现代数值计算方法—肖筱南

1、现代数值计算方法习题答案习 题 一1、解：根据绝对误差限不超过末位数的半个单位，相对误差限为绝对误差限除以有效数字本身，有效数字的位数根据有效数字的定义来求.因此 49×10-2 ： = 0.005； = 0.0102； 2位有效数字. 0.0490 ： = 0.00005； = 0.00102； 3位有效数字. 490.00 ： = 0.005； = 0.0000102；5位有效数字.2、解： = 3.1428 ， = 3.1415 ，取它们的相同部分3.14，故有3位有效数字. = 3.1428 - 3.1415 = 0.0013 ； = = = 0.00041.3、解：的近似值

2、的首位非0数字 = 1,因此有 | < = × 10-4 , 解之得n > = 5，所以 n = 5 .4、证： 5、解：(1)因为4.4721 ，又| = | = 0.0021 < 0.01, 所以 4.47. (2)的近似值的首位非0数字 = 4,因此有 | < = 0.01 , 解之得n > = 3 .所以， 4.47.6、解：设正方形的边长为,则其面积为，由题设知的近似值为= 10 cm .记为的近似值，则 < = 0.1， 所以 < = 0.005 cm .7、解：因为, 所以.8、解：9、证： 由上述两式易知，结论.10、解：代入

3、求解,经过计算可知第(3)个计算结果最好.11、解：基本原则为：因式分解，分母分子有理化、三角函数恒等变形 （1）通分；（2）分子有理化；（3）三角函数恒等变形.12、解： 因为,所以| < = 于是有 | = | = 10| < =| = | = 10| < = 类推有 | < = 即计算到，其误差限为，亦即若在处有误差限为，则的误差将扩大倍，可见这个计算过程是不稳定的.习 题 二1、 解：只用一种方法. （1）方程组的增广矩阵为： , , .（2）方程组的增广矩阵为： , , .（3）适用于计算机编程计算.2、 解：第一步：计算U的第一行，L的第一列，得 第二步：计

4、算U的第二行，L的第二列，得 第三步：计算U的第三行，L的第三列，得 第四步：计算U的第四行，得 从而， = 由 , 解得 =（6，-3，23/5，955/370）T. 由 , 解得=（1，-1，1，1）T.3、（1）解：首先检验系数矩阵的对称正定性，这可以通过计算其各阶顺序主子式是否大于零来判断. 3 > 0, = 2 > 0, = 4 > 0,所以系数矩阵是对称正定的.记系数矩阵为A，则平方根法可按如下三步进行： 第一步 分解：A = L LT.由公式计算出矩阵的各元素： 因此， L .第二步 求解方程组LY = b . 解得Y = （，）T.第三步 求解方程组LTX =

5、 Y . 解得X =（0，2，1）T.（2）解：首先检验系数矩阵的对称正定性，这可以通过计算其各阶顺序主子式是否大于零来判断. 3 > 0, = 2 > 0, = 6 > 0,所以系数矩阵是对称正定的.记系数矩阵为A，则平方根法可按如下三步进行：第一步 分解：A = L LT.由公式计算出矩阵的各元素： 因此， L . 第二步 求解方程组LY = b . 解得Y = （，）T . 第三步 求解方程组LTX = Y . 解得X = （，）T .4、解： 对 , ； 对 , , , ；对 , , , , , . 所以数组A的形式为： 求解方程组LY = b . 解得Y = （4，

6、7，）T . 求解方程组DLTX = Y . 解得X = （，）T .5、解：（1）设A = LU = 计算各元素得： , , , , , , , , .求解方程组LY = d. 解得Y = （1，）T .求解方程组UX = Y. 解得X = （，）T .（2）设A = LU = 计算各元素得： ， ， ， .求解方程组LY = d . 解得Y = （17，）T . 求解方程组UX = Y . 解得X = （3，2，1）T .6、证：（1）（2）相同. 因为此方程组的系数矩阵为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法和相应的高斯赛德尔迭代法都收敛.（1）雅可比迭代公式：高斯赛德尔迭代公式：（2）雅可

