山东省高二数学下学期期中试卷理(含解析)-人教版高二全册数学试题

1、word2016-2017 学年某某师大附中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（下列各题A、B、C、D 四个答案有且只有一个正确，每题5 分，满分 60 分）1= （）A 31B 32C 332 i 为虚数单位， （ 1+i ）D 342=（ 1i ） ，则A 1B 2CD3= （）ABCD|z|= （）34的展开式中 x 的系数为（）A 36 B 36C 84 D 84 5某班级要从四名男生、两名女生中选派四人参加某次社区服务，则所选的四人中至少有一名女生的选法为（）A 14B 8C 6D 426“ a=1”是“复数 z=（a 1） +2（ a+1） i （ a R）为纯虚数”的（）A

2、充要条件 B 必要不充分条件C充分不必要条件D既不充分也不必要条件7. 设 P（ x0， y0）是图象上任一点， y=f （ x）图象在 P 点处的切线的斜率不可能是（）A 0B 2C 3D 48. 函数 f （ x） =ex cosx 在点（ 0， f （0）处的切线斜率为（）A 0B 1C 1D9. 6 名同学安排到 3 个社区 A， B， C 参加志愿者服务，每个社区安排两名同学，其中甲同学必须到 A 社区，乙和丙同学均不能到C 社区，则不同的安排方法种数为（） A 12B 9C 6D 510. 曲线 y=x3 3x 和直线 y=x 所围成图形的面积是（）A 4B 8C 9D 10- 1

3、6 - /1611. 对于 R上可导的函数 f （ x ），若满足（ x 1） f' （ x） 0，则必有（）A f （0） +f （ 2） 2f （ 1）B f （ 0） +f （ 2） =2f （ 1）C f （ 0） f （ 1） f （ 2） Df （ 0） +f （ 2） 2f （ 1）12. 2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A 60B 48C 42D 36二、填空题（每题5 分，满分 20 分）13. 证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论 2cos=；2cos=；2cos=；14

4、. 设等差数列 a n 的前 n 项和为 Sn，则 S4 ，S8 S4， S12 S8， S16S12 成等差数列类比以上结论有：设等比数列 b n 的前 n 项积为 Tn，则 T4，成等比数列 15如图，小王从街道的A 处到达 B 处，可选择的最短路线的条数为16设 f （ x） =sinx+2xf'（）， f' （ x）是 f （x）的导函数，则 f' （） =三、解答题（满分70 分）17（ I ）设复数 z 和它的共轭复数满足，求复数 z（）设复数 z 满足 |z+2|+|z 2|=8 ，求复数 z 对应的点的轨迹方程18（ I ）求的展开式中的常数项；（）设，

5、求（ a0+a1+a2+a3+a10）（a0 a1+a2a3+ +a10）19观察以下 5 个等式： 1=1 1+3=2 1+35= 3 1+35+7=4 1+35+7 9= 5照以上式子规律：*（ 1）写出第 6 个等式，并猜想第n 个等式；（n N ）*（ 2）用数学归纳法证明上述所猜想的第n 个等式成立 （ n N ） 20已知函数 f （x） =x 3ax 1（ aR）（ I ）讨论函数 f （ x）的单调性；（）若函数 f （x）在区间（ 1，1）上单调递减，某某数a 的取值 X 围 21设函数 f （ x） =alnx x（ I ）a=2，求函数 f （ x）的极值；x（）讨论函数

6、 f （ x）的单调性 22设函数 （ x） =e 1 ax，（ I ）当 a=1 时，求函数 （ x）的最小值；（）若函数 （ x）在（ 0， +）上有零点，某某数a 的 X 围；x（ III）证明不等式 e 1+x+2016-2017 学年某某师大附中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（下列各题A、B、C、D 四个答案有且只有一个正确，每题5 分，满分 60 分）1= （）A 31B 32C 33D 34【考点】 D5：组合及组合数公式【分析】 直接利用组合数公式求解即可【解答】 解：=3+6+10+15=34 故选： D22 i 为虚数单位， （ 1+i ） =（

7、 1i ） ，则 |z|= （）A 1B 2CD【考点】 A8：复数求模2【分析】 通过设 z=a+bi ，可得 =a bi ，利用（ 1+i ） =（ 1 i ） ，可得 = 1 i ，进而可得结论【解答】 解：设 z=a+bi ，则=abi ，2（ 1+i ） =（ 1 i ） ， = 1 i ， z=1+i ， |z|=故选： C=，3= （）ABCD【考点】 D4：排列及排列数公式【分析】 根据排列数公式计算即可【解答】 解：=故选： D4. 的展开式中 x 3 的系数为（）A 36 B 36C 84 D 84【考点】 DB：二项式系数的性质【分析】 利用通项公式即可得出【解答】 解：

