高中数学必修四第三章三角恒等变换

1、必修四第三章：三角恒等变换【知识点梳理】：考点一：两角和、差的正、余弦、正切公式两角差的余弦：cos()coscossinsin两角和的余弦：coscoscossinsin两角和的正弦：sinsincoscossin两角差的正弦：sinsincoscossin两角和的正切：tantantan1tantan两角差的正切：tantantan1tantan注思：对于正切-k,2一12k,2k(kz).【典型例题讲解】：例题1.sin3-,是第四象限角,求sin,cos,tan一的值.5444例题2.利用和、差角余弦公式求cos75、cos15o的值.例题3.sin2,sin()=1,求那么35tan

2、的值.例题4,计算sin430cos13o-sin130cos43o的值等于()例题例题例题A.5.6.D.叵2sintan(sinsin0,coscoscos0,求cos()的值.tan()的值是47.如图,在平面直角坐标系xoy中,以ox轴为始边做两个锐角别与单位圆相交于AB两点,AB的横坐标分别为Y2,20105(1)求tan()的值;(2)求2的值.,它们的终边分例题8.设ABC中,tanAtanB3察/3tanAtanB,sinAcosA4形是三角形【稳固练习】练习1.求值(1)sin720cos42ocos720sin420；练习练习(2)cos200cos70osin200sin

3、70；2.sin450cos150cos2250sin15的值为(A)(B)C23.假设tan3,tan-3,那么tan(D.A.3练习4.为锐角,tansin,1010考点二：二倍角公式及其推论:在两角和的三角函数公式S,C,T中,当时,就可得到二倍角的三角函数公式S2,C2,T2sin2sinsincoscossin2sincos；cos2coscoscossinsin2cossin22.2cos2cossin1sin2sin212sin22.22cos2cossincos22,(1cos)2cos1.tan2tantantan2tanZ；21tantan1tan注意：2k,-kkz二倍角

4、公式不仅限于2a是a的二倍的形式,223其它如4a是2a的二倍,一是一的一倍,3是的二倍等等,要熟悉这多种形242式的两个角相对二倍关系,才能熟练地应用二倍角公式,这是灵活运用这些公式的关键.二倍角公式的推论升哥公式：1cos22cos2,1cos22sin22降帚公式：sincos-sin2；sin2【典型例题讲解】例题1.以下各式中,值为止的是()2A.2sin150cos15ob,8915C.2sin215o1d.sin215o例题2.sincos,且一35241cos221cos2；cos22sin215ocos215o那么cos2的值是例题3.化简cos10o?cos20?cos30

5、?cos400例题4.3sin7002cos210o1A.一2B2D.C.2dT例题5.0x一,化简:2lg(cosxtanx12sin2-)lg、2cos(x)lg(1sin2x).24例题6.假设一x一,那么函数ytan2xtan3x的最大值为42例题7.2tanA3tanB,求证:tan(AB)sin2B5cos2B【稳固练习】练习1.(cossin一)(cos+sin)=()12121212A.一史B.-2cos2sin5.证实2、,2sin(;)C.-D.史22222练习2.假设ABC的内角A满足sin2A,那么sinAcosA=()3A.153B.15C.D.一一、一3练习3.计算

6、cos?cos一551.2sin(2x)练习4.函数f(x)4-,cosx4(1)求f(x)的定义域；(2)设是第四象限的角,且tan=,求f()的值.练习1tan1tan3考点三：辅助角公式._2mn、ymsinancosa.mn(sinacosa)2222cosy(sinacos,那么1).mn,mn1cosasin)sin(a)222-mn【典型例题讲解】例题1.求函数ysinxJ3cosx的周期,最大值和最小值,单调区间,对称轴,对称中央,如何由y=sinx平移得到.例题2.函数f(x)2cos2xsin2x的最小值是222例题3.设函数f(x)(sinxcosx)2cosx(0)的最

