双曲线二级结论大全

1、双曲线1.PFiPF22x2a2.标准方程-ya2L1b23.PFid14 .点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的内角5 .PT平分PF1F2在点P处的内角,那么焦点在直线的圆,除去实轴的两个端点.PT上的射影H点的轨迹是以实轴为直径6 .以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.7 .以焦点半径PE为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切8 .设P为双曲线上一点,那么4PF1F2的内切圆必切于与P在同侧白顶点.29 .双曲线与a2y21(a>0,b>0)的两个顶点为A(ba,0),4(a,0),与y轴平行的直2x线交双曲线于R、P2时A1P1与AaP2交点的轨迹万程是a2匕1b2.2

2、.4x10 .假设P0(x0,y0)在双曲线-Ta2r1b2(a>0,b>0)上,那么过F0的双曲线的切线方程是%xy°y-2,21.ab2x11右P0(xO,y0)在双曲线2a2r1b2(a>0,b>0)外,那么过Po作双曲线的两条切线切点为Pi、P2,那么切点弦PiP2的直线方程是212.AB是双曲线xya2yb21(a>0,b>0)的不平行于对称轴且过原点的弦,M为AB的中b2八、,人kOMkAB_2.a13.假设P0(%,y.)在双曲线2yb21(a>0,b>0)内,那么被Po所平分的中点弦的方程是曾a2y°yx0b2

3、2y.b214.假设P0(%,y.)在双曲线2yb21(a>0,b>0)内,那么过Po的弦中点的轨迹方程是2x2ay2b2X0Xy°yb2PQ是双曲2yb20)上对中央张直角的弦,那么Ax12r2:(,1b2|OP|,r2|OQ|).b2>a>0)上中央张直角的弦L所在直线方程为1By1(AB0),那么(1)ab2c4n2,42a22.2、aAbBAB；(2)L2222.|aAbB|a2b2、一aaaaaaaaaaabo17.给te双曲线C1：bxayab(a>b>0),C2：bxay(2ab),ab那么(i)对C1上任意给定的点P(x0,y0),

4、它的任一直角弦必须经过C2上一定点2,22,2abab、M(2x0,2TTy0),abab(ii)XC2上任一点P(x0,y°)在孰上存在唯一的点M,使得M的任一直角弦都经过P点.22xy18.设P(x0,y0)为双曲线2y1(a>0,b>0)上一点,P1P2为曲线C的动弦,且弦PP,abPP2斜率存在,记为k1,k2,那么直线PR通过定点M(mx0,my0)(m1)的充要条件是.1mb2kk2-2.1 ma2 2xy19.过双曲线J1(a>0,b>o)上任一点A(x0,y°)任意作两条倾斜角互补的直线ab交双曲线于B,C两点,那么直线BC有定向且k

5、BCb2x0a2y0(常数)22xy20.双曲线22-1(a>0,b>o)的左右焦点分别为abF1,F2,点P为双曲线上任意一点F1PF2那么双曲线的焦点角形的面积为SF1PF2b2cot2a2,2.2P(°cbcotc.2,、小x221.假设P为双曲线-yab21、cot-).c22yy1(a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任一点b2,F1,F2是焦点,PF1F2、小x222.双曲线xyacaca,PF2F1,贝Utan-cot一(或tan一cot一ca22ca22241(a>0,b>.)的焦半径公式：F(c,0),F2(c,0)b2当M(

6、x0,y°)在右支上时,|MFJex,a,IMF2|e?a.当M(x0,y°)在左支上时,|MFJex,a,|MF21ex0a.2223.假设双曲线与41(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,那么当1ab<e<J21时,可在双曲线上求一点P,使彳导PF1是P到对应准线距离&与PF2的比例中项2224 .P为双曲线41(a>0,b>0)上任一点,F1,F2为二焦点,A为双曲线左支内一ab定点,那么|AF2|2a|PA|PF1|,当且仅当A,F2,P三点共线且P在左支时,等号成立x2y2.1.,25 .双曲线22

