三角形四心与向量

1、三角形“四心”的向量性质及其应用一、三角形的重心的向量表示及应用（中线交点）命题一：已知是不共线的三点，是内一点，若则是的重心命题二：点是三角形的重心则变式：已知分别为的边的中点则变式引申：如图4，平行四边形的中心为，为该平面上任意一点，则二、三角形的外心的向量表示及应用(外接圆圆心，边中垂线交点)命题二：已知是内一点，满足，则点为ABC的外心。三、三角形的垂心的向量表示及应用：（高线交点）例1：已知是内一点，满足，则点G为垂心。变式：若H为ABC所在平面内一点，且则点H是ABC的垂心四、三角形的内心的向量表示及应用（内角平分线交点，内切圆圆心）命题四：O是内心的充要条件是0)|CB|CB|C

2、A|CA(OC)|BC|BC|BA|BA(OB)ACAC|AB|AB(OA=-×=-×=-×变式1：如果记的单位向量为，则O是内心的充要条件是 变式2：如果记的单位向量为，则O是内心的充要条件也可以是。例1（2003江苏）已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，满足，则P的轨迹一定通过ABC的内心 。 例2、已知P是非等边ABC外接圆上任意一点，问当P位于何处时，PA2+PB2+PC2取得最大值和最小值。 例3.已知O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足,则动点P的轨迹一定通过ABC的（ D ） A .外心 B.内心 C 重

3、心 D 垂心变形：（1） C（2） C（3） A例4： 点O在ABC内部且满足,则ABC面积与凹四边形ABOC的面积之比（ C ）A 0 B 3/2 C 5/4 D 4/3 变形引申：，求ABC面积与凹四边形ABOC的面积之比（ ）例2（03年江苏卷）O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P的轨迹一定通过ABC的（ ）A外心B内心 C重心 D垂心（1）（05年全国卷理）的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，则实数m = ；（2）（05年全国卷I文）点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是的（）A三个内角的角平分线的交点B三条边的垂直平分线的交点C三

4、条中线的交点D三条高的交点（3）(05年湖南卷文)P是ABC所在平面上一点，若=，则P是ABC的（） A外心 B内心 C重心 D垂心（06陕西理） 已知非零向量与满足(+)·=0且·= , 则ABC为 ( )A三边均不相等的三角形 B直角三角形 C等腰非等边三角形 D等边三角形3以“各种运算的几何意义”为代表的灵活运用阶段（05浙江卷）已知向量，|1，对任意tR，恒有|t|，则（C）(A) (B) () (C) () (D) ()()例3（06湖南理）如图1, , 点在由射线、 线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动, 且,则的取值范围是 ；当时, 的取值范围是 . （

5、2）（07陕西理）如图4，平面内有三个向量、，其中与的夹角为，与的夹角为，且，若，则的值为例4（07全国）设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若，则（ ）A9B6C4D307重庆理）如图5，在四边形中，则的值为（） （2007江西卷）15如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，则的值为2009年高考中的向量选择题考查应用：1.（2009广东卷理）一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态已知，成角，且，的大小分别为2和4，则的大小为 A. 6 B. 2 C. D. 【解析】，所以，选D.2.（2009浙江卷理）设向量，满足：，以，的模为边长构成三角形，则

6、它的边与半径为的圆的公共点个数最多为 ( ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A B C D答案：C 【解析】如果知道此三角形有一个半径为1的内切圆，本题立解3.（2009陕西卷文）在中,M是BC的中点，AM=1,点P在AM上且满足学,则科网等于（A） （B） （C） (D) 答案:A. 解析:由知, 为的重心,根据向量的加法, 则=故选A4.（2009全国卷理）设、是单位向量，且·0，则的最小值为 ( D )（A） （B） （C） (D)解: 是单位向量 故选D.对照：（08浙江卷9）已知，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足,则的最大值是C （A）1 （B）2 （

7、C） （D）5.（2009宁夏海南卷理）已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的 （A）重心 外心 垂心 （B）重心 外心 内心 （C）外心 重心 垂心 （D）外心 重心 内心（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）填空题7.（2009安徽卷理）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是_.解析设 ，即对比：2009年石家庄高中毕业班第一次模拟考试试卷第18题： 在中， ()求； (11)设的外心为，若，求，的值18解: ()由余弦定理知:,2分.5分()由,知 7分为的外心，.同理.10分即， 解得: 12分方法1考查了向量的数量积及灵活运用，并需要一定的计算技巧，检测出考生个体理性思维的广度和深度及进一步学习的能力，符合对数学能力考查的命题思想方法2利用了向量的加法法则及平面向量基本定理，