7、小正周期为一3(I)求的值.(n)假设函数yg(x)的图像是由yf(x)的图像向右平移一个单2位长度得到,求yg(x)的单调增区间.例题4,函数f(x)=J3sin(x)cos(x)(00)为偶函数,且函数yf(x)图象的两相邻对称轴间的距离为-.2(I)求f(一)的值；8(n)将函数yf(x)的图象向右平移个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长6到原来的4倍,纵坐标不变,得到函数yg(x)的图象,求g(x)的单调递减区间.msin(x)sin(x).例题5,函数f(x)(1cotx)sin2x.一,、3(1)当m0时,求f(x)在区间-,上的取值范围;84,一3当tan2时,f()一,求

8、m的值.5【稳固练习】练习1.假设方程sinx73cosxc有实数解,那么c的取值范围是练习2,函数y3sinx4cosx5的最小正周期是(A.5B.2C.D.2练习3,假设函数f(x)(1百tanx)cosx,x,那么f(x)的最大值为2A.1B.c.3练习4.函数f(x)(1cos2x)sinx,xA、最小正周期为的奇函数B、最小正周期为的奇函数2C、最小正周期为的偶函数D、最小正周期为的偶函数2练习5,设函数f(x)sin()2cos2(I)求f(x)的最小正周期.yg(x)4(n)假设函数yg(x)与yf(x)的图像关于直线x1对称,求当x0,时3的最大值.【方法总结】：三角恒等变换的

9、基此题型三角式的化简、求值、证实是三角恒等变换的基此题型：1 .三角函数式的化简：(1)常用方法：直接应用公式进行降次、消项；切化弦,异名化同名,异角化同角；三角公式的逆用等.(2)化简要求：能求出值的应求出值；使三角函数种数尽量少；使项数尽量少;尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数.2 .三角函数的求值类型有三类：(1)给角求值：一般所给出的角都是非特殊角,要观察所给角与特殊角间的关系,利用三角变换消去非特殊角,转化为求特殊角的三角函数值问题；(2)给值求值：给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题的关键在于“变角,如(),2()()等,把所求角用含角的式子表

10、示,求解时要注意角的范围的讨论；(3)给值求角：实质上转化为“给值求值问题,由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角.3 .三角等式的证实：(1)三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征,通过三角恒等变换,应用化繁为简、左右同一等方法,使等式两端化“异为“同；(2)三角条件等式的证题思路是通过观察,发现条件和待证等式间的关系,采用代入法、消参法或分析法进行证实.三角函数的化简、证实、求值做题技巧总结O即首先观三角函数的化简、证实、计算的恒等变形的根本思路是：一角二名三结构察角与角之间的关系,注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系,通常“切

11、化弦；第三观察代数式的结构特点.根本的技巧有：1、巧变角(角与特殊角的变换、角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.如(2()(),)(),2()(),例题1、tan(、2,、1,、)-,tan()-,那么tan()的值是例题2、02的值,且cos(、1.,、2,-)-,sin(-)二,求cos(2923例题3、S,081,tan(1cos22,一,求tan(2)的值3例题4、求值:sln40(12cos40)T2一Z?2cos40cos401练习1.a(一,),3(0,一)cos(a)=,sln(+3?,求sln(小3)444八45413的值.练习2.求值：1c0s20si

12、n100(tan150tan50)2sin202、三角函数名互化(切化弦)例题1、求值sin50o(1J3tan10o)例题2、函数f(x)(1J3tanx)cosx的最小正周期为A.2B.3C.D2例题3、tan70cos10.3sin10tan702cos40练习1、化简:2cos212tan(一)sin2(44练习2、tan2,那么sin2sincos2cos24A.-55B.4C.D.3、公式变形使用(tantantan1mtantan.例题1、A、B为锐角,且满足tanAtanBtanAtanB1,贝Ucos(AB)=例题2、求值：tan200tan400.3tan200tan400

13、练习1、设ABC中,tanAtanBJ3形是三角形73tanAtanB,sinAcosA1cos2c4、三角函数次数的降升降哥公式：cos2cos一,sin2221cos22cos,1cos22sin.1cos22与升哥公式:2例题2、函数y2cosXsin2x的最小值是25广练习1、函数f(x)5sinxcosx5用cosx-J3(xR)的单调递增区间为2练习2、设函数f(x)cos(2x-)sin2x.求函数f(x)的最大值和最小正周期(2)设A,B,C为ABC的三个内角,假设cosB1,一,且C为锐角,求sinA.45、式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同,一1例题1、求证：一1s

