数学毕业论文---数形结合在初等数学解题中的应用

1、数形结合在初等数学解题中的应用学生姓名：马文静指导教师：郝建华引言：数形结合是中学数学中重要的思想方法之一,是数学的本质特征.华罗庚先生曾指出：数缺形时少直观,形少数时难入微；数形结合百般好,隔裂分家万事非.就代数本身而言,缺乏直观性,就几何本身而言,缺乏严密性.只有将二者有机地结合起来,互相取长补短,才能突破思维的限制,加快数学的开展.法国数学家拉格朗日所指出的“只要代数同几何分道扬镶,它们的进展就缓慢,它们的应用就狭窄,但是当两门科学结合成伴侣时,它们就相互吸取新鲜的活力,从那以后,就以快速的步伐走向完善.在解决数学问题时,将抽象的数学语言同直观的图形相结合,实现抽象的概念与具体形象的联系

2、和转化,使数与形的信息相互渗透,可以开拓我们的解题思路,使许多数学问题简单化.一、利用数形结合思想解代数问题借助图形直观地研究数学问题,不仅可以加深对数量关系的理解,而且还可以简化运算过程.一利用数形结合思想解决方程问题1.利用二次函数的图像解决一元二次方程根的分布情况问题利用函数y=fx的图象直观解决问题.例1:a为何值时,方程2a2x22ax1a20的两根在-1,1之内图1分析：显然a2w0,我们可从方程联想到相应的二次函数,要使抛物线与x轴的两个2a2x22ax1a20的草图,从图像上我们可以看出2即a10Ja120交点在(-1,1)之间,必须满足条件:阿)>01|f(2)0f(1

3、)>02.2从而可解得a的取值氾围为a?-1或a0且aw±1.例2:如果方程x22axk0的两个实根在方程x22axa40的两实根之问,试求a与k应满足的关系式.心;卜卜I图2.一22分析：我们可联想对应的二次函数yx2axk,y2x2axa4的草图.这两个函数图像都是开口向上,形状相同且有公共对称轴的抛物线(如图2).要使方程x22axk0的两实根在方程x22axa40的两实根之间,那么对应的函数图像与x轴的交点应在函数图像y2与x轴的交点之内,它等价于抛物线y1的顶点纵坐标不大于零且大于抛物线y2的顶点纵坐标.由配方法可知y1与y2的22顶点分别为：P(a,ak),p2(a

4、,aa4).故a2a4a2k0.故可求出a与k满足的关系式为：a4ka2.2.利用函数图像解决方程的近似解或解的个数问题通过构造函数,把求方程解的问题,转化为两函数图像的交点问题.例3:解方程3x2x.图3分析：由方程两边的表达式我们可以联想起函数y32x60解得xi2,x23,知该抛物线与x轴交点横坐标为-2,3,当x取交点两侧的值时,即x<-2或x>3时,y>0.即x2x60.故可得不等式2xx60的解集为:x|x<-2或x>3.2.利用三角函数的图像解不等式通过构造函数,把不等式问题转化为两个函数图像的关系问题.如：例5:解不等式|cosx|>|sin

5、x|,x0,2兀.与y=2-x,作出这两个函数的图像,这两个函数图像交点的横坐标为方程的近似解,可以看出方程的近似解为x=0.4.二利用数形结合思想解决不等式的证实和求解问题1.利用二次函数的图像求一元二次不等式的解集求一元二次不等式的解集时,只要联想对应的二次函数的图像,确定抛物线的开口方向和与x轴的交点情况,便可直观地看出所求不等式的解集.例4:解不等式x2x60.图4分析：我们可先联想对应的二次函数y2xx6的图像见图4.从分析：不等式两边的表达式我们可以看成两个函数yi=|cosx|,y2=|sinx|.在0,2冗上作出它们的图像(图5),得到四个不同的交点,横坐标分别为：-,/Y彳,

