人教版高中数学必修四平面向量导学案

1、第二章平面向量重点深化|b|;(3)a、b反向,且|a|b|;(2)a、b同向,且|a|v|b|;(3)a、b反向.iaabbrfi(D(2)(3)作法在平面上任取一点O,作OA=a,OB=b,那么前=ab.事实上ab可看作是a+(b),根据这个理解和a+b的作图方法不难作出a-b,作图如下：(1)、向量a、b不共线如果向量不共线,可以应用三角形法那么或平行四边形法那么作图例3如图,向量a、b.求作：a+b;(2)a-b.作法1(应用三角形法那么)(1)一般情况下,应在两向量所在的位置之外任取一点O.第一步：作OA=a,方法是将一个三角板的直角边与a重合,再将直尺一边与三角板的另一直角边重合,

2、最后将三角板拿开,放到一直角边过点O,一直角边与直尺的一边重合的位置,在此根底上取|OA|=|a|,并使OA与a同向.第二步：同第一步方法作出AB=b,一定要保证方向相同且长度相等.(此处最易错的是把AB作成与b的方向相反.)第三步：作Ofe,即连接OB,在B处打上箭头,OB即为a+b.作图如下：(2)第一步：在平面上a,b位置之外任取一点O;第二步：依照前面方法过O作OA=a,Ofe=b;第三步：连接AB,在A处加上箭头,向量BA即为a-b.作图如下：点评向量加法作图的特点是首尾相接,首尾连；向量减法作图的特点是共起点,连终点,箭头指被减.作法2(应用平行四边形法那么)在平面上任取一点A,以

3、点A为起点作AB=a,AD=b,以AB,AD为邻边作？ABCD,那么At=a+b,DB=ab.作图如下:HD点评向量的平行四边形法那么和三角法那么在本质上是一样的,但在解决某些问题时平行四边形法那么有一定的优越性,因此两种法那么都应熟练掌握向量和差作图,要注意的是保证所作向量与目标向量方向相同,长度相等,最忌讳的是作法不一,比方作法中要求的是作AB=b,可实际上作的是Afe=b.只要作图的过程与作法的每一步相对应,一定能作出正确的图形重点深化2向量线性运算的应用平面向量的线性运算包括加法、减法以及数乘运算,在解题中具有广泛的应用.在对向量实施线性运算时,要准确利用对应的运算法那么、运算律,注意

4、向量的大小和方向两个方面.一、化简例1化简以下各式：(1)(2AB-|=|viv2|3m-3|1V11V2|,9+i5+9m2化简得i8m2+9m2=0.解得m=2或m=136.点评一般地,设直线li：y=kix+bi,其方向向量为vi=(i,ki),直线上：y=k2x+b2,其方向向量为v2=(i,k2),当i+kik2=0时,两直线的夹角为90；当i+ki&wo时,设夹角为0,那么cos0=粤兽=,匕2；假设设直线11：Aix+Biy+Ci=0,其方向向量为一1V111V2|/i+k2-Vi+k2Bi,Ai,直线12：A2X+B2y+C2=0,其方向向量为B2,A2,那么cos0=|Ai4

5、+BiB2|/a2+b2、a2+B2二、直线的法向量1 .定义直线Ax+By+C=0的法向量：如果向量n与直线1垂直,那么称向量n为直线1的法向量.因此假设直线的方向向量为v,那么nv=0,从而对于直线Ax+By+C=0而言,其方向向量为v=(B,A),那么由于nv=0,于是可取n=(A,B).2 .应用(1)判断直线的位置关系例3直线1i：axy+2a=0与直线b：(2a-1)x+ay+a=0.假设1i12,求实数a的值；(2)假设1i/12,求实数a的值.解直线1i,12的法向量分别为ni=(a,1),n2=(2a-1,a),假设1i-L12,那么n1n2=a(2a1)+(1)刈=0,解得

6、a=0或a=1.-a=0或1时,1i_L12.假设11/12,那么n1/n2,a2(2a1)X1)=0.解得a=1=/2,且=w2：.a=一2a1a1班时,1i/12.点评一般地,设直线11:A1x+B1y+C1=0,12：A2x+B2y+C2=.,它们的法向量分别为n1=(Ai,Bi),n2=(A2,B2),当ni,n2,即A1A2+B1B2=0时,反之亦然；当n1/如,即AiB2A2B1=0时,11/12或11与12重合.(2)求点到直线的距离例4点M(x0,y0)为直线l：Ax+By+C=0外一点.求证：点M(x0,y.)到直线l的距离d=|Ax0+By0+C|,a2+b2-证实设P(x

7、i,yi)是直线Ax+By+C=0上任一点,n是直线l的一个法向量,不妨取n=(A,B).那么M(x0,如下图.y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d等于向量pM在n方向上投影的长度,d=|PMl|cos疝,n|PMn|n|MA十b|A(x0X计B(y0yi)a2+b2_|Ax0+By0(Axi+Byi)=/AB.丁点P(xi,yi)在直线l上,Axi+Byi+C=0,Axi+Byi=-C,|Axo+By0+C|/d=/AP.点评同理应用直线的法向量可以证实平行直线li：Ax+By+Ci=0与直线LAx+By+C2=0(A2+B2wo且Ci毛2)的距离为d=b2.证实过程如下：设Pi(xi