14、in1tan一2;例题2、化简sin22sin2一2tan22sin2+coscos2cos2-cos22例题3、2tanA3tanB,求证：tan(AB)sin2B5cos2B练习1、O4o212cosx2cosx一化简：2-2tan(x)sin2(x)练习2、假设1tan2021,那么一tan2.1tancos2练习3、当021cos2x8sinx右x一时,函数f(x)的最小值为2sin2xA.2B.2.3C.4D.4.36、常值变换主要指1的变换1sin2xcoS2xtanxcotxtansinL等)4222例题1、tan2,求sinsincos3cos例题2、271sin8戊2cos8

15、等于A.2sin44cos4B.2sin44cos4C.2sin4()D.4cos42sin4练习1、1tan15o1tan15o练习2、1sin6等于(A)sin3+cos3(B)sin3cos3(C)sin3cos37、正余弦“三兄妹一sinxcosx、sinxcosx的内存联系(D)cos3sin3“知一求二例题1、假设sinxcosxt,那么sinxcosx例题2、假设0,sincos-2,求tan的值.1一练习1、sincos一,且一84一,贝Ucossin2练习2、sin22sin2一,试用k表示2sincos的值【课后作业】考点一：两角和、差的正、余弦、正切公式1. sin163

16、sin223+sin253sin313等于(A.-121B.-2C.-d.2. (cossin)(cos+sin)=12121212A.2B.C.D.)D.-73. C(一,),sin=3,那么tan()等于(254A.1B.7C.-1774.tan70cos10.3sin10tan702cos40=5.sin()coscos()sin3,那么cos2的值为56.tan(、2,、1,、)5,tan()4,那么tan()的值是7.,为锐角,sinx,cosy,cos(、3一,、一,)一,那么y与x的函数关系为5一“ah/冗Z冗z冗c/冗C8.化间sin(3x)cos(3x)cos鼠3x)sin(

17、-3x).9.sin3-,是第四象限角,求sin一54,cos,tan一的值.2.1.、10.sin(a+0=,sin(笫3)=,求tantan的值.11.sinsinsin0,coscoscos0,求cos()的值.12.函数f(x)Asin(x)(A0,0花),xR的最大值是1,其图像经过点冗1一,一32(1)求f(x)的解析式;(2),0,一,且2f()求f()的值.考点二：二倍角公式及其推论1.sin1一cos一,那么sin2的值为A.3C.2.sin4.-,sin5cosA.24B.123.2525C.D.2425sin(4x)那么sin2x的值为4.观察以下等式:cos2a=2co

18、s2a-1；Dcos4a=8cos4a-8cos2a+1;642,cos6a=32cosa-48cosa+18cosa-1;cos8a=128cos8a-256cos6a+160cos4a-32cos2a+1;cos10a=mcos10a-1280cos8a+1120cos6a+ncos4a+pcos2a-1.可以推测,m-n+p=.5.a为锐角,化简sin2cossin的值.sin2cos26.求值:1cos2002sin200sin100(tan150tan50)21tan1tan2cossin17 .证实.2、10.0,且cos(1)一,sin(一)一,求cos()的2923、.2sin

19、(4)一一一18 .tan2一,求tan的值.3一-1.10一9 .,为锐角,tan,sin,求211.tan一=2,求(1)tan(一的值;43sin6sincos的值.2cos12.设函数f(x)=2sin2xcos一2cosxsinsinx(0在x处取最小值.(1)求的值;ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,a1,b3.V2,f(A),求角C.213.(一,),且sincos一2222、33cos的值;(n)假设sin(0,一),求sin的值.22.假设函数f(x)(173tanx)cosx,0x一,那么f(x)的最大值为2A.1B.2C.31D.323.求值：312sin202cos202-64sin201.2sin(2x)14.函数f(x)4-cosx4(1)求f(x)的定义域；(2)设是第四象限的角,且tan,求()的值.3考点三：辅助角公式1.函数f(x)点sinxcosx(0),yf(x)的图像与直线y2