工程力学 第5版 课件 第2章 平面力系

第二章平面力系本章讨论平面力系的简化与平衡问题，并介绍超静定问题的概念及简单静定桁架的内力计算。第二章平面力系2.1平面任意力系的简化及简化结果的讨论2.2平面任意力系的平衡方程及其应用2.3物体系统的平衡2.4平面静定桁架2.5摩擦2.1平面任意力系的简化及简化结果的讨论第二章平面力系2.1平面任意力系的简化及简化结果的讨论平面任意力系的概念力系中各力的作用线都在同一平面内，它们既不汇交于一点，也不全部平行，此力系称为平面任意力系。2.1平面任意力系的简化及简化结果的讨论平面任意力系的简化点O：任意选择的简化中心将力F1

平移至点O,将其他力也平移至点O.2.1平面任意力系的简化及简化结果的讨论平面任意力系的简化由于作用于O的力构成平面汇交力系,可以将这些力计算出矢量合F'R,:所有的附加力偶形成平面力偶系，同样可以得到合力偶:2.1平面任意力系的简化及简化结果的讨论平面任意力系的简化1)我们把平面力系中所有各力的矢量和称为主矢

(PrincipleVector)—F'R2)我们把各力对于任选的简化中心O的矩的代数和称为主矩

(PrincipleMoment)—MO结论：平面力系向作用面内任选一点O简化，一般可以得到一个力和一个力偶，这个力等于该力系的主矢，作用于简化中心O,这个力偶的矩等于该力系对于点O

的主矩。2.1平面任意力系的简化及简化结果的讨论平面任意力系的简化1)主矢与简化中心的位置无关，因为主矢是由原力系各力的大小和方向决定的。2)主矩与简化中心的位置有关2.1平面任意力系的简化及简化结果的讨论简化结果的讨论将原力系用新的仅包含主矢和主矩的力系来等效替代：平面力系向作用面内一点简化的结果，可能有四种情况:

平面力系平衡:

平面力系简化为一个力偶，这种情况下，主矩与简化中心的选择无关

原力系可合成为一个合力，合力等于主矢，合力的作用线通过简化中心。2.1平面任意力系的简化及简化结果的讨论简化结果的讨论根据力的平移定理的逆定理，主矢和主矩可合成为一合力2.1平面任意力系的简化及简化结果的讨论简化结果的讨论如图所示平面力系中，F1=1kN，F2=F3=F4=5kN，M=3kN

m，求该力系向点O、A的简化结果。【例题】2.1平面任意力系的简化及简化结果的讨论简化结果的讨论【解】向点O简化2.1平面任意力系的简化及简化结果的讨论简化结果的讨论【解】【课堂练习】，自行求解力系向点A的简化结果，以验证主矢与简化中心无关，而主矩与简化中心有关。2.2平面任意力系的平衡方程及其应用第二章平面力系2.2平面任意力系的平衡方程及其应用平面任意力系的平衡方程当平面力系向一点简化，其主矢和主矩均等于零，即此时原力系必为平衡力系，故其为平面力系平衡之充分条件。只有当主矢和主矩都等于0时，力系才能平衡；只要主矢和主矩其中之一不为0，则原力系简化为一个合力或一个力偶，力系不能平衡，故其为平面力系平衡之必要条件。平面力系平衡的充要条件：力系的主矢和对于任一点的主矩都等于零。2.2平面任意力系的平衡方程及其应用平面任意力系的平衡方程平面任意力系平衡方程的基本形式平面力系平衡的充要条件：力系中各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任一点之矩的代数和也等于零。2.2平面任意力系的平衡方程及其应用平面任意力系的平衡方程平面任意力系平衡方程的三种方式1、基本形式由于简化中心任选，故可取不同的矩心，列出不同的力矩方程。2.2平面任意力系的平衡方程及其应用平面任意力系的平衡方程2、二矩式方程注意：x