8、,yi),P2(x2,y2)分别为直线li：Ax+By+Ci=0,直线Ax+By+C2=0上任意两点,取直线li,%的一个法向量n=(A,B),那么*2=(x2xy2yi)在向量n上的投影的长度,就是两平行线l1、l2的距离.,IP1P2,n|d=|PiP211cosP1P2,n|=n|(x2xi,y2yiA,B,A2+B2,A2+B2|(Ax2+By2厂(Axi+Byi)|C2-Ci|/VB,a2+b,技巧点拨5向量法证实三点共线平面向量既具有数量特征,又具有图形特征,学习向量的应用,可以启发同学们从新的视角去分析、解决问题,有益于培养创新水平.下面就一道习题的应用探究为例进行说明.典例OB

9、=元A+QC,其中壮尸i.求证：a、b、c三点共线.思路通过向量共线如AB=kAC得三点共线.证实如图,由壮尸i得入=i丛那么oB=4A+QC=i力OA+QC.qB-oA=oC-oA,AB=pAC,A、B、C三点共线.思考i.此题揭示了证实三点共线的又一向量方法,点O具有灵活性；2 .反之也成立证实略：假设A、B、C三点共线,那么存在唯一实数对卜满足OB=OA+AC,且计尸i.揭示了三点共线的又一个性质；3 .特别地,壮产2时,OB=2oA+OC,点B为AC的中点,揭示了4OAC中线OB的一个向量公式,应用广泛.应用举例i例i如图,平行四边形ABCD中,点M是AB的中点,点N在BD上,且BN=

10、gBD.利用向量法证实：M、N、C三点共线.思路分析选择点B,只须证实BN=?BM+麻,且入+-1.证实由BD=BA+BC,又点N在BD上,且bn=bd,得BN=BD33=3(BA+f3C)=333BA+Bc.3又点M是AB的中点,.BMiEbA,即bA=2BMi.加等萧+嬴.233一21而+-=1.M、N、C二点共线.33点评证实过程比证实MN=mMC简洁.例2如图,平行四边形E,求证:1BE=4BA.思路分析可以借助向量知识,只需证实:Be=1BA,而bA=bO+bC,又o、d、e三点共线,存在唯一实数对人的4,be=?Bo+Bd,从而得到BE与BA的关系.证实由条件,BA=BO+BC,又

11、B、E、A三点共线,可设BE=kBA,那么Be=kBO+kBt,又O、E、D三点共线,那么存在唯一实数对入11,使BE=?BO+BD,且壮尸1.又由=3余,be=?bo+3阮,1_11根据得kk=1见解得入=134、计尸1,31-bE=4BA,1-BE=4-BA.点评借助向量知识,充分运用三点共线的向量性质解决问题,巧妙、简洁6平面向量中的三角形四心问题蠹点深豳在三角形中,四心是一组特殊的点,它们的向量表达形式具有许多重要的性质,在近年高皿一些新奇别致的问题,不仅考查了向量等知识点,还培养了考生分析问题、解决问题的水平.现就四心作如下介绍:1 .重心G是4ABC的重心时,有GA三角形三条中线的

12、交点叫重心,它到三角形顶点距离与该点到对边中央距离之比为2：1.在向量表达形式中,设点G是ABC所在平面内的一点,那么当点11d1-1-.一、.一、-,-一+GB+GC=0或PG=w(PA+PB+PC)(其中P为平面任意一点).反之,假设GA+GB+GC=0,3那么点G是4ABC的重心.在向量的坐标表示中,假设G,A,B,C分别是三角形的重心和三个顶点,且坐标分别为G(x,y),A(xi,yi),B(x2,Y2),C(x3,Ya),那么有X1+X2+X3x=,y=3y1+Y2+Y33例ABC内一点O满足关系qA+2OB+3(5C=0,试求SAboc:Sacoa:Saaob的值.解如图,延长OB

13、至B1,使BB1=OB,延长OC至C1,使CC1=2OC,连接AB1,AC1,B1C1.贝UOBOfe,001=300.由条件,得OA+0B1+001=0,.点0是AB1cl的重心.从而SAB10C1=SAC1OA=SAA0B1=1S,其中S表示AB1C1的面积.3SACOA=qS,9S/AOB=6S,c1A11A1_&boc=2s1Oc=2谆B10C1=S.于是SLboc:Sacoae_ASaaob1811=1：2：3.6点评此题条件OA+2Ofe+3OC=0与三角形的重心性质GA+GB+G0=0十分类似,因此我们通过添加辅助线,构造一个三角形,使点0成为辅助三角形的重心,而三角形的重心与顶点的连线将三角形的面积三等分,从而可求三局部的面积比引申推广4ABC内一点.满足关系6a+6b+?sOC=0,那么SABOC：S/xcoa：S/xaob=k：?2-h.2 .垂心三角形三条高线的交点叫垂心,它与顶点的连线垂直于对边.在向量表达形式中,假设H是ABC的垂心,那么HAHB=HBHC=HC公或心?十吃2=龟2+无2=十届2反之,假设HAHB=HBHC=HCHA,那么H是4ABC的垂心.3 .内心三角形三条内角平分线的交点叫内心.内心就是三角形内切圆的圆心,它到三角形三边的距离相等.在向量表达形式中,假设点I是