函数是如下Bessel方程 (1.19)的解，其中 可以是任何复常数.（1.19

5、） 称为 阶Bessel方程. 在柱坐标中用分离变量法解Laplace方程时,可得如上方程. 0)1 (12222wzdzdwzdzwd23 4.1.第一类Bessel函数 Bessel方程(1.19)的两个解 (1.20a) (1.20b)称为 阶第一类Bessel函数.若 整数, 和 为线性无关的.故 阶Bessel方程的通解为kkkxkkzJ202) 1(!1) 1()(kkkxkkzJ202) 1(!1) 1()()()(21zJCzJC)(zJ)(zJ24 第一类Bessel函数的性质 1.递推公式 )()(1zJzzJzdzd)()(1zJzzJzdzd)()()(1zzJzJzz

6、vJ)()()(1zzJzJzzvJ)(2)()(11zJzzJzJ25 2.正交性 设 为 的正零点,则当 时,Bessel函数系 在区间0,1上关于权 正交,即 n21)( )()( 0)()(212110nmJnmdxxJxxJmnm)(xJ11)(nnxJx26 2.Fourier-Bessel级数 设函数 在(0,1)内有定义,且满足 存在,且如果它是广义积分,则设其绝对收敛.设 且 内是有界变差的,则如下Fourier-Bessel级数收敛到 其中 )(xf) 10( ),(babax)(1xJCnnndxxfx)(2110 ),()(baxf在)0()0(21xfxfdxxJxx

7、fJCnnn)()()(2102127 4.2.第二类Bessel函数 第二类Bessel函数(Neumann函数)定义如下: 若 为整数时, 与 为线性无关的.故 阶Bessel方程的通解为)()(21zYCzJC)( sin)()(coslim)( sin)()(cos)(nzJzJnzJzJzYnv)(zY)(zJ28 4.3.第三类Bessel函数 第三类Bessel函数定义如下: 上两式也分别称为第一类和第二类Hankel函数.Hankel函数也满足如下的递推关系: Hankel函数在研究某类波的传播方面是很有用途的工具.)()()1(ziYzJHvv)()()2(ziYzJHvv)

8、2 , 1( )(2)()()()(1)(1izHzzHzHiii)2 , 1( )(2)()()()(1)(1izHdzdzHzHiii29第二章 Fourier分析1 Fourier变换1.1 Fourier积分Fourier级数：若 是以 T 为周期的函数，且在 上满足Dirichlet条件，即（1）除去有限个第一类间断点外，处处连续；（2）分段单调，单调区间的个数有限。则 可展成Fourier级数Fourier级数复数形式：周期为T。 ),(22TT)(xf)(xf),sincos(2)(10 xnbxnaaxfnnnT2)5 . 1 ( nxintinedtetfTxfTT )(1)(22)8 . 1 (30第二章 Fourier分析1 Fourier变换1.1 Fourier积分 对非周期函数 ：作周期为 T 为的函数 ，使得在 上它等于 ，而在这之外，按周期T进行延拓。故，非周期函数 可以看成周期函数 当时的极限。若记 由（1.8）式得若记 于是（1.9）式变为 ),(22TT)(x