导数,积分小结

1、四【典例解析】题型1：导数的概念例1已知s=，（1）计算t从3秒到3.1秒 、3.001秒 、 3.0001秒.各段内平均速度；（2）求t=3秒是瞬时速度例2求函数y=的导数题型2：导数的基本运算例3（1）求的导数；（2）求的导数；（3）求的导数；（4）求y=的导数；（5）求y的导数点评：（1）求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；（2）有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量例4写出由下列函数复合而成的函数：（1）y=cosu,

2、u=1+（2）y=lnu, u=lnx解析：（1）y=cos(1+)；（2）y=ln(lnx)。题型3：导数的几何意义例5（1）(2009年广东卷文)函数的单调递增区间是( )A. B.(0,3) C.(1,4) D.（2）（2009安徽卷理）已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是( )A. B. C. D.例6（2009湖南卷文）若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是( )yababaoxoxybaoxyoxybA B C D（2）曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是。例7（1）对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x1）0，则必有（）Af（0）f

3、（2）2f（1）（2）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（）A1个B2个 C3个 D4个（3）2009山东卷文)（本小题满分12分）已知函数,其中（1）当满足什么条件时,取得极值?（2）已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.解: (1)综上,当满足时,取得极值.(2) 综上,当时,; 当时,【命题立意】:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题.例8（1）若曲线存在垂直于

4、轴的切线，则实数的取值范围是 .解析 解析 由题意该函数的定义域，由。因为存在垂直于轴的切线，故此时斜率为，问题转化为范围内导函数存在零点解法1 （图像法）再将之转化为与存在交点。当不符合题意，当时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当如图2，此时正好有一个交点，故有应填或是。（2）函数的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为A.B. 1 C. 2 D.根据定积分的几何意义结合图形可得所求的封闭图形的面积：，故选A.点评：本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力题型5：导数综合题例91、已知二次函数，若不等式的解集为C.（1）求集合C；（2）若方

5、程在C上有解，求实数的取值范围；解（1）集合 -4分（2），令则方程为 -5分所以，当或时，方程在C上有解，且有唯一解。-10分题型7：定积分例13计算下列定积分的值（1）；（2）；（3）；（4）；例14（1）一物体按规律xbt3作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方试求物体由x0运动到xa时，阻力所作的功。（2）抛物线y=ax2bx在第一象限内与直线xy=4相切此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S求使S达到最大值的a、b值，并求Smax解析：（1）物体的速度。媒质阻力，其中k为比例常数，k0。当x=0时，t=0；当x=a时，又ds=vdt，故阻力所作的功为：（2

6、）依题设可知抛物线为凸形，它与x轴的交点的横坐标分别为x1=0，x2=b/a，所以(1)又直线xy=4与抛物线y=ax2bx相切，即它们有唯一的公共点，由方程组得ax2(b1)x4=0，其判别式必须为0，即(b1)216a=0于是代入（1）式得：，；令S(b)=0；在b0时得唯一驻点b=3，且当0b3时，S(b)0；当b3时，S(b)0故在b=3时，S(b)取得极大值，也是最大值，即a=1，b=3时，S取得最大值，且。基本的积分公式：C；C（mQ， m1）；dxlnC；C；C；sinxC；cosxC（表中C均为常数）（2）定积分的性质（k为常数）；（其中acb。导数、定积分测试题（考试时间：1

7、00分钟，满分120分）一、选择题(共10小题，每小题4分,共40分)1. 已知函数f(x)=ax2c,且=2,则a的值为 （ ） A.1 B. C.1 D. 02. 已知函数在处的导数为3，则的解析式可能为 （ ） A(x-1)3+3(x-1) B2(x-1)2 C2(x-1) Dx-13. 已知函数在处的导数为1，则 = ( ) A3 B C D4. 函数y=(2x1)3在x=0处的导数是 （ ） A.0 B.1 C.3 D.65函数处的切线方程是 （ ）ABC D6.曲线与坐标轴围成的面积是 （ ）A.4 B. C.3 D.27一质点做直线运动,由始点起经过ts后的距离为s=t4-4t3+16t2,则速度为零的时刻是 （ ） A.4s末 B.8s末 C.0s与8s末 D.0s,4s,8s末8函数 有 （ ） A.极小值-1，极大值1 B. 极小值-2，极大值3 C.极小值-1，极大值3 D. 极小值-2，极大值29. 已知自由下落物体的速度为V=gt，则物体从t=0到t0所走过的路程（ ）A B C D10如果10N的力能使弹簧压缩10cm，为在弹性限度内将弹簧拉长6cm，则力所做的功为 （ ） A0.28J B0.12J C0.26J D0.18J 11函数的单调区间为_。12设函数, =9,则_. 13.