6、而当x在区间0,-),(?+),(彳,2九内时,y1=|cosx|的图像都在y2=|sinx|的图像上方.所以可得到原不等式的解集为：0<x<I或彳<x<彳或彳"02冗.3.利用单位圆中的有向线段解决三角不等式问题在教材中利用单位圆的有向线段表示角的正弦线,余弦线,正切线,并利用三角函数线可作出对应三角函数的图像.如果能利用单位圆中的有向线段表示三角函数线,应用它解决三角不等式问题,简便易行.1例6:解不等式sinx>£.图6分析：由于正弦线在单位圆中是用方向平行于y轴的有向线段来表示.我们先在y11轴上取一点P,使OP=鼻恰好表示角x的正弦线

7、sinx=",过点P作x轴的平行线交单位圆于点P1,P如图6,在0RQP2分别对应于角711至,£这时所对应的正弦值恰好为办而要求sinx>-的解集,只需将弦PP2向上平移,使OP1,0P2重合也即点P向上平移至与单位圆交点处.这样0Pi,op2所扫过的范围即为所求的角.原不等式的解集为:x|2k兀-6<x<2ktt+7-y,kcz.4.利用三角形的二边和大于第三边关系和余弦定理证实不等式对于有些不等式证实,可造图形,使之与三角形的三边相联系,利用三角形的二边之和大于第三边来证.例7:已知x1,x2,y1,y2,均为实数,求证：Kx22y1y22,Xi2v

8、；x22v/证实：如图由刈引岱山确定点M1(.%)和M2(X2,y2)那么|M1M2|=,、；(x1x2)(y1y2)|0M11+|OM21=.X12y：.X22y22在M1OM2中.M1M2|W|0M1|+|0M2|.(X1X2)2(V1V2)2-X12V12X22V22例8:x,y,z均为正数.求证：Jx2xyy2xxxzz2Jy2zyz2图8分析：结论表述的内容与“三角形两边之和大于第三条边相似,而被开方数可以看成是余弦定理的结果,这样可以“数转化为“形来求解.构造图形如下图,2作射线OA,OB,OC®得/AOBWBOC=COAq,分别取线段OA=x,OB=y,OC=zg接AB

9、,BC,AC得到ABCMAB=7x2xyy2,BC=Jy2zyz2,AC=Jx2xzz2那么在ABC中有AB+AC>BC,论成立.5.利用圆上点到直线的距离关系证实不等式对于有些条件不等式证实,可与圆和直线联系起来,证题过程能简化.<1.2.2.22.、例9:设a、b、x、y都是头数,且ab1,xy1,求证：|ax+by|图9证实：如图(9),设直线ax+by=0由于x2y21是以原点为圆心,1为半径的圆,且a2b21.二点(a、b)在圆上22所以|ax+by|是圆xy1上所有的点到直线ax+by=0的距离,由图可知|ax+by|<1.|ax+by|<16.利用圆与直线

10、上点的位置关系解不等式对于有些解不等式的问题,可与圆和直线上的点的位置相联系,能较容易解决例10:求不等式FV2xaaW0的解.图10图11解:令yiJa2x2,y22xa分别作出图象,n是以原点为圆心,以|a|为半径的圆的上半局部%>0;丫2是斜率为2,y轴上截距为a的直线,分a>0及a<0两种情况讨论.设直线与半圆交点为P,其横坐标为x1假设a>0,见图10那么x1=0.因此须当-a<x<0时,才有y1y2假设a<0,见图11那么须当a<x<x1时,才有小丫20故求出x1即可44.由Max2xa变形x(5x+4a)=0,有x=0或x=5

11、a因x1>0,应取x1=5ao4综上,此题的解为a>0时,-a<x<0,a<0时,a&x<ga三利用数形结合思想解决函数值大小比拟问题一些数值大小的比拟,我们可转化为对应函数的函数值,利用它们图像的直观性进行比拟.例11:试判断0.32,log20.3,20.3三个数间的大小顺序分析：这三个数我们可以看成三个函数：yx2,y2log2x,y32*在乂=0.3时,对应的函数值,在同一坐标系内作出这三个函数的图像(如图12),从图像可以直观地看出当x=0.3时,所对应的三个点Pi,P2,F3的位置,从而可得出结论：20.30.3210g20.3.例12:

12、对每个实数X,设f(x)取4x+1,x+2,-2x+4中的最小值,那么f(x)最大值是多少？图13分析与解答：此题就其本身而言,是一个纯粹的代数问题.假设不采用数形结合的方法,而采用一般的方法,需要通过比拟4x+1,x+2,-2x+4的大小,将分段地表示出来,然后求每一段的最大值,工作量很大.如果我们采用数形结合的方法,就容易对得多.如图：函数y=f(x)的图像是图中的实线,函数y=f(x)的最大值对应图上A点的纵坐标,由图可见A点是直线y=x+2和y=-2x+4的交点,联立y=x+2,y=-2x+4解得x=T,y=7所以f(x)的最大值是7.333(四)利用数形结合思想解决集合问题1.利用文

13、氏图解决集合之间的关系问题利用文氏图解决集合之间的关系问题一般用圆来表示集合,两圆相交那么表示两集合有公共元素,两圆相离那么表示两个集合没有公共元素.利用文氏图能直观地解答有关集合之间的关系的问题.例13：有48名学生,每人至少参加一个活动小组,参加数理化小组的人数分别为28,25,15,同时参加数理小组的8人,同时参加数化小组的6人,同时参加理化小组的7人,问同时参加数理化小组的有多少人？图14分析：我们可用圆ABC分别表示参加数理化小组的人数(如图14),那么三圆的公共局部正好表示同时参加数理化小组的人数.用n表示集合的元素,那么有：n(A)+n(B)+n(C)-n(AnB)-n(AnC)

14、-n(BnC)+n(AABAC)=48即:28+25+15-8-6-7+n(AnBAC)=48.n(AnBnC)=1,即同时参加数理化小组的有1人.2.利用数轴解决集合的有关问题例14:己知集合A=x|-1<x<3,B=x|a<x<3a,(aR)假设AB,求a的范围.假设BA,求a的范围.图16HI,.I:11Sa-133a图15分析：先在数轴上表示出集合A的范围,要使AB,由包含关系可知集合B应该覆盖集合A,从而有：.Ja0-113a>3.这时a的值不可能存在.要使BA,当a>0时集合A应该覆盖集合B,应有fa>-113a03a>0.成立,即0

15、<a&1.当a=0时,B=,显然BA成立.故BA时的取值范围为:0wa01.(五)构造辅助图形,解答某些代数综合题例15:求证：后b"觉d2J(ac)2(bd)2(a与c、b与d不同时相分析：考察不等号两边,其形式类同平面上两点间距离公式.在平面直角坐标系中设A(a,b),B(c,d),O(0,0)如图17.|AB|="(ac)2(bd)2,|AO|=Ja2b2,|BO|二Jc2d2,当A、B、O三点不共线时,|AB|<|AO|+|BO|.当A、B、.三点共线,且A、B在.点同侧时,|AB|<|AO|+|BO|.当A、B.三点共线,且A、B在O点异

16、侧时,或A、B之一与原点O重合时,|AB|=|AO|+|BO|.综上可证a2b2-c2d2,(ac)2(bd)2.例16:求y&24x5Jx22x10的最小值,并求出相应的值.图18分析：将上式根号内的式子整理.得yJ(x2)2(01)2J(x1)2(03)2,将所求最小值看成点A(x,0)至ijB(-2,1)和C(1,3)的距离最短的问题.即在x轴上求一点A,使得BA|AC|的值最小.如图,由于B,C在x轴的同侧,作出点c关于x轴的对称点C'(1,-3),那么B,A,C'三点共线时BA|AC|最短,此时BA|AC|BC',利用两点间距离公式得|BC'J

17、(21)2(13)2J3425,利用两点式可写出直线BC方程55为:4x+3y+5=0,令y=0,得x=-,故当x=-时ymin=5.我们还可以将此解题方法进一步延伸求解形如yJ(xa)2(yb)2的函数极值问题,如：求函数f(x,y)&_4x4y8y2&_2y1,的最小值,并问此时x应取怎样的实数值？很显然,将上式变形后f(x,y)7(x2)2(y2)2&(y1)2,此时很容易看出,极值的几何意义十清楚显,f(x,y)表示动点P(x,y)到两点A(0,1),B(2,-2)距离和的最小值,显然P必在这两点A,B的连线段上.sinx3例17:求函数yMOY2的最大值和最小