7、-1(a>0,b>0)上存在两点关于直线l:yk(xx0)对称的充要条ab/2.2.2件是x02(a2b)2k0且k-.a2b2k2b26 .过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,那么相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27 .过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,半径互相垂直.那么该点与焦点的连线必与焦28 .P是双曲线条件是e2xasec(a>0,b>0)上一点,那么点ybtan1P对双曲线两焦点张直角的充要29.1tan22设A,B为双曲线XTa2y-2-k(a>0,b>0,k0,kb1)上两点,其直线AB与双曲线

8、2X2a30.在双曲线22xy2,2ab22xy/b21中,定长为2m(macoshtbsinht31.0)的弦中点轨迹方程为,cotht2xbx'0时t0,弦两端点在两支上2yb2设S为双曲线支上移(X0)minasinhtbcosht,cothtbx,yay0时t0,弦两端点在同支上2y_b21(a>0,b>0)的通径,定长线段L的两端点A,B在双曲线右动,记|AB|=l,M(x0>y0)是AB中点,S时,有32.双曲线22_2Aa2B2b2Xa21/2(c2e2yb2c2.b2,ec一);当laS时,有(X0)min33.双曲线(xx

9、.)2要条彳是A2a2x34 .设双曲线aB2b22yb21(a>0,b(yy°)2b2(AX0>0)与直线AxBy1(a>0,b>0)与直线By.C)2.1(a>0,b>0)的两个焦点为F1、上任意一点,在PF1F2中,记F1PF2sin(sinsin)35 .经过双曲线AxF2,PPF1F20有公共点的充要条件是ByC0有公共点的充(异于长轴端点)为双曲线F1F2P,那么有ce.a22xy一221(a>0,b>0)的头轴的两漏点A和A2的切线,与双曲线上任ab一点的切线相交于Pi和P2,那么|P|A|P2A21b2.2236.双曲线

10、Xy与ab1122|OP|OQ|21(b>a>0),O为坐标原点,P、Q为双曲线上两动点,且OPOQ.22114ab一一;(2)|OP|+|OQ|的取小值为22；(3)SOPQ的取小22abba2y、一匕1相交于P,Q,那么APBQ.b22,2ab值是-22,ba37.MN经过双曲线2y_b21(a>0,b>0)过焦点的任一弦(交于两支),假设AB是经过双曲线中央O且平行于MN的弦,那么|AB|22a|MN|.2238.MNUb经过双曲线一-21(a>b>0)焦点的任ab弦(交于同支),假设过双曲线中央的半弦OPMN,那么品111-2-2-2|OP|b2a2

11、2239 .设双曲线xy1(a>0,b>0)ab点,过M引一条直线与双曲线相交于P、,M(m,o)为实轴所在直线上除中央,顶点外的任一Q两点,那么直线AP、AQ(A1,A为两顶点)的交点N2在直线l：xa-上.m40 .设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点,A为双曲线长轴上一个顶点,连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于MN两点,那么MFLNF.41 .过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,A、A为双曲线实轴上的顶点,AP和AaQ交于点M,A2P和AQ交于点N,那么MFLNF.2242 .设双曲线方程与乌ab1,那么斜率为k(k半0)的平行弦的中点必在直线

12、l：ykx的共辆直线y43 .设A、分别为''bkx上,而且kk2-.a22BCD为双曲线2-y1ab(a>0,b>o)上四点,AB、CD所在直线的倾斜角直线AB与CD相交于P,且P不在双曲线上,那么|PA|PB|b2cosa2sin2_2222.|PC|PD|bcosasin22xy44 .双曲线=J1(a>0,b>0),点P为其上一点F1,F2为双曲线的焦点,F1PF2ab的内(外)角平分线为l,作F1、F2分别垂直l于R、S,当P跑遍整个双曲线时,RS形成的轨迹方程是x2y2a2(c2y245 .设ABC三顶点分别在双曲线2).xc上,且AB为的直

13、径,l为AB的共轲直径所在的直线,l分别交直线AGBC于E和F,又D为l上一点,那么CD与双曲线相切的充要条件是D为EF的中点.2246 .过双曲线.纭1(a>0,b>0)的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点,ab弦MN的垂直平分线交x轴于巳那么LPF-2x47 .设A(x1,y1)双曲线a直线L,又设d是原点到直线|MN|22*1(a>0,b>0)上任一点,过A作一条斜率为b2b2x12aV1L的距离,1,也分别是A到双曲线两焦点的距离,那么jr2dab.48 .双曲线它们相交于A、49 .双曲线2xaB、C2xa22y/,rx21(a>0,b>0