7、比迭代公式：高斯赛德尔迭代公式：7、(1)证：因为此方程组的系数矩阵为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法和相应的高斯赛德尔迭代法都收敛。 (2) 雅可比迭代法： 写出雅可比迭代法公式：取 = （3，1，1）T，迭代到18次达到精度要求, = （3.999，2.999，1.999）T .高斯赛德尔迭代法： 写出高斯赛德尔迭代法公式：取 = （3，1，1）T，迭代到8次达到精度要求, = （4.000，2.999，2.000）T .8、SOR方法考试不考。9、证明：雅可比法的迭代矩阵为： , 解得,所以雅可比迭代法不收敛. 高斯-赛德尔法的迭代矩阵为： , 求得，则 , 所以高斯-赛德尔迭代法不收

8、敛.10、证明：雅可比法的迭代矩阵为： , 求得，则 ,所以雅可比迭代法不收敛. 高斯-赛德尔法的迭代矩阵为： , 求得，则 , 所以高斯-赛德尔迭代法收敛.11、证明：当 - 0.5 < a < 1 时，由 = 1 - a2 > 0 , = (1 - a)2(1 + 2a) > 0 , 所以A正定. 雅可比迭代矩阵BJ ，所以， | = = 所以， , 故当-0.5 < < 0.5 时，雅可比迭代法收敛。12、解： max 0.6+0.5,0.1+0.3 = 1.1； max 0.6+0.1,0.5+0.3 = 0.8； = 0.8426； ATA = =

9、 | = = 0.71 0.0169 0 所以 (ATA) = 0.685，所以 = 0.83.13、证明：(1)由定义知, 故 (2)由范数定义知, 故 习 题 三1、解：在区间0.3,0.4上，故在区间0.3,0.4上严格单调减少，又，所以方程在区间0.3,0.4上有唯一实根。令（0.40.3）/ < = ,解得k > = 4 ,即应至少分4次,取开始计算,于是有: 当k = 1 时,x1 = 0.35 , ,隔根区间是, 当k = 2 时,x2 = 0.325 , ,隔根区间是,当k = 3 时,x3 = 0.3375 , ,隔根区间是,当k = 4 时,x4 = 0.343

10、75 , ,隔根区间是.所以 (0.3375 + 0.34375)/2 0.341.2、解：在区间1,2上，故在区间1,2上严格单调增加，又，所以方程在区间1,2上有唯一实根.令< = ,解得k > = 13.3 ,即应至少分14次.3、解：作图,判断根的数目、找隔根的区间. (1)有唯一实根,隔根区间0,收敛迭代公式:. (2)有唯一实根,隔根区间1,2,收敛迭代公式:.4、解：取的邻域1.3,1.6来考察.(1)当1.3,1.6时,1.3,1.6 ,|< = 0.522 = L < 1,所以，在1.3,1.6上收敛.(2)当1.3,1.6时,1.3,1.6 ,|&l

11、t; = 0.91 = L < 1,所以，在1.3,1.6上收敛.(3)当1.3,1.6时,1.3,1.6 ,| = L > 1,所以， 在1.3,1.6上发散.(4)当1.3,1.6时,1.3,1.6 ,所以，在1.3,1.6上发散.取开始计算,于是有： = 1.481448 , = 1.472705 , = 1.468817 , = 1.467047 , = 1.466243 , = 1.465876 .由于| < ,故可取 = 1.466.5、解：方程的等价形式为=,迭代公式为. 作函数和的图像,可知其正根区间为0.5,1.5. 当0.5,1.5时,0.5,1.5 ,|

12、< = 0.3 = L < 1,所以，在0.5,1.5上收敛.取开始计算,于是有： = 0.93114992, = 1.0249532 , = 1.04141516 , = 1.04419321, = 1.0446673 , = 1.04474582, = 1.04475903, = 1.0447613 , = 1.04476123.由于| < ,故可取 = 1.04476.6、解：当0,0.5时,0,0.5 ,|< = 0.825 = L < 1,所以在区间0,0.5上收敛.取开始计算,于是有： = 0.10000000, = 0.08948290 , = 0.