18、值.COSx2分析：从外表上看这是求“数的最值,但无法作出其函数图像.从函数的角度思考难度相当大,但如果联想到“两点连线的斜率那么就可以将其转化为“形来求解了.,2,2,如图,令y'=sinx,x=cosx,那么xy1,于是在坐标系xoy中单包圆2 2xy,1上的M与点P(-2,3)的连线斜率就是原函数的值.当MPW.O'相切时,斜率取最小值,因而使原点到直线MP:y'-3=k(x'+2)的距离为1的值的就是原函2k3数中y的值,从而需解方程比k2=1,就可以得值：62,362.3ymax二,ymin二3 3.此题还可以从另外一个角度入手,仍然利用数形结合的方法

19、考虑.令x=2+cosxy=sinx-3那么有(x2)2(y3)21问题转化为求圆的点与原点连线的斜率k!x的最大值和最小值,显然直线Y=kX与圆相切时k有最值,将Y=kX带入圆22(x2)(y3)1令判别式等于零,可求出k,结合图形可知,仍可得出上面的答案.二、利用数形结合解几何问题有些较难的几何证实题,学生看到后往往眼花缭乱,无从下手,此时假设借助于代数的方法,可较快地寻求到解题途径.例18:如图20,过正方形ABCD勺顶点C任作一直线与AB,AD的延长线分别交于E,F.求证:AE+AF-4AB分析：这是“形的问题,但要直接从“形入手很棘手.引导学生将结论变为(AEAF)24AB(AEAF

20、)0,从此式形式上看,联想起一元二次方程根的判别式,从而把“形的问题转化成“数的问题来解决.证：设AB=a,AE=m,AF=n.连结AC,那么SAEFSAECSAFC,即m,n是方程x2pxap0的21B,而m,n为实数,故=p24ap>0,又p>0,所以p>4a,即AE+A*4AB于是这个较难的问题也就容易解决了.例19:如图21所示,圆O的三条弦PP1,RR1QQ1两两相交,交点分别为A,B,C,且AP=BQ=CRAR1=BP1=CQ求证：ABCJ正三角形.图21解析：如图21所示,设BC=xCA=yAB=z,AP=BQ=CR=nAR1=BP1=CQ1=由相交弦定理列出方

21、程组有m(x+n)=n(z+n),化简得,mx=nz4m(y+n)=n(x+n),my4nx,m(z+n)=n(y+m).mz=ny.上述三式对应相力口,得m(x+y+z)=n(x+y+z),即m=n.由m=n可推出x=y=z,所以ABg正三角形.例20:在棱长为1的正方体ABCB-AB1C1D1中,E、F分别为DD、DB的中点,G1c在棱CD上,CG=CD,H是C1G的中点.(1)求证：EF±C£；(2)求EF与C£所成角的余弦值;(3)求FH的长.图22解析：取顶点D为坐标原点O,建立如图22所示的空间直角坐标系O-xyz.依题意111有e(0,0,2),f(

22、2,2,0),c(0,1,0),B1(1,1,1),C1(0,1,1),3G(0,4,0).11111(1) .EF=(2,5,0)-(0,0,-)=(2,-,111-(1,1,1)=(-1,0,-1),EFB1C=(2,2,-a)EF±B1c.EF±B1C.31(2) VC1G=(0,-,0)-(0,1,1)=(0,-4,-1),12),B1C=(0,1,0)11(-1,0,-1)=-2+0+2=011-2).(0,-4,-1113J3=0-8+5=85ef=,c1G17cos<EF,C1G>=EFEF?C1G38.3、17245117故EF与C1G所成角的余弦值为511771711(3)vH是c1G的中点,；H点的坐标为(0,-).FH=(0,->-)-(,82822113112/3212/41/412,0)=(-2,3,2)lFH=FH=V(2)(8)(2)二两,故FH的长为飞一.三、结论总之,正确理解“数与“形的相对性,使之有机地结合起来,掌握好度,对顺利解题很有好处.经验告诉我们,当寻找解题思路发生困难时,不妨用数形结合的观