14、)和一baD四点,那么AB=|CD.2y线与x轴相交于点P(x0,0)50.2设P点是双曲线与a51.2y1),一条直线顺次与(a>0,b>0),A、B是双曲线上的两点,线段22ab一那么x°或x°a2I1(a>0,b>0)上异于实轴端点的任一点b22b2一F1PF2,贝U(1)|PF1|PF21cos.(2)SPF1F2设过双曲线的实轴上一点B(m,o)作直线与双曲线相交于b2cot.2P、Q两点,的左顶点,连结AP和AB的垂直平分,F1、F2为其焦点A为双曲线实轴MBN90°am252.L是经过双曲线与aAQ分别交相应于过22anmb2

15、(na)2B点的直线MNM,N两点,那么2yb21(a>0,b>0)焦点F且与实轴垂直的直线,B是双曲线的两个顶点,e是离心率,点PL,假设APB,一-一1,那么是锐角且sin1或e.1arcsine(当且仅当|PF|b时取等号)221(a>0,b>0)的实轴顶点A且与x轴垂直的直线,E、F53. L是经过双曲线二与a2b2是双曲线的准线与x轴交点,点PL,e是离心率,EPF,H是L与X轴的交点c11ab是半焦距,那么是锐角且sin或arcsin-(当且仅当|PA|时取等号).eec2254. L是双曲线冬冬1(a>0,b>0)焦点F1且与x轴垂直的直线,E

16、、F是双曲线准ab线与x轴交点,H是L与x轴的交点,点PL,EPF,离心率为e,半焦距为c,那么1.1b-212一.一为锐角且sin或arcsin(当且仅当|PF1|-yac时取等号).eec2255.双曲线与1(a>0,b>0),直线L通过其右焦点F2,且与双曲线右支交于AabB两点,将AB与双曲线左焦点轴时取等号).F1连结起来,那么|F1A|F1B|(2a2b2)22a(当且仅当AB±x56 .设A、PAB|PA|57 .设A、22B是双曲线、y2-1(a>0,b>0)的长轴两端点,P是双曲线上的一点,a2b2,PBA,BPA,c、e分别是双曲线的半焦距

17、离心率,那么有2ab21cos|22a2b2222.化)tantan1e.(3)SPAB-2cot|accos|ba22B是双曲线与y-r1(a>0,b>0)实轴上分别位于双曲线一支内(含焦点的a2b2区域、外部的两点,且支相交于P、Q两点,那么XA、XB的横坐标XAXb2a,1假设过A点引直线与双曲线这一两点,那么PBAQBA258.设A、B是双曲线与aPBAQBA；2假设过B引直线与双曲线这一支相交于180o.2与1a>0,b>0实轴上分别位于双曲线一支内含焦点的b2P、Q区域,外部的两点,1假设过A点引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点,假设BP交双曲线这一支于两

18、点,那么P、Q不关于x轴对称,且PBAQBA,那么点AB的横坐标xA、2xb满足xaxba；2假设过B点引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点,且PBAQBA180o,那么点A、B的横坐标满足xa22xy59.设A,A是双曲线-y1的实轴的两个端点,ab2xba._'.JQQ是与AA垂直的弦,那么直线AQ与AQ的交点2xP的轨迹是双曲线a2b21.60.过双曲线IAB|CD|22xy2,2ab8ab2(a>0,b>0的右焦点F作互相垂直的两条弦AEkCD,那么IABIICDI|a22c2b2|4aa2261 .至ij双曲线与y-a2b2点M的轨迹是姊妹圆x2262 .至ij双

19、曲线三4ab的动点M的轨迹是姊妹圆2263 .至IJ双曲线与yabca1a>0,b>0两焦点的距离之比等于b222ec)y(eb).1(a>0,b>0)22(xc)y1(a>0,b>0)半焦距的动点的轨迹是姊妹圆(xa)2的实轴两端点的距离之比等于b2.c为半焦距的动cac为半焦距b的两准线和x轴的交点的距离之比为64.P是双曲线2X-2ab2且AQAP,AQy2-2e为离心率.e1a>0,b>0上一个动点,A,A是它实轴的两个端点,222Q点的轨迹方程是勺T-1.aa65.双曲线的一条直径长的比仞中项.过中央的弦的长,为通过一个焦点且与此直径平