8、的展开式中通项公式：Tr+1=x 9 r=（ 1） rx92r ，令 9 2r=3 ，解得 r=3 3 x 的系数 = 84 故选： C5. 某班级要从四名男生、两名女生中选派四人参加某次社区服务，则所选的四人中至少有一名女生的选法为（）A 14B 8C 6D 4【考点】 D8：排列、组合的实际应用【分析】 根据题意，按女生的数目分2 种情况讨论：、所选的四人中有1 名女生，则有 3名男生，、所选的四人中有2 名女生，则有2 名男生，由加法原理计算可得答案【解答】 解：根据题意，分2 种情况讨论：31、所选的四人中有1 名女生，则有3 名男生，有 C4 C2 =8 种情况，22、所选的四人中有

9、2 名女生，则有2 名男生，有 C4 C2 =6 种情况，则所选的四人中至少有一名女生的选法有8+6=14 种； 故选： A26“ a=1”是“复数 z=（a 1） +2（ a+1） i （ a R）为纯虚数”的（）A充要条件 B 必要不充分条件C充分不必要条件D既不充分也不必要条件【考点】 2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】 利用纯虚数的定义、简易逻辑的判定方法即可得出22【解答】 解： a 1+2（a+1） i 为纯虚数，则 a 1=0，a+1 0， a=1，反之也成立2“ a=1”是“复数 z=（ a 1） +2（ a+1） i （ a R）为纯虚数”的充要条件， 故选：

10、A7. 设 P（ x0， y0）是图象上任一点， y=f （ x）图象在 P 点处的切线的斜率不可能是（）A 0B 2C 3D 4【考点】 6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】 求出函数的导数，判断导函数的值域，即可判断选项【解答】 解：，可得 f （ x）=2cos（ 2x+） 2，2 ， 因为 4? 2， 2 ，所以 y=f （ x）图象在 P 点处的切线的斜率不可能是：4 故选： D8. 函数 f （ x） =ex cosx 在点（ 0， f （0）处的切线斜率为（）A 0B 1C 1D【考点】 6H：利用导数研究曲线上某点切线方程xxx【分析】 先求函数 f （ x） =e c

11、osx 的导数，因为函数图象在点（0，f （ 0）处的切线的斜率为函数在 x=0 处的导数，就可求出切线的斜率【解答】 解： f （ x） =e cosx e sinx ，0f （ 0） =e （ cos0 sin0 ） =1，函数图象在点（0， f （ 0）处的切线的斜率为1 故选 C9. 6 名同学安排到 3 个社区 A， B， C 参加志愿者服务，每个社区安排两名同学，其中甲同学必须到 A 社区，乙和丙同学均不能到C 社区，则不同的安排方法种数为（） A 12B 9C 6D 5【考点】 D3：计数原理的应用【分析】 本题可以分为两类进行研究，一类是乙和丙之一在A 社区，另一在 B 社区，

12、二类是乙和丙在 B 社区，计算出每一类的数据，然后求其和即可【解答】 解：由题意将问题分为两类求解11第一类，若乙与丙之一在甲社区，则安排种数为A2 × A3 =6 种1第二类，若乙与丙在B 社区，则 A 社区沿缺少一人，从剩下三人中选一人，另两人去C 社区， 故安排方法种数为A3 =3 种故不同的安排种数是6+3=9 种故选 B10. 曲线 y=x3 3x 和直线 y=x 所围成图形的面积是（）A 4B 8C 9D 10【考点】 67：定积分【分析】 先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为 2，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可

13、；3【解答】 解：曲线 y=x 3x 与 y=x 的交点坐标为（ 0，0），（ 2， 2），（ 2， 2）33根据题意画出图形， 曲线 y=x 3x 和直线 y=x 围成图形的面积 S=2x （ x 3x ）dx=23（ 4xx ）dx=2（ 2x2 x4 ）|=2（ 8 4） =8， 故选： B11. 对于 R上可导的函数 f （ x ），若满足（ x 1） f' （ x） 0，则必有（）A f （0） +f （ 2） 2f （ 1）B f （ 0） +f （ 2） =2f （ 1）C f （ 0） f （ 1） f （ 2）Df （ 0） +f （ 2） 2f （ 1）【考点】 6