轴不能垂直于A,B的连线。(保证三个方程式是相互独立的)基本形式的线性变换，它也是平面力系平衡的充要条件。2.2平面任意力系的平衡方程及其应用平面任意力系的平衡方程3、三矩式方程注意：A，B，C三点不能共线。它也是平面力系平衡的充要条件。2.2平面任意力系的平衡方程及其应用平面任意力系的平衡方程平面任意力系平衡方程的三种方式平面力系有三个独立的平衡方程，能求解三个未知量。平衡方程的三种形式是相互等价的。实际应用时，根据具体情况选用，力求使每一个方程只包含一个未知量，以减少联立方程引起的计算困难。2.2平面任意力系的平衡方程及其应用平面任意力系的平衡方程钢索牵引加料小车沿倾角为a的轨道匀速上升，如图所示，C为小车的重心。已知小车的重力G、尺寸a、b、h、e和倾角a。不计小车和斜面的摩擦，试求钢索拉力FT和轨道作用于小车的约束力。【例题】2.2平面任意力系的平衡方程及其应用平面任意力系的平衡方程取小车为研究对象，画出受力分析图。【解】2.2平面任意力系的平衡方程及其应用平面任意力系的平衡方程【例题】计算图中各柔性索受到的拉力。2.2平面任意力系的平衡方程及其应用平面任意力系的平衡方程【例题3解答方法1】1)画出刚体ABC的受力分析图2)平衡方程需要联立方程求解，不利于计算2.2平面任意力系的平衡方程及其应用平面任意力系的平衡方程【例题解答方法2】1)画出刚体ABC的受力分析图2)平衡方程利用方程检验2.2平面任意力系的平衡方程及其应用平面任意力系的平衡方程从上述例题可以总结出两个有用的技巧：技巧1:

矩方程的矩心是任意选择的，因此可以选择刚体形状以外(延拓)的点作为矩心。技巧2:

矩方程矩心选择在两个(多个)未知力的作用线的交点可以简化方程。2.2平面任意力系的平衡方程及其应用平面任意力系的平衡方程【例题】摇臂吊车如图所示，水平梁承受拉杆的拉力FT。已知梁的重力为G=4kN，载荷为W=20kN，梁长l=2m，载荷到铰A的距离x=1.5m，拉杆倾角a=30°。求拉杆的拉力和铰链A处的约束力。2.2平面任意力系的平衡方程及其应用平面任意力系的平衡方程【解】取梁AB为研究对象画出受力分析图2.2平面任意力系的平衡方程及其应用平面任意力系的平衡方程刚架结构F=50kNq=10kN/m

M=30kN·m计算固定端A的约束反力。【例题】2.2平面任意力系的平衡方程及其应用平面任意力系的平衡方程1)画出刚架的受力分析图【解】2.2平面任意力系的平衡方程及其应用平面任意力系的平衡方程2)建立平衡方程均布载荷在进行计算求解时可以简化为一个静力等效的集中力Fq。2.2平面任意力系的平衡方程及其应用平面任意力系的特殊形式1、平面汇交力系对汇交点的矩方程自然满足。2个独立方程，解决两个未知量。矩心不能选择到汇交点上。2.2平面任意力系的平衡方程及其应用平面任意力系的特殊形式2、平面平行力系对x轴的投影方程自然满足。2个独立方程，解决两个未知量。A,B

