3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

1、3.2.3 3.2.3 导数的四则运算法则导数的四则运算法则学习目标：学习目标：1.理解两函数的和理解两函数的和(或差或差)的导数法则，的导数法则， 会求一些函数的导数会求一些函数的导数2.理解两函数的积（或商）的导数法则，理解两函数的积（或商）的导数法则， 会求一些函数的导数会求一些函数的导数 3.会求一些简单复合函数的导数会求一些简单复合函数的导数.教学重点：教学重点： 导数公式和导数的四则运算法则。导数公式和导数的四则运算法则。教学难点：教学难点： 灵活地运用导数的四则运算法则进灵活地运用导数的四则运算法则进行相关计算行相关计算 教学重难点教学重难点知识链接知识链接基本初等函数的导数公式

2、基本初等函数的导数公式 法则法则 1如果如果 u=u(x)、 v =v( (x) ) 都是都是 x 的可导的可导函数函数 ，则，则 y=u v 也是也是 x 的可导函数的可导函数 ，且，且y =(u v) = u v 一、函数和一、函数和( (或差或差) )的导数的导数u (x + + x) - - u(x) = u， 证证 当当 x 取得增量取得增量 x 时，函数时，函数 u、v 和和 y=u v 分别取得增量分别取得增量 u、 v 和和 y . 因为因为即即u (x + + x) = u(x) + + u，课前预习：课前预习：同理有同理有v (x + + x) = v(x) + + v .

3、 y = u(x + x)v(x + x) - - u(x) v(x) = (u+ u) (v + v) - - ( uv) = u v .因此因此所以所以,xvxuxy xvxuxyyxx00limlim,limlim00vuxvxuxx 即即(u v) = u v 这个法则可以推广到有限个可导函数的和这个法则可以推广到有限个可导函数的和的情形的情形, ,即即.)(2121nnuuuuuu 例例 1求函数求函数的导数的导数.3sin12 - - xxyx解解)3sin12( - - xxyx)3()(sin)1()2( - - xxx. .coscoslnlnx xx xx x+1+22=2

4、二、函数积的导数二、函数积的导数 法则法则 2如果如果 u=u(x)、 v =v( (x) ) 都是都是 x 的的可导函数可导函数 ，则，则 y=uv 也是也是 x 的可导函数的可导函数 ，且，且y =(uv) = u v + + uv ( (证明方法同法则证明方法同法则1,1,故证明从略故证明从略.).)推论推论 1 这个法则可以推广到有限个可导函数积的这个法则可以推广到有限个可导函数积的情形情形, ,例如例如(uvw) = u vw + + uv w + + uvw .(cu(x) = cu (x) (c 为常数为常数).例例 2设设 求求解解根据乘法法则根据乘法法则，有，有),11)(1

5、()(22xxxf- - ).1(f )11)(1()11()1()(2222 - - - - xxxxxf3222)1()11(2xxxx - - 322xx 所以所以. 4)1( f推论推论 221vvv -)0(2 - - vvvuvuvuy三、函数商的导数三、函数商的导数 法则法则 3设设 u=u(x)、v =v( (x) ) 都是都是 x 的可导的可导函数函数, 且且v 0, 则则( (证明方法同法则证明方法同法则1,1,故证明从略故证明从略.).)vuy 也是也是 x 的可导函数的可导函数, ,且且( (c为常数为常数) )解解根据除法法则，有根据除法法则，有2)()()()(xa

6、xaxaxaxay - - - - - 例例3 设函数设函数 ,xaxay - - 求求 y . 2)()()(xaxaxa - - - - - .)(22xaa - - 例例 4 设设 函数函数 y = tan x，求求 y . xxxycossin)(tanxxxxx2cos)(cossincos)(sin - - .seccos1cossincos22222xxxxx 即即同理可得同理可得(tan x) = = sec2x .(cot x) = = - - csc2x .解解练习练习 设设 y = sec x，求求 y .解解根据推论根据推论 2，有，有 xxycos1)(sec.sec

7、tancossin2xxxx 即即同理可得同理可得(sec x) = = sec x tan x .(csc x) = = - - csc x cot x .xx2cos)(cos - - 定理定理 设函数设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导均可导，则复合函数则复合函数 y = f ( (x) 也可导也可导.且且( )( )xyf ux，xuxuyy 或或四、复合函数的求导法则四、复合函数的求导法则即：即：因变量对自变量求导因变量对自变量求导, ,等于因变量对中间变等于因变量对中间变量求导量求导, ,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导. ( . ( 链式法链式法则

8、则 ) ) xuuyxyxx00limlimxuuyxx 00limlim，xuxuuyxuuy 00limlim.xuxuyy 即即证证设变量设变量 x 有增量有增量 x，. 0lim0 ux所以所以由于由于 u 可导，可导， 相应地变量相应地变量 u 有有增量增量 u，从而从而 y 有增量有增量 y.例例5：求：求xy2sin的导数的导数分析：分析：解解1：(sin 2)(2 sinc o s)yxxxx )sinsincos(cos2xxxx-解解2：xy2sin可由y=sinu,u=2x复合而成2,cosxuuuyxuuyxy=2cos2xxuxuuy2cos2cos2.x2cos2x

9、xxx2cos)2(sincos)(sin?练习练习设设 y = (2x + + 1 1)5，求，求 y .解解把把 2x + + 1 看成中间变量看成中间变量 u，y = u5，u = 2x + + 1复合而成，复合而成，,5)(45uuyu . 2)12( xux所以所以.)12(102544 xuuyyxux将将 y = (2x + + 1)5 看成是由看成是由由于由于例例 6设设 y = sin2 x，求，求 y .解解这个函数可以看成是这个函数可以看成是 y = sin x sin x, 可利可利用乘法的导数公式，用乘法的导数公式，将将 y = sin2 x 看成是由看成是由 y =

10、 u2，u = sin x 复合而成复合而成. 而而,2)(2uuyu .cos)(sinxxux 所以所以.cossin2cos2xxxuuyyxux 这里，这里， 我们用复合函数求导法我们用复合函数求导法.求求 y .,12xy- - 设设解解将中间变量将中间变量 u = 1 - - x2 记在脑子中记在脑子中.211() .22 (1)uyuux - -也也在在心心中中运运算算这样可以直接写出下式这样可以直接写出下式221(1)2 (1)xxyxx - -.12xx- - - 例例 7达标练习达标练习5 5.设设 f (x) = sinx2 ，求，求 f (x).解解22( )cos()xfxxx22 cosxx ).0()()3()()2()()