13、09063913 , = 0.09051262, = 0.09052647 , = 0.09052495.由于| < ,故可取 = 0.0905.7、解：由于在根附近变化不大, = - 0.607 = q. 迭代-加速公式为取开始计算,于是有： = 0.5662917, = 0.5671223, = 0.56714277.由于| < ,故可取 = 0.5671.8、解：埃特金加速公式为： 取开始计算,于是有: = 1.32489918, = 1.32471796, = 1.32471637.由于| < ,故可取 = 1.3247.9、解：对于,因此牛顿迭代法为 ,0,1,2,

14、3,对于,因此牛顿迭代法为 ,0,1,2,3,因为 所以，对于, .对于, .10、解：在区间1,2上,，,，.又因为，所以收敛且以作初值。取,用牛顿迭代法, 计算得 = 1.8889, = 1.8794, = 1.8794,由于| < ,故可取 = 1.879.11、解：设 ,则 ， .牛顿法迭代公式为： 0,1,2,3, 当时, ， , 当时, ， .因此,对于,当时,牛顿序列收敛到.当时,所以,因此,从起 , 牛顿序列收敛到 .对于,当时,牛顿序列收敛到.当时,所以,因此,从起 , 牛顿序列收敛到 .当时,迭代式变为 .该迭代对任何均收敛,但收敛速度是线性的.取开始计算,于是有：

15、= 1.66666667 , = 1.23111111 , = 1.48053039 , = 1.44323083 , = 1.44225024 , = 1.44224957 , = 1.44224957 .由于| < ,故可取 = 1.442250 .12、解：令,取,开始计算,经过4次计算可以得到 = 0.51098 .习 题 五1、解： .2、解：.3、解： .(直接代入数据，因较复杂，省略)4、证：（1）当（2）中的时，即可得结论. （2）函数及均为被插值函数的关于互异节点的不超过次的插值多项式，利用插值多项式的唯一性可知结论.5、证：以和为插值点，建立的不超过一次的插值多项式：

16、应用插值余项公式有： ，因此可得结论。6、解：选，为节点，计算得： .7、解： .8、解：（略）9、证：设，. 将差商（均差）用函数值表示，则有： 取得结论（1），取得结论（2）.10、证：.11、解：制造向前查分表：0123012312176411547143218由题意，.当时，.将查分表上部那些画横线的数及代入公式，有.当时，.将查分表下部那些画横线的数及代入公式，有12、解：制造向前查分表：0123-1012-2-1121211-1-2 由于其根在-1,2之间，故采用牛顿后插公式， 计算得 ，所以.13、证：采用差分的定义来证明.14、解：方法同第11题.15、解：以，和为插值节点的插

17、值多项式的截断误差，则有 ，式中 ， 则 令 得 .习 题 六1、解：由题意得 , , 所以 , . 又 , 所以 .2、解：设拟合曲线为一次多项式: . 计算各元素:,故法方程组为=,解得 ,.所以.二次多项式拟合曲线与一次多项式拟合曲线类似(略).3、解：设拟合曲线为二次多项式: . 计算各元素: , 故法方程组为=,解得 ,.所以.4、解：经描图发现和符合二次曲线. 设拟合曲线为二次多项式: . 计算各元素:, , 故法方程组为=,解得 , , .所以.5、略.6、解：对公式两边取常用对数有 . 令,则得线性模型 .计算各元素: , 故法方程组为=,解得 ,得,. 所以 .7、解：对公式两边取常用对数有 . 令,则得线性模型 .计算各元素: , 故法方程组为=,解得 ,得,. 所以 .8、解：令,则 .计算各元素: , 故法方程组为=,解得 ,所以.习 题 七1、解：利用梯形公式: . 利用辛普森公式: . 计算误差: . .5、解：利用复化梯形公式:. 利用复化辛普森公式: 6、解：由 , 得 又,解出,故用复化梯形公式至少取671,即需672个节点.7、解：计算如下:01230.77174330.72806990.71698280.71420020.71351210.71328700.71327260.71327200.71327170.7132717 故.