20、行的弦长和实轴之266.设双曲线Va作斜率为呼aViy2匕1a>0,b>0实轴的端点为A,A,Px1,y1是双曲线上的点过Pb2的直线l,过A,A分别作垂直于实轴的直线交l于M,M,那么1''2|AM|AM|b.(2)四边形AMAM面积趋近于2ab.2267.双曲线与abF的直线与双曲线相交于段EF的中点.1a>0,b>0的右准线l与x轴相交于点E,过双曲线右焦点A、B两点,点C在右准线l上,且BCX轴,那么直线AC经过线68.OAOB是双曲线-(xa)22a2y1a>0,b>0,且ab的两条互相垂直的弦,O为b2坐标原点,那么1直线AB必经

21、过一个定点2ab2另一个交点Q的轨迹方程是xab269.Pm,n是双曲线或一ab222a2yb2b2aB,0.2以OA、OB为直径的两圆的的弦,那么1直线AB必经过一个定点,22ba2除原点.1(a>0,b>0)上一个定点,PA、PB是互相垂直2ab2m(b2,22baa2)n(a2b2)、-,-4r2).(2)以PAPBba为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是,22,/abam、2(x-722)(yt-2babb2n2:2)aa2b4(b2、i2n(：2b)(除P点).a)70.如果一个双曲线虚半轴长为d1d2b,异侧焦点F1、F2到直线L的距离分别为&、d2,那么1直

22、线dd2同侧2b,且F1、F2在L异侧直线L直线L和双曲线相交.L和双曲线相切,或L是双曲线的渐近线.22.和双曲线相离,3d1d2b,或F1、F2在L271.AB是双曲线与a过A、B的切线交于b2C、1(a>0,b>0)的实轴,N是双曲线上的动点,过N的切线与D两点,那么梯形ABDC的对角线的交点M的轨迹方程是4y2*1(y0).72.设点Px0,y0为双曲线2x-2a241(a>0,b>0)的内部(b2含焦点的区域AB是双曲线过定点Px0,y0的任一弦.1如ab,那么当弦ab垂直于双曲线实轴所在直线时(|PA|PB|濡2222、2.2(bx°ay0)ab(

23、2)如(|PA|ab,那么当弦/122|PB|濡(x0-2.aAB平行或重合于双曲22、2,2ay.ab线实轴所在直线时,b26.77. 率)78.79.80.双曲线焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以双曲线实轴为直径的圆相外切.双曲线焦三角形的内切圆必切长轴于非焦顶点同侧的实轴端点双曲线两焦点到双曲线焦三角形内切圆的切线长为定值a+c与c-a.双曲线焦三角形的非焦顶点到其旁切圆的切线长为定值c-a.双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数注：在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁

24、心将外点与非焦顶点连线段分成定比双曲线焦三角形中双曲线焦三角形中e.,半焦距必为内、外点到双曲线中央的比例中项,双曲线中央到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点e离心85 .双曲线焦三角形中为定值e.86 .双曲线焦三角形中87 .双曲线焦三角形中88 .双曲线焦三角形中直径的圆必过两焦点2X89 .双曲线勺a分别交x轴于M,N,交2与1(a0,b0).(2)b假设|OQ|OR|b2,那么P的轨迹方程是241(a0,b0).b2到同侧焦点的距离成比例.81 .双曲线焦三角形中,半焦距、外点与双曲线中央连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.82 .双曲线焦三角形中,

25、过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线,那么双曲线中央与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.83 .双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点内角平分线引垂线,那么双曲线中央与垂足的距离为双曲线实半轴的长.84 .双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和双曲线实轴为直径的圆的切点,非焦顶点的内角平分线与焦半径、实轴所在直线的夹角的余弦的比,非焦顶点的法线即为该顶角的外角平分线.,非焦顶点的切线即为该顶角的内角平分线.,那么以两交点为,过非焦顶点的切线与双曲线实轴两端点处的切线相交2%1(a0,b0)上有一点P,过P分别引其渐近线的平行线,分别b2

