陈文灯线性代数详解(3)

1、第四章线性方程组一.填空题1 .在齐次线性方程组AmxnX=0中，若秩(A)=k且“1,”2,，喝是它的一个基础解系,则r=;当k=时，此方程组只有零解.解.r=nk,当k=n时，方程组只有零解.2 .若n元线性方程组有解，且其系数矩阵的秩为r,则当时，方程组有唯一解；当时，方程组有无穷多解.解.假设该方程组为AmxnX=b,矩阵的秩r(A)=r.当r=n,方程组有惟一解；当n,方程组有无穷多解.x1，kx2，x3=03 .齐次线性方程组42xi+X2+X3=0只有零解，则k应满足的条件是.kx2+3x3=01 k1一_3.解.21100,3+2卜_卜_6卜0,卜#一时，万程组只有零解.50k

2、34.设A为四阶方阵，且秩(A)=2,则齐次线性方程组A*x=0(A*是A的伴随矩阵)的基础解系所包含的解向量的个数为.d一一、*一1，一,一八，*一一一，解.因为矩阵A的秩r(A)=2n1=41=3,所以r(A)=0,Ax=0的基础解系所含解向量的个数为|-125.设A=11-21|-12解.A=1-121r(A)=2,-1I01-11-20T011-0_1则Ax=0的通解为110-11TJ。111|000基础解系所含解向量个数为3-2=1.x1-x3=0T，,取x3=1，则x2=x1=1.基础解系为(1,1,1).x2-x3=0Ax=0的通解为k(1,1,1)T,k为任意常数.6.设%2,

3、%是非齐次线性方程组Ax=b的解，若Cm+022+Cs”也是Ax=b的一个解，则C1+C2+Cs=.解.因为Act.=b,且A(。必+C2O(2+Cs%)=b,所以(C1+Cs)b=b,C1Cs=1.7.方程组Ax=0以q=(1,0,2)T,1=(0,1,_1)T为其基础解系，则该方程的系数矩阵为解.方程组Ax=0的基础解系为n1=(1,0,2)T,“2=(0,1,1)T,所以nr(A)=2,即3-r(A)=2,r(A)=1.一所以A=卜0,假设以=(a“，a12,a.J3110121=0,1所以|B|=|A|X|=0,4-13即2k0=4k6_6k+2=0,k=_2.2-11二.单项选择题1

4、.要使昌=(1,0,1)T,刍=(-2,0,1),都是线性方程组Ax=0的解，只要系数矩阵211一1-001122oo3.oo-D解.因为。，q的对应分量不成比例12(A)A=312131122,|A|=3112110031oO一X)-X)=AAA/k/kArr所以。，匕线性无关.所以方程组Ax=0的基础解系所含解向量个数大于2.320,r(A)=3.因为A是三阶矩阵，所以Ax=0只1有零解，排除(A);-121(B)A=,r(A)=2.所以方程组Ax=0的基础解系所含解向量个数|112排除(B);1 02 0,r(A)=2.所以方程组Ax=0的基础解系所含解向量个数21排除(C);-10,r

5、(A)=1.所以方程组Ax=0的基础解系所含解向量个数20,(D)是答案.2.设，,是Ax=0的基础解系，则该方程组的基础解系还可以表成(A),4,的一个等阶向量组(B),4,上的一个等秩向量组(C)二一二：(C)二：二.二二.二(C)1,12,123(C)12,23,31解.由ki；+k2(：+匕)+k3(：+匕+匕)=0,得(%+k2+k3)。+(k2+k3)+k3=0.因为却，匕3是AX=0的基础解系，所以。，叁，之线性无关.于是k1-k2,k3=0#2+k3=0，所以ki=k2=k3=0,则，。+*,+S+J线性无关.它也可以k3=0是方程组的基础解系.(C)是答案.(A)不是答案.例

6、如，幺之和。，邑，二。+52等价，但匕，与，:+邑不是基础解系.3.n阶矩阵A可逆的充分必要条件是(A)任一行向量都是非零向量(B)任一列向量都是非零向量(C)Ax=b有解(D)当x00时，Ax#0,其中x=(%，Xn)T一_一一12解.X(A),(B):反例A=|,不可逆；12对于(C)假设A为nxn矩阵，A为A的增广矩阵.当r(A)=r(A)n时，Ax=b有无穷多解，但A不可逆；(D)是答案，证明如下：当x#0时，Ax=0,说明Ax=0只有零解.所以|A|。0,A存在.4 .设n元齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵A的秩为r,则Ax=0有非零解的充分必要条件是(A)r=n(B)r_n(C)r