14、A：函数的单调性与导数的关系【分析】 借助导数知识，根据（x 1）f （ x） 0，判断函数的单调性，再利用单调性，比较函数值的大小即可【解答】 解：对于 R 上可导的任意函数f （x ），（ x1）f （ x） 0有或，即当 x（ 1， +）时， f （ x）为减函数， 当 x（， 1）时， f （x）为增函数 f （ 0） f （ 1）， f （ 2） f （ 1） f （ 0） +f （ 2） 2f （ 1） 故选： A12. 2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A 60B 48C 42D 36【考点】

15、 D9：排列、组合及简单计数问题【分析】 从 3 名女生中任取2 人“捆”在一起，剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙，则男生甲必须在A、B 之间，最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙22【解答】 解：从 3 名女生中任取 2 人“捆”在一起记作A，（ A 共有 C3 A2 =6 种不同排法） ，剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；则男生甲必须在 A、B 之间（若甲在A、B 两端则为使A、B 不相邻，只有把男生乙排在A、B之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求）此时共有 6× 2=12 种排法（ A 左 B 右和 A 右 B左） 最后再在排好的三个元素中选出四个

16、位置插入乙，共有 12× 4=48 种不同排法 故选 B二、填空题（每题5 分，满分 20 分）13. 证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论2cos=；2cos=；2cos=；【考点】 F1：归纳推理【分析】 根据半角公式可证明已知的三个等式，再由题意，观察各式可得其规律，用n 将规律表示出来一般性结论【解答】 证明： cos=， 2cos=；2cos=2=2cos=2=2cos=；2cos=；2cos=；，观察下列等式：由上边的式子，我们可以推断：2cos=（ nN* ）14. 设等差数列 a n 的前 n 项和为 Sn，则 S4 ，S8 S4， S12 S8， S16S12

17、 成等差数列类比以上结论有：设等比数列 b n 的前 n 项积为 Tn，则 T4，成等比数列【考点】 F3：类比推理； 8G：等比数列的性质【分析】 由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4 项之和仍成等差数列时，类比到等比数列为依次每4 项的积的商成等比数列下面证明该结论的正确性【解答】 解：设等比数列 b n 的公比为 q，首项为 b1，4 681+2+78 28则 T4=b1 q ， T8=b1 q=b1 q ，121+2+1112 66T12=b1 q=b1 q ，44，2238=b1 q ，=b 1 q即（）2=?T ，故 T

18、 ，成等比数列44故答案为：15. 如图，小王从街道的A 处到达 B 处，可选择的最短路线的条数为56【考点】 D8：排列、组合的实际应用【分析】 由题意知从A 到 B 的最短路线，均需走8 步，包括横向的5 步和纵向的3 步，只要确定第几步是横向的，第几步是纵向的就可以，再进一步只要确定哪几步是横向走，问题转化为数学问题，是一个从八个元素中选三个的一个组合【解答】 解：从 A 到 B 的最短路线，均需走7 步，包括横向的 5 步和纵向的 3 步， 只要确定第 1，28步哪些是横向的，哪些是纵向的就可以，实际只要确定哪几步是横向走每一条从 A 到 B 的最短路线对应着从第1，28步取出 5 步

19、（横向走）的一个组合，5从 A 到 B 的最短路线共有 C8 =56 条 故答案为： 5616设 f （ x） =sinx+2xf'（）， f' （ x）是 f （x）的导函数，则 f' （） =1【考点】 63：导数的运算【分析】 f（ x）=sinx+2xf'（），可得 f' （ x）=cosx+2f' （），令 x=，可得： f' （），进而得出 f' （）【解答】 解： f （ x） =sinx+2xf' （ ）， f' （x） =cosx+2f' （ ），令 x= ，可得： f' （ ）=

20、cos +2f' （ ），解得 f' （ ） = ，则 f' （ ） =+2× = 1故答案为： 1三、解答题（满分70 分）17（ I ）设复数 z 和它的共轭复数满足，求复数 z（）设复数 z 满足 |z+2|+|z 2|=8 ，求复数 z 对应的点的轨迹方程【考点】 A5：复数代数形式的乘除运算【分析】（）设出复数 z=x+yi ，根据，求出 x， y 的值，求出 z 即可；（） 设复数 z=x+yi ，得到关于 x， y 的方程，整理判断即可【解答】 解：（ I ）设，由可得，所以，；（ II）设复数 z=x+yi ， 由|Z+2|+|Z 2|=8 ，