26、交x轴于M,N,交y轴于R,Q,O为原点,那么：(1)|OM|ON|a2；(2)|OQ|OR|b2.bb90 .过平面上的P点作直线l1:yx及l2:yx的平行线,aa22_xy轴于R,Q.(1)假设|OM|ON|a,那么P的轨迹方程是-2a22xy91 .点P为双曲线-y2r1(a0,b0)在第一象限的弧上任意一点,过P引x轴、y轴abb的平行线,父y轴、x轴于M,N,父直线ybx于Q,R,记OMQ与ONR的面a积为S1,S2,那么：|S1S2|ab292 .点P为第一象限内一点,过P引x轴、y轴的平行线,交y轴、x轴于M,N,交直bab线y£x于Q,R,记OMQ与ONR的面积为S

27、1,S2,|SS?|色一,那么P的2轨迹方程是2a丫2b2a2221(a0,b0)或与T1(a0,b0)ba双曲线性质92条证实3.双曲线第二定义.1.双曲线第一定义.2.由定义即可得双曲线标准方程.4.设P(x0,y°)在第一象P切线PT(即l)的斜率为k,P所在直线11斜率为K,PF2所在直线12斜率为k2,PF1与PT的夹角为a,PF2与PT的夹角为3.由两直线夹角公式tan222abbcxo,22bacxob222cx°yoacyo2cyoacxoc|yo|2222.2bxoayobx°c22.2ax°y.acy°bx°yok

28、1k2祀.tan彳寸:11,2y(obx0kkiIxocay01kkj1b2xoyo12ayoxoctan.2bxoyokk21a2yox°c1kk?|1b2xoyo12ayoxoc.2222.2bxoayobx°c22.2ax°yoacy°bx°yo2.2.2abbcxo22cx°yoacyobacxo2cyoacxoQ,o,同理可证其它情况.故切线PT平分点P处的内角.25 .不妨设P在第一象PMo作F2关于切线PT的对称点M由4可知M在PF1上,那么F1MF1MPF1PF22a,垂足H为F2M的中点,那么OH、一a,同理可证其它

29、情况.射影H的轨迹是以实轴为直径的圆除去两端点.6 .设巳Q两点到与焦点对应的准线的距离分别为d1,d2,以PQ中点到准线的距离为d,以PQ为直径的圆的半径为r,那么ddd2PF-FQ-r,故以PQ为直径的圆与22ee对应准线相交._,一、PF22aPF1PFi.7 .如图,两圆圆心距为dOM-La-1ar,故两圆外切.2227图8图8 .如图,由切线长定理：FSFTPF1PF2F1F22a2c,FSF1Tac而FTacIF1A2,T与A2重合,故内切圆与x轴切于右顶点,同理可证P在其他位置情况.9 .设P,asec,btan,P2asec,btan,贝UAP：ybtan_btanxa,A2P

30、2:yasec1a1sec22xy贝UxPacos,ybsin,P点的轨迹方程为七1ab10.QP0(xo,y0)在双曲线2y_2xoa2、0241求导得：b22x-2a辿0b2bxy2一aVo切线方程为yVo辂aVox0x°x-2-aVoYb22x.a2yeb211.设P1x1,y1,P2x2,y2,10得:V0V1b2直线PP2上,且同时满足方程%x-2aVoVb21,所以PP2：x°XV0V2b2VoVb212.x0,Vo2那么有今a2y1b221上1,2a2y2b2P,P2在2x12x222yy20b2x1xxx22ay1y2byy22k、1、2kABxx2b22a

31、x1x2V1V2b2x0-2aV0b2akoMkABkOMb213.由12可得：yV.b2x.-2aVox02ay°y22y02122bx°xbx022bx°xay0yb222y0x°x-2ab22x02a2如b214.由12可得:yv.xx2a222bxbx0x015.,22bxkOPkOQbtan2%xbtan2ay0y2x2ay2b2x°x2ayyb2asecasecasec,btan,Qasec,btan1sinsin2ab21221-2acos122JTT2asecbtan2.22bsincos122222asecbtan_2222a