7、n(D)rn解.(C)为答案.5 .设A为m父n矩阵，B为n父m矩阵，则线性方程组(AB)x=0(A)当nAm时仅有零解.(B)当nAm时必有非零解.(C)当mAn时仅有零解.(D)当mAn时必有非零解.解.因为AB矩阵为mxm方阵，所以未知数个数为m个.又因为r(AB)r(A)n,所以,当mAn时，r(AB)r(A)nm,即系数矩阵的秩小于未知数个数，所以方程组有非零解.(D)为答案.6 .设n阶矩阵A的伴随矩阵A*0,若,匕，,当是非齐次线性方程组Ax=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系(A)不存在(B)仅含一个非零解向量(C)含有二个线性无关解向量(D)含有三个线

8、性无关解向量n,r(A)=n解.因为r(A*)=1,r(A)=n-10,r(A)n-1因为A*#0,所以r(A)之n1；又因为&,匕，之，却是非齐次线T打T程组Ax=b的互不相等的解，所以Ax=b的解不唯一，所以r(A)n_1,所以r(A)=n_1.于是：基础解系所含解向量个数=n-r(A)=n-(n-1)=1(B)为答案.三.计算证明题XX15x212X33X4-111.求方程组一3x1+x2-4x3+2x4=-5的通解，并求满足方程组及条件x19x24x4=175x1+3x2+6x3-x4=-1的全部解.解.将条件方程与原方程组构成矩阵一1-52-3：11.一1-52-3:11-31-42

9、：-50-142-7：28*T-1-90-4170-142-7:28J536-1：-11028-414：561-52-3：11，1904：170-1427：280-142-7128TT-0000:00000:00000:0110000:0-i.条件方程与原方程组兼容，即加上条件后的方程组与原方程组有相同的通解；ii .r(A)=r(A)=2,方程组有解.齐次方程组的基础解系含解向量的个数为4-r(A)=2;iii.齐次方程的基础解系x19x24x4=0-14x22x3-7x4=0x2=0,x4=1得x1二一4,x3x2=1,x40得x1基础解系为：(T,0,7,1)T,(-9,1,7,0)2i

10、v.非齐次方程的通解：*x1+9x2+4x4=-17-14x22x37x4=282.设有线性方程组|x13x2x3=03x1+2x2+3x3=-1,问m,k为何值时,方程组有惟一解有无穷多令x3=0,x4=0得x1=1,x2=一2-11,91-41所以全部解为：-210+k1十k2707201011一x14x2mx3=k组解？有无穷多组解时，求出一般解.131解.323-14m0131_1T070k07m+101311t070k00m+1-1i.当m#_1时，(人)=r(A)=3,方程组有惟一解ii.当m=1,k#1时，r(A)r(A),方程组无解iii .当m=1,k=1时，r(A)=r(A

11、)=23,方程组有无穷多解.此时基础解系含解向量个数为3-r(A)=1x1+3x2+x3=0齐次方程组：，所以x2=0.7x2=0令x3=1,得x1=1.基础解系解向量为：(1,0,1)T.r非齐次方程组x1+3x2+x3=01,所以*2=.7x2=17人一3令x3=0,得x1=-.非齐次方程特斛为7通解为：3.问h为何值时，线性方程组x1x3-14x1+x2+2x3=九+2有解，并求出解的一般形式6x1+x2+4x3=2%+3J101，Ip101解.412九+2t012614：2人+301-2|1013九+2t01-2_4九+3000iii.当九十1=0,九=1时，r(A)=r(A)=2c3

12、,方程组有无穷多解.此时基础解系含解向量个数为3-r(A)=1齐次方程组x1+x3=0x22x3=0令x3=1,得x2=1,x1=0.基础解系解向量为：(1,2,1)T.非齐次方程组x1+x3=1x22x3=1令x3=0,通解为：(1,-1,0)T.4.已知3=(1,2,0),a2=(1,a+2,-3a),豆3=(T,b+2,a+2b)及P=(1,3,-3).i. a,b为何值时，阶能表示成ct1,ot2,%的线性组合ii. a,b为何值时，P有%,ot2,a3的惟一线性表示，并写出该表示式解.假设x10tl+x2a2+x30(3=P,求解方程组，求x1,x2,x3.11-12a+2b+2I。