连线不能垂直于x

轴2.2平面任意力系的平衡方程及其应用平面任意力系的特殊形式3、平面力偶系对x，y

轴的投影方程自然满足。1个独立方程，解决一个未知量。根据力偶的性质，可不必注明矩心。2.2平面任意力系的平衡方程及其应用平面任意力系的特殊形式【例题】外伸梁如图所示，作用在梁上的载荷F=qa/2，M=2qa2，其中q和a已知。求支座A、B处的约束力。2.2平面任意力系的平衡方程及其应用平面任意力系的特殊形式【解】取梁AB为研究对象画受力图。均布载荷q简化为作用于点D的一个集中力FQ=3qa。2.3物体系统的平衡第二章平面力系2.3物体系统的平衡由若干个物体通过适当的联接方式(约束)组成的系统称为物体系统。工程实际中的结构或者机构，如多跨梁、三铰拱、组合构架、曲柄滑块机构等都可以看作物体系统。研究物体系统平衡问题时,必须综合考虑整体和局部的平衡.当物(刚)体系统平衡时,组成该系统的任何一个局部系统以至任何一个物(刚)体也必然处于平衡状态。2.3物体系统的平衡思考：作用在物体系统上的力系是平衡力系，物体系是否必是平衡？作用在物体系统上的力系是平衡力系只是物体系平衡的必要条件而非充分条件2.3物体系统的平衡求解物体系统平衡问题的基本步骤：1、画出物体系统整体和各个部分的受力分析图2、一般情况下，先从整体受力分析图入手，如果可能，计算出外部的约束反力。3、进一步分析物体系统中其他的部分，计算出其他的未知量。2.3物体系统的平衡【例题】

人字梯置于光滑水平面上静止，F=600N,l=3m,a=45o,计算水平面对人字梯的反力以及铰C处的力。2.3物体系统的平衡【分析】

画出整体和各个部分的受力分析图2

未知量2

独立方程4

未知量3

独立方程.4

未知量3

独立方程.2.3物体系统的平衡1从整体受力分析图中可以计算出反力FA

和FB.2在ADC

和BEC

受力分析图中，FA

和FB成为已知量。3

选择ADC

或BEC,计算出Fcx

和Fcy.利用另外一个图进行结果的校验。FA,FB

Fcx,Fcy

校验2.3物体系统的平衡【求解】2.3物体系统的平衡【求解】2.3物体系统的平衡【校验】如果下面的方程式可以满足，则说明前面的计算结果是正确的。2.3物体系统的平衡【例题】

如图所示结构由T字梁与直梁在B处铰接而成。已知F=2kN，q=0.5kN/m，M=5kN·m，l=2m，求支座C及固定端A处约束力。2.3物体系统的平衡【求解】分别取整体和CB杆为研究对象画出受力分析图