32、cosbsin2cos一2,22absin2cos2cosb2sin2一44.2.2absinsina2b2sinsin222.22.2aasinbsin1sin2a2sin2b2sin21sin22a4a2b2sin2sin222_2.2.22abasinsin2b2sin2sin22a2b2a2b2b2,.2asinsin22a42.2.2,2absinsin4,22ababsinsin222ba2a2.2.2bsinsina2b22a2b2sin2sin216.将直线AB代入双曲线方程中得:B2b2A2a2x22Aa2xa21B2b202222,2224aBbBbAaAB2

33、ab、,A2B2B2b2A2a2设AXi,y1,BX2N2贝Ux1X2_22Aa22-,X1X2B2b2A2a2a21B2b2EmQOAOB22xx2y1y2.baA222-2B2A2B2AB2abA2B2&2/八22B2b2A2a2.Aa1222,2222、,baBbAa1B2b2A2a22；A2a4B2ba2bA2B2ba22A2a4B2b417.b2B2b2A2a2B2b2设双曲线内直角弦AB的方程为:kxkp.2.2ak2a2kqkp2kpb2x,y1,BX2,y2得X12a2kX2b2qkp22ak,X1X2kp27-2akb2uuu那么PAULUPBX.X1X.X2V.Vi

34、y.y2k21X1x2kqk2pky.x.X1X2、2kpy.22,2akqkpy(-22,2akqkpkqkpky()X02qkpbbakx0bkpc2,2,/c2,2,c2,2akqkp2aky°qkp2akx°q2. 22.22abbx0akx0bqkpy0aky0-2,2,2,2,22222akx0qkpaqkpbkx0ay022222222kpakqkpaqkpabkakqkp2aky0qkp022222222akx0by0bqkp2by0q22akpx0bkp22222by0bq2bqy02,22

35、akp0222bkx02.22222.akx02akpq2akqx02bkpy0_222222bkpqaqay022222apx°bpx02222apqbpqaqx°bpy°.22222bqy°aqy°22abp-2x0abb2b2ay.即直线AB过定点2222abab72x0,7-22y0abba,此点在G上.当直线斜率不存在时,直线AB也过G上的定点.由上可知Ci和.上点由此建立起一种一一对应的关系,即证.k存在时,代入双曲线方程中得:18.必要性：设P1P2：ymy0kxmx0y0.22.22222bakx2akmy0kx0xam设P.必

36、,P2x2,y2得22.22.2amy0kx0abxix2-22,2bak,V.yiV.y2k2xix2kmkik2x0xix0x2.22.2y0kx0ab02,.2akmy0kx0xix222.2bakmkx0y0xix2my0mkx0xx2x0xix2x2222,2,2bim2km%y0kx0miy0mibima2im2kmx)y0k2x2miy2mia2imk不存在时,PiF2：x=mx那么yk1k2,b-2-22y°+gjmXoa22b222yomXoaa2.2Xo1mb2X2122.aXo12m2mb22a必要性得证.充分性：设PlP2过定点PB:ykXkp.代入双曲线方程

37、得:b22a2kqkpkp2a2b2oXi>Yi,P2X2,y2得XiX222akqkpb22.2ak,X1X222aqkp那么匕k2士yoy2yok2X1X2kqkpyoX1X2X2XoX1X2XoX1X2b2qXo2.2ak2kpyo222akqkp2,2,22,2,222,2abk2akqkpqkpyoqkpyobak2.aqkp2,222,2ab2akXoqkpx°b2.2ak22bqkpyo2yoqkp22kXo2-kXo12,11bqkpyokXoqkpy0y.qkpkXoyoqkpkXokXo,2.bkpyokXokpyokXoqqyokXokpmXoqmyom%

38、验证k不存在的情况,也得到此结论.l过定点m%,myo19.设AB:yyoXo即ykXyokXoykXyokXo2X2a2匕b2b22a2kyokXoXoXb2a2kyokXo22akXb2a2kyoa2k2%b2a2k2同理C2a2kyo222kX)bXoa2k22o.yomyoy.kXoqkpb22a1,充分性得证.kXo2b2omXomyob2Xo2a2kyoa2k2%b2Xob22.2aka2k2yob2b2yoa2k2yob2b2yo2b2kXokBC4b2k%4a2kyob2Xo2ayoPF14a2SF1PF2Vp21.由2csin同理当22.MF1PF24c22PF1PF2cos

