多元函数微分学46377

1、第八章 多元函数微分学8.1 多元函数的基本概念1. 设，求。2. 设求与3. 求下列极限：（1） ; （2）;（3）; (4) ;(5) ; (6) 4下列极限是否存在？若存在，求极限值。（1）； （2）；5讨论下列函数的连续性：（1） ;（2） ;（3）;6 设存在，问是否一定存在？若肯定给出证明，若否定试举一反例。8.2 偏导数与全微分1. 求下列函数的偏导数:(1) (2) (3) （4）(5);3. 设,验证:.4. 设,证明:在(0,0)点的两个偏导数都存在,但在(0,0)点不连续。5. 设在的某邻域内存在有界的偏导数,即存在常数,使得证明: 在连续.5. 求下列函数的全微分: (

2、1) ; (2) ;(3) ; (4) 6.利用5题中的（1），（2）求下列各式的近似值：（1）； （2）83 多元函数微分法1. 求下列函数对的导数:（1）（2）其中均可微。2. 求下列函数的偏导数，假设所有函数均可微：； ； 。3验证下列函数分别满足指定的方程：满足；满足.4设是由方程所确定的隐函数，求。5求下列函数指定的二阶偏导数，假设所有的函数均有二阶偏导数：（1）求；（2）具有连续的二阶导数，求；（3）具有连续的二阶偏导数，可导，求；（4），求。6设而是由方程所确定的隐函数，求，其中均可微，且。7.设是由方程所确定的隐函数，且，证明：。8.设，求与在点处的值。其中。84 空间曲线的切

3、线与法平面，曲面的切平面与法线1求曲线，在点（）处的切线与法平面方程。2求在点（）处的切线与法平面方程。3求曲线在点（1，1，1）处的切线与法平面方程。4 求曲线上的点，使该点的切线平行于平面。5 求曲线上平行于平面的切线方程。6 求曲面在点（1，-1，）处的切平面与法线方程。7 求抛物面的切平面，使切平面平行于平面。8 在曲面上求一点，使这点处的法线垂直于平面，并写出这法线的方程。9 求椭球面上的点，使其法线与三坐标轴正方向成等角。10.试证曲面（0）上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于。11试证：所有切于曲面的平面都相交于一点。12.证明：曲面（为常数）上任一点的切平面与一定直线平

4、行。85 方向导数与梯度1 设.求其在点（1，1）处，沿方向的方向导数；求其在点（1，1）处的最大方向导数。2 求函数在点（1，2，3）处沿其向径方向的方向导数。3 求在点（1，1）处沿方向的方向导数，并求：（1） 在哪个方向上的方向导数有最大值。（2） 在哪个方向上的方向导数有最小值。（3） 在哪个方向上的方向导数为零。（4） 。4 求函数在点处沿曲线在这点的内法线方向的方向导数。5 设求及。6 设，其中为可导函数，求。7 设的各偏导数都存在且连续，证明：； ；86 多元函数的极值1 求函数的极值。2 求函数的极值。3 求函数在适合附加条件下的极值。4 分解已知正数为三个正数之和，而使它们的倒数之和为最小。5 从斜边之长为的一切直角三角形中，求有最大周界的直角三角形。6 在椭球内嵌入有最大体积的长方体，求它的体积。7 在平面上求一点，使它到及三条直线的距