【整体】

4个未知量，

3个独立方程

【CB杆】

3个未知量，3个独立方程【基本思路】

CB杆受力图计算FC

整体受力图计算A处的反力(偶)2.3物体系统的平衡【求解】

【CB杆】

2.3物体系统的平衡【求解】

【整体】

2.3物体系统的平衡【求解】

【整体】

2.3物体系统的平衡【例题】如图所示,l

=

2R,BD

=

2l,计算A和B处的约束反力2.3物体系统的平衡【分析】

画出整体和各个部分的受力分析图4

未知量

3

独立方程.4

未知量

3

独立方程.4

未知量

3

独立方程.2.3物体系统的平衡【分析】可算出可算出FBy

,FCy

,FCx

FByFAy2.3物体系统的平衡【求解】2.3物体系统的平衡【求解】2.3物体系统的平衡【课堂练习】如图所示结构，能否直接判断约束A和B处的水平约束反力等于0？为什么?2.3物体系统的平衡【课堂练习】虽然结构没有受到水平方向的外力作用，但不能想当然地直接判断A和B处的水平约束反力等于02.3物体系统的平衡静定和超静定的概念未知量的数目等于独立平衡方程的数目静定问题未知量的数目多于独立平衡方程的数目超静定问题2.3物体系统的平衡静定和超静定的概念实际工程中，有时为了提高结构的刚度和坚固性，经常在结构上增加多余约束，这样原来的静定结构就变成了超静定结构。如图所示，求固定端的约束力平面一般力系，通过静力学平衡方程可以解出全部的三个约束反力。若在C处增加一个约束则无法仅通过静力学平衡方程求出全部的四个未知力。2.3物体系统的平衡静定和超静定的概念求解超静定问题，必须考虑物体在受力后产生的变形，根据物体的变形条件，列出足够的补充方程以后，才能求出全部的未知量。这类问题已经超出了刚体静力学的范围，将在材料力学等课程中讨论。在理论力学中只研究静定问题。2.4平面静定桁架第二章平面力系2.4平面静定桁架桁架是一种由杆件彼此在两端用铰链连接而成的结构，各杆的铰接点称为节点。它在受力后几何形状不变。理想桁架的三点假定：1.每个节点都是光滑的理想铰结点；2.每根杆件的轴线都是直线，且都通过铰的中心；3.所有荷载都作用在铰接点上。桁架的基本概念2.4平面静定桁架桁架的基本概念各杆均为二力杆(链杆)，只承受轴向力。优点：节约材料；自重轻；能跨越更大的空间(大跨度结构大都采用桁架)2.4平面静定桁架桁架的基本概念由于外力作用而引起的杆件内部各部分之间的相互作用力的改变量，称为附加内力，简称内力轴向力2.4平面静定桁架轴向拉伸内力轴向压缩内力2.4平面静定桁架节点法桁架的每个节点都受到一个平面汇交力系的作用。为了求每个杆件的内力，可以逐个地取节点为研究对象，由已知力求出全部未知力（杆件的内力），这就是节点法。2.4平面静定桁架节点法

F=10kN，计算每个杆件的内力大小【例题】2.4平面静定桁架节点法【解】1）计算约束反力2.4平面静定桁架节点法2）分析节点

A

假设对铰的力都是拉力，则节点A的受力分析图如下2.4平面静定桁架节点法3）分析节点

D2.4平面静定桁架节点法4）分析节点

C2.4平面静定桁架节点法5）各杆的内力情况-10kN-10kN10kN8.66kN8.66kN2.4平面静定桁架节点法

节点法的基本步骤 1.计算作用在桁架上的约束反力. 2.逐个分析各节点，列出平衡方程求内力。由于对每个节点而言，作用的力组成一个平面汇交力系，因此最多建立两个平衡方程，求两个未知量。

3.判断各杆的内力是拉还是压。2.4平面静定桁架截面法如果只要求计算桁架内某几个杆件所受的内力，可以适当地选取一截面，假想地把桁架截开，再考虑其中任一部分的平衡，求出这些被截杆件的内力，这就是截面法。2.4平面静定桁架截面法【例题】

各杆的长度均等于l，

计算杆1，2，3的内力。2.4平面静定桁架截面法【解】1）计算约束反力约束反力的计算结果:

平面一般力系3未知量3独立方程2.4平面静定桁架截面法2.4平面静定桁架截面法

从上面的例题，我们必须注意到除了一些特殊的情况，虚拟截面最多截断三个杆，那是因为一个平面一般力系只有三个独立方程，最多只能解三个未知量。2.4平面静定桁架截面法【思考与讨论】如何计算杆DG的内力?2.4平面静定桁架截面法【思考与讨论】2.5摩擦第二章平面力系2.5摩擦在实际工程中，摩擦常常起到重要的作用，例如，我们常见的火车、汽车利用摩擦进行起动和制动，带轮和摩擦轮的传动等，这时，就必须考虑摩擦力的作用。按照接触体之间可能发生的相对运动分类，可以分为滑动摩擦和滚动摩擦。

滑动摩擦：两个物体有相对滑动或相对滑动趋势时的摩擦；

滚动摩擦：两个物体有相对滚动或相对滚动趋势时的摩擦；2.5摩擦两个表面粗糙相互接触的物体，当发生相对滑动或有相对滑动趋势的时候，在接触面上产生阻碍相对滑动的力，这种阻力称为滑动摩擦力，简称摩擦力。两个物体开始相对滑动之前的摩擦力，称为静摩擦力；