21、得，其轨迹是椭圆，方程为18（ I ）求的展开式中的常数项；（）设，求（ a0+a1+a2+a3+a10）（a0 a1+a2 a3+ +a10）【考点】 DC：二项式定理的应用【分析】（ I ）利用的展开式中的通项公式，通过x 的幂指数为0，确定常数项求解即可；（）利用赋值法，转化求解表达式的值即可【解答】（本题满分 12 分）解：（ I ）通项令 20，解得 r=8 ，常数项（ II）19. 观察以下 5 个等式： 1=1 1+3=2 1+35= 3 1+35+7=4 1+35+7 9= 5照以上式子规律：*（ 1）写出第 6 个等式，并猜想第n 个等式；（n N ）*（ 2）用数学归纳法证

22、明上述所猜想的第n 个等式成立 （ n N ）【考点】 F1：归纳推理【分析】（ 1）由已知中 1= 1， 1+3=2， 1+3 5= 3， 1+3 5+7=4， 1+3 5+79= 5，等式左边有 n 个连续奇数相加减，右边为n（n 为偶数）或 n 的相反数（ n 为奇数），进而得到结论；nn（ 2）当 n=1 时，由已知得原式成立，假设当n=k 时，原式成立，推理可得n=k+1 时，原式也成立，知 1+3 5+7 9+ +（ 1） （ 2n1） =（ 1） n 成立【解答】 解：（ 1）由已知中： 1=1 1+3=2 1+35= 3 1+35+7=4 1+35+7 9= 5归纳可得：第 6

23、 个等式为 1+3 5+7 9+11=6nn第 n 个等式为 1+3 5+7 9+ +（ 1） （ 2n1） =（ 1） nnn（ 2）下面用数学归纳法给予证明：1+3 5+7 9+（ 1）（2n 1）=（ 1） n当 n=1 时，由已知得原式成立；假设当 n=k 时，原式成立，kkkk+1即 1+3 5+79+ +（ 1）（ 2k 1） =（ 1） k 那么，当 n=k+1 时， 1+35+7 9+ +（ 1） （ 2k 1） +（ 1）（ 2k+1）=（ 1） k k+（ 1）k+1 （2k+1 ）=（ 1） k+1 （ k+2k+1）k+1=（ 1）（ k+1 ）故 n=k+1 时，原式

24、也成立，nn由知 1+35+7 9+ +（ 1） （ 2n 1） =（ 1） n 成立20. 已知函数 f （x） =x 3ax 1（ aR）（ I ）讨论函数 f （ x）的单调性；（）若函数 f （x）在区间（ 1，1）上单调递减，某某数a 的取值 X 围【考点】 6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值【分析】（ I ）求出函数的导数，通过a 的讨论，判断导函数的符号，推出函数f （ x）的单调性；（）利用第一问的结果，利用单调性的子集关系推出结果即可【解答】（本题满分 12 分）2解：（ I ） f' （ x） =3x a2若 a 0， f' （ x

25、）=3x a 0， f （ x）在 R 上单调递增 若函数 f （ x）的递减区间为，递增区间为（ II）由（ 1）知，函数 f （ x）在区间（ 1， 1）上单调递减，21. 设函数 f （ x） =alnx x（ I ）a=2，求函数 f （ x）的极值；（）讨论函数 f （ x）的单调性【考点】 6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值【分析】（ I ）求出导函数，通过a=2，求出极值点，利用单调性判断的极值，然后求函数f（ x）的极值；2（）设 g（ x）=a x x ， =1+4a，通过 a 与的大小，判断导函数的符号，判断函数的单调性即可【解答】（本题满分 12

26、 分）解：， x 0（ I ）a=2，当 x（ 0， 1），f' （ x） 0， f （ x）递增；x（ 1， +），f' （ x） 0， f （ x）递减，无极小值，2（ II）设 g（ x）=a xx ， =1+4a若若，当， x2 0， f' （x） 0，f （ x）在（ 0， +）上递减当 a 0，x 20，函数x22. 设函数 （ x） =e 1 ax，（ I ）当 a=1 时，求函数 （ x）的最小值；（）若函数 （ x）在（ 0， +）上有零点，某某数a 的 X 围；x（ III）证明不等式 e 1+x+【考点】 6K：导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（ I ）求出导函数，利用导函数的符号，判断函数的单调区间求解最小值x（ II） ' （ x）=e a，若 a0，求解函数的极值，若a 0，求出函数的最小值，当0a 1 时，求解极值，当a 1 时，求出极值点，设g（ a） =a1 alna ，求出导数，然后求解最小值，推出 a 的取值 X 围（ II