39、22cPF1PF24c22PF1HPF2cos12PF1|PF2PFiPF2sinb：cot-,xpc2P正弦定cosb2sin1cosa2PF1PF22b2b2cossinsinsin2csinsinetancot22P在左支时,exoM在左支时,23.PF1PF1MF12b2sincos222sin22b2cot-2Vp2.2ab2cPF1sin2asinsincot22a,2b2cot22Kb%,鼠ot.c2sinsin在右支时2sincos222sincos2tancotsinsinsinexoa,MF2xoPF2ePF1sin2sin2tancot221tancot221tancot

40、Xoexo,MF2e%eexosincossincostan-cot22sincos-sincos1tan-cot22tancotxoe%.aexoxoQx0a1e2ee1e22e101.2e1,2Qe1e1,1.224.易知P在左支时PAPF1有最小值PA|PFi号成立.PAPF22aAF22a.当且仅当A,F2,P三点共线且P在左支时,等25.易知当k=0时,只有x轴符合要求,但此时X0不存在.故k0.当0时,A,B两点关于直线y=kx+m对称,直线AB的方程为P,1易知一kb-gpka联立AB与双曲线方程得：.2.2bkx22a2kpx2.22abk2.22224abkkp即k2pAB中

41、占I八、a2kpb2k2p,2,22,2,22bkabkay=kx+m上,得代入得解得p.2.22mbkackm=0时由得p=0,k2当m>0时解得p2J,代入得mk22ae2T或mb4.2ck21-22abkk2当m<0时解得p2仁,代入得mk227或m2b242ck21T22abkk22ab2由此可见两种情况的结论相同.k24.2ck222abk故对任意m结论可统一表示为412ck2.2.2abkk(xx0),即当m,lr2kx0时,xo4c222abk/2,2X2(ab)2.2.2abk26.由5即可得证.sec27.设Pasec,btan,那么切线l:xatan2abase

42、c27图uuuuxiFPFAasecc,btanb2bc,tanasecab2sec28.设Pasec,btan,由射影定理有：b2tan2b2b2ab2sec八一0FPcaseccasecasecasectan22sec22e1tantan22sectan211tan229.设2xC1：2a2y2x1,C2：2a2匕b11,ABl:AxBy0.联立C1,l得:B2b2A2a22Aa2Cxa2C2a2b2B20,由韦达定理:XaXB2Aa2C_2_222B2b2A2a2XpxQ2Aa2C272八22BbAaAPBQ=1A2XaXpXb而XaXp,XbXq的符号一定相反,故AP=BQ30.当A,

43、B同支时,设AacoshAB中点.那么ABX02a2cosh2cosh,2bsinhsinh2sinh222acoshacoshb2cosh21XaXpXbA2B2XaXp,bsinhsinh,BXq=Xaacosh2,24asinhsinh222XbxQXbXpXq二0.所以,bsinhXo,yo为acoshcosh22,y.sinh222bsinhbsinh.2.2.24bcoshsinh22bsinhcosh22Asinh2,Bsinh22XoaB,m2a2ABb2A2Xoay.21,B2yob22Xo2ayob22a,22bXo22ayo令cothtbXcothtay1得:2m2yb2

44、其中cothtbxayB异支时,中点.那么2ABa2coshXo2Xoab22yo.22bXo22ayo,22bXo22y.2yb2a2sinh21b2cosh212,2,2,2asinhtbcosht0时t0.cosh,2.2coshcosh2acoshacoshacosh,bsinh,Bmacosh,bsinhXo,y.为ABAsinh22AB,当1AB,m2b2b2sinh22bcoshsinh22,24acoshsinh222asinhsinh,yo22,Bsinh222cosh22bsinhbsinh4b2cosh2sinh222bsinhcosh22解得Aa-2V.b22X0a2y02X0r,代入m2得:a2X0a2y0ay07J2bX0令cothtaybxcotht2得：m2y_b