两个物体滑动之后的摩擦力，称为动摩擦力。2.5摩擦由于摩擦力是阻碍两个物体相对滑动的力，因此物体所受摩擦力的方向总是与物体的相对滑动或者相对滑动趋势方向相反，它的大小则需要根据主动力作用的不同来加以分析。静摩擦力Ff

最大静摩擦力Fsmax

动摩擦力Fd2.5摩擦静滑动摩擦库伦摩擦实验1)当用一个较小的力FT，去拉重力为W的物体时，物体保持静止平衡。由物体平衡条件可知，摩擦力Ff与主动力FT大小相等。2)当FT逐渐增大时，Ff也随之增加。当Ff随FT增加而达到某一临界值FSmax时，就不会再增加。若FT继续增加，物体就要开始滑动。因此静摩擦力Ff也可称为切向有限约束力。2.5摩擦静滑动摩擦库伦摩擦实验1)当用一个较小的力FT，去拉重力为W的物体时，物体保持静止平衡。由物体平衡条件可知，摩擦力Ff与主动力FT大小相等。2)当FT逐渐增大时，Ff也随之增加。当Ff随FT增加而达到某一临界值FSmax时，就不会再增加。若FT继续增加，物体就要开始滑动。因此静摩擦力Ff也可称为切向有限约束力。2.5摩擦静滑动摩擦静止（临界状态）

静滑动摩擦因数 静滑动摩擦因数的大小需要由实验测定。它与接触物体的材料和表面情况有关（如粗糙度、温度和湿度等），而与接触面的面积无关。2.5摩擦静滑动摩擦常用材料的静滑动摩擦因数材料名称钢-钢0.15铝-低碳钢0.61聚四氟乙烯-钢0.04镍-镍1.10铜–铸铁1.052.5摩擦静滑动摩擦

上述公式事实上只是一个近似公式，它远不能完全反映出静摩擦的复杂现象。但由于它形式简单，计算方便，同时其结果又有足够的准确性，因此在工程实际中仍然被广泛应用。2.5摩擦动滑动摩擦实验表明，动摩擦力的大小与接触物体间的正压力成正比。

动摩擦因数动摩擦因数与接触物体的材料和表面情况有关，还与接触物体之间相对滑动的速度有关。一般来说，动摩擦因数随着相对速度的增大而减小，当速度不大的时候，可以认为是一个常数。2.5摩擦摩擦角与自锁摩擦角

根据摩擦角的定义可知，全约束力的作用线不可能超出摩擦角之外，即全约束力必然在摩擦角之内。故有：2.5摩擦摩擦角与自锁

利用摩擦角测定静滑动摩擦因数2.5摩擦摩擦角与自锁自锁现象

FR:所有主动力的合力.

为保持物体的平衡，全约束力的方向应和主动力的方向相反，作用线为同一直线，如图所示。

下面讨论主动力的合力与接触面法线的夹角a的不同情况下物体静止平衡的可能性2.5摩擦摩擦角与自锁

无论主动力的合力多大，只要该合力的作用线位于摩擦角内，则最大静摩擦力不会小于主动力的合力沿接触面方向的分量，因此物体仍然保持静止平衡而不会发生滑动，这种现象称为自锁。2.5摩擦摩擦角与自锁

无论主动力的合力多小，只要主动力的合力的作用线位于摩擦角范围之外，最大静摩擦力就不会大于主动力合力沿接触面方向的分量。因此物体必然不能保持静止平衡状态而发生滑动。2.5摩擦摩擦角与自锁FRW2.5摩擦有摩擦的平衡问题基本步骤与不计摩擦的情况相同.分析物体受力，摩擦力的方向一般不能假设，要根据相关物体接触面的相对滑动趋势预先判断确定。（与物体相对滑动趋势方向相反）作用在物体上的力系，包括摩擦力在内，除了满足平衡条件外，摩擦力还需满足摩擦的物理条件，即Ff≤FSmax，补充方程的数目与摩擦力的数目相等。由于物体平衡时摩擦力有一定的范围(0≤Ff≤