13、-3aa+2b1-1ab4-3aa2b：1、a:1:力11-1：1t0ab+4：1即P不能表示成口1，口2，63的线性00a+5b+12：-3,i. a=0,b#-4时，r(A)=2r(A)=3,方程组无解组合；12a=0,b=-一时，r(A)=2=r(A),方程组有无否多解，即B有无否多种方法可表不成51,2,%的线性组合ii. a=0,a+5b+12=0时，r(A)=3=r(A),方程组有惟一解,即P能表示成ai,ct2,o(3x1x2-x3=1的线性组合，且表示法惟一.此时得方程组Jax2+(b+4)x3=1,(a+5b+12)x3=0，J口11一，、，11斛仔：x3=0,x2=,x1=

14、1,表不式为：目=(1)ot1Haaaa|x1ax2-x3x4=2Jx1x2x3x4=15 .知方程组2x1+x2+bx3+x4=4与x2+2x3-x4=212342342x12x23x3cx4=1x32x4-1同解，试确定a,b,c.解.在第二个方程组中求一组特解.令x3=1，解得x4=1,x2=1,x12,0,工3.0.将该组特解代入第一个方程组中得：a=2,b=4,c=4.xhx2-2x4-6(1)4x1一x2-x3-x4=13x1一x2x33Ix111mx2-x?x4-5(II)nx2-x3-2x4=-11x3-2x4=-t+1i.求解方程组（I）,用其导出组的基础解系表示通解；ii.

15、当方程组（II）中的参数m,n,t为何值时，方程组（I）与（II）同解.解.i.由第一个方程组：110-241113-1-106)110-21T05173,0416-625211102一6110-2：-617:17:T01,5T01,5555510-4-16：21j12:00-155J110-2:-6”110-2:-6、T051-7:-25T050-5:-20100-125100-1-25110-2：-6T010-11-4也0-12：5r（A）=r（A）=3,齐次方程基础解系所含解向量个数为：4r（A）=1.6 .已知下列非齐次线性方程组（I）、（II）x1-x2-2x4=0齐次方程组：x2-

16、x4=0.令x4=1,解得x3=2,x2=1,x1=1.44321-x3+2x4=0基础解系为：（1,1,2,1）T.x1x2-2x4=-6非齐次方程组：彳x2-x4=4.令x4=0,解彳导x3=-5,x2=口，x1=一2.-x3，2x4=5所以第一个方程组的通解为一-21-4“、一ii.将代入第二个方程组：5J一_|,2-4m5=-5m=24n+5=11n=4.-5=t+1t=67.设A是mxn矩阵，R是mxn矩阵，x=（x1,x2，xn）T,B是mxm矩阵，求证：若可逆且BA的行向量都是方程组Rx=0的解则A的每个行向量也都是该方程组的解.bn42-“m一aj解.假设B二b21b22b2m

17、,A=32m,其中6（i=1,2，m）为A的行向量bm1bm2bmmm_bnb12b1m11Ibb1mSmBAb21b22b2m2=b2111v9Fb2mmbm1brn2bmmm_bm114H-+bmm-_m因为BA的行向量都是方程组Rx=0的解，所以：r（biko（k）T=0,（i=1,2，m）.k3m所以：工bikRakT=0,（i=1,2，m）,即BIRotJ）=0,（i=1,2，m）.k土因为B可逆，所以RotJ=0,（i=1,2，m）.即A的每个行向量为Rx=0的解.8.A是n阶矩阵,且A#0.证明：存在一个n阶非零矩阵B,使AB=0的充分必要条件是|A|=0.解.必要性：（反证法）

18、反设|A|0,则A,存在.所以当AB=0时，二边右乘A,得B=0,和存在一个n阶非零矩阵B,使AB=0矛盾.所以|A|=0；充分性：设|A|=0,则方程组Ax=0有非零解x=（bi,b2,bn）.构造矩阵b100b200B=I-.aa.,qbn00则B#0,且AB=0.9.假设A是mxn阶矩阵，若对任意n维向量x,者B有Ax=0,则A=0.解.假设A=（1,二2，二n）5为A的列向量（i=1,2,，n）.取Pi=（0,，1,，0）T（i=1,2，n）,只有第i个分量为1,其余都为0.则APj=A1=3=0,（i=1,2，n）a所以A=0.一210.假设A=0Ax=b的通解.11a一11-1.如果“是方程组1Ax=b的一个解，试求.口、解.将刈=代入Ax=b1L1I得到1-ac-1=0,a=c.21120131Ja