二项式定理练习题

1、10.3二项式定理【考纲要求】1、能用计数原理证实二项式定理.2、会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.【根底知识】n0n1n12n22rnrrnn1 、二项式定理：abCnaCnabCnabCnabCnb二项式的展开式有n1项,而不是n项.2 、二项式通项公式：Tr1Cnranrbrr0,1,2,n1它表示的是二项式的展开式的第r1项,而不是第r项2其中Cnr叫二项式展开式第r1项的二项式系数,而二项式展开式第r1项的系数是字母幂前的常数.3注意r0,1,2,n3 、二项式展开式的二项式系数的性质1对称性：在二项展开式中,与首末两项“等距离的两项的二项式系数相等.即Cnm=C2增减性

2、和最大值：在二项式的展开式中,二项式系数先增后减,且在中间取得最大值,如果二项式的幂指数是偶数,中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数,中间两项的二项式系数相等且最大.奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等,即3所有二项式系数的和等于2n,即C0C：C；Cnn2n1nnCnCn2Cn0Cn2Cn4Cn1Cn3Cn52n14 .二项展开式的系数a0,a1,a2,a3,an的性质：对于f(x)a0a1xa2x2ggganxna0a1a2a3anf(1),a0a1a2a3(1)nanf(1)5、证实组合恒等式常用赋值法.【例题精讲】例1假设(12x)2004a0a1xa2x2a2

3、004x2004,xR求(/a)+(a)a)+a0a2004)解：对于式子：(12x)2004a0a1xa2x22004a2004x,xR,令x=0,便得到：a0=1令x=l,得到a0a1a2a2004=1a2004)又原式：(a0a)+(a0a2)+(a=2004ao(a1a2a20042003a0(a.a1a2a2004):原式：(a0a)+(aa2)+(a022004)=2004例2.二项式(.jX马)n,(nCN*)的展开式中第5项的系数与第3项的系数的x比是10:1,(1)求展开式中各项的系数和(2)求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项解：(1)二第5项的系数与第3项的系数的

4、比是10:1,44.Cn()10,解得n=8c2(2)21令x=1得到展开式中各项的系数和为(1-2)8=1(2)展开式中第项,第r+1项,第r+2项的系数绝对值分别为r1nr_rr_r1C82,C82,C82,那么必须满足:假设第r+1项的系数绝对值最大r1nrrr、.r1r1rr.一C82C82并且C82C82,解得5&r-1,故系数大于一1的项共有4项.6.A【解析】：由二项展开式的通项公式Tk+-C：n1(x)k=(1)kC4nlxk,可知系数为(1)kC：n1,与二项式系数只有符号之差,故先找中间项为第2n+1项和2n第2n+2项,又由第2n+1项系数为(1)2nC：n1=C：n1,

5、第2n+2项系数为(1)+1C：11=-C4；110,故系数最大项为第2n+1项.7.10【解析】：展开式中各项系数之和为S=Cn+Cn+,-+G=2=32,n=5.Tx-xk25k/1kck102k3kx-xk105kTk+1=C5x(x3)=C5x=C5x,：展开式中的常数项为T3=C2=10.2,8.10253【解析】：:Tk+1=Cx(?)=Qx-2,由53k=2,：k=1,：x2的系数为10.令x=1得系数和为35=243.9.3【解析】：由T7=C923x号6=,.x=-1.3一,11.10.【解析】依题意,前三项系数的绝对值是1,d(2),d(2)2,一11212且2Cn,2=1+Cn(2),即n29n+8=0,：n=8(n=1舍去),1:展开式的第k+1项为d(、/x)8()24x,1、18-kk,iC8163k=(-2)C8-x-2-x-4=(-1)*x4(1)证实：假设第k+1项为常数项,一1163k当且仅当=0,即3k=16,kcz,.这不可能,：展开式中没有常数项.(2)假设第k+1项为有理项,当且仅当v0k2-幻*21幻)或所以L8,即不=*3二-2工子是系数免对值最大的项.(3)由于系数为正的项为奇数项,故可设第2k-1项系数最大,于是2k2222k2k2、k4242kk4205g2C20g3g22k2222k