圆锥曲线的专题(求离心率地值、离心率地取值范围)

1、实用标准文案圆锥曲线专题求离心率的值师生互动环节讲课内容：历年高考或模拟试题关于离心率的求值问题分类精析与方法归纳点拨。策略一：根据定义式求离心率的值在椭圆或双曲线中，如果能求出a、c的值，可以直接代公式求离心率；如果不能得到a、c的值，也可以通过整体法求离心率：椭圆中e = c = jlb2；双曲线中e=£ = J+2 .所以只a aa V a要求出b值即可求离心率.a22例1. (2010年全国卷2)己知斜率为1的直线l与双曲线C： x-yI=1(a> 0, b> 0)相交于 a bB、D两点，且BD的中点为M (1,3),求曲线C的离心率.解析：如图，设B(X1，y

2、J、D(w0 g/ 22X2，y2),则12 a久;1b22 X22 a2幺=1b2-整理得(Xi -X2)(Xi X2) (yi -Y2)(Yi y2)b2又因为 M(1,3)为 BD 的中点，则 X+X2=2,y +y2=6,且 X1 # X2 ,代入得kBD =212=旦=1,解得 b2=3,所以 e=JiZb2 = j173 = 2.x1 -x23aaa方法点拨：此题通过点差法建立了关于斜率与b的关系，解得b2的值，从而整体代入求出离 aa心率e.当然此题还可以通过联立直线与曲线的方程，根据韦达定理可得xi +X2 =邛（a,b）,b2甲（a,b） =2或者y1+y2 =m（a,b）

3、, m（a,b） =6从而解出一的值,最后求得离心率. a【同类题型强化训练】1 .（呼市二中模拟）已知中心在原点，焦点在 x轴上的双曲线的渐近线方程为2x±3y = 0,则双曲线的离心率为（A*13 B.2p 15C.310 D. 2精彩文档2 .（衡水中学模拟）已知中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与圆（x-2）2 + （y-1）2 = r2交于1A、B两点，AB恰是该圆的直径，且直线 AB的斜率k =-,求椭圆的离心率.23 .（母题）已知双曲线C：2-y2=1（m>0）,双曲线上一动点P到两条渐近线的距离乘积为-, m2求曲线C的离心率.【强化训练答案】1 .答案：由双曲

4、线焦点在x上，则渐近线方程bx士ay =0 ,又题设条件中的渐近线方程为2x±3y=。，比较可得b 一,贝味 1+耳=；1+4=星 a 3,a2 93222 .答案：设椭圆方程为 +4=1（a AbA。），A（x1，yJB（x2，y2）,则 a bx1y1十22a b=122乂2y2 =122a b-整理得（x1 -x*1 +刈）+ （必一力）。+力）=0 a2b2因为AB恰是该圆的直径，故 AB的中点为圆心（2,1）,且x1#x2则%+*2=4,%+丫2=2,代入式整理得卜=比二在2b22x1 一乂2a直线AB的斜率k = -1 ,所以k =22b21b21,解得M所以离心率e =

5、 ca21；1-13.答案：曲线C的渐近线方程分别为l1 ：x + Jmy =。和I2 ：x-4my = o ,设P(x0,yo),则点P(x°, y°)到直线11的距离d1xo 十，my。点P(xO, yo)到直线%的距离d2xo -v'myo.1mXodi d2 二v myo Xomyo因为P(xo, yo)在曲线C上，所以x； -my； = m,故d1心=所以e =、.2.策略二：构造a,c的关系式求离心率根据题设条件，借助a,b,c之间的关系，沟通a、c的关系(特别是齐次式)，进而得到关于e的一元方程，从而解方程得出离心率 e. 22例2.已知弓下2是双曲线

6、 5-乌=1(ao,bAo)的两焦点，以线段 F1F2为边作正三角形 a bMF1F2,若边MF1的中点P在双曲线上，求双曲线的离心率.解析：如图1, MF1的中点为P ,则点P的横坐标为-.21 一由 PF = F1F2 =c , 2焦半径公式PFi = exp a士 c , c、有 c = - X（_-）a , a 2即 c2 -2a2 -2ac = 0有 e2 _2e _2=0解得e =1+73,或e=1j3 （舍去）方法点拨：此题根据条件构造关于a,c的齐次式，通过齐次式结合离心率的定义 e = £整理成 a关于e的一元方程，从而解出离心率的值.注意解出的结果要做验证，取符合

7、离心率的范围的结果：时圆（0,1）,e双曲线（1,:）.【同类题型强化训练】1. （2011新课标）已知直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A、B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（）A. ,2B.、3C. 2D.3222. （2008浙江）若双曲线 j-4=1的两个焦点到一条准线的距离之比为 3: 2,则双曲线的 a b离心率是（）A3B.5C. ,3D.、5【同类题型强化训练答案】 2c2 -2a2一 l1 .答案：依据题意|ab=2a,解得e = V2.22.答案：依据题意(c+a-):(c c2)=3:2,整理得 c2=3a2,所以 e = _c =

8、 T3.策略三：根据圆锥曲线的统一定义求离心率(第二定义)由圆锥曲线的第二定义，知离心率 e是动点到焦点的距离和动点到准线的距离之比，适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题，即MF2 2例3. (2010年辽宁卷)设椭圆C:与+4=1(a >b >0)的左焦点为F ,过点F的直线与椭圆C a b相交于A, B两点，直线l的倾斜角为60 t AF =2FB ,求椭圆C的离心率.解法一：作椭圆的左准线AB',过A作AB，的垂线，垂足为A;过B作BB，的垂线，垂足为B1 过B作AA，的垂线，垂足为M .如图2.由图，由椭圆的第二定义，则AF:=e =AAAA =AA': BB

9、'=AFAFBFBF,=e= BB，= BB2=1= AA =2BBBF且BM 1 AA；所以M是AA'的中点又因为直线l的倾斜角为60°,即/BAM =/AFx = 60>所以在 RtABAM 中，AB=2AM =|AA M：e =AFAB|aa3 |ab解法二：设 A(Xi,yi),B(X2,y2),由题意知 必<0, y2 >0.直线l的方程为y=V3(x-c),其中c = Ja2 b2 .y = .3(x-c),_联立、/2得(3a2+b2)y2+2婷2cy3b4 =0土 上=1a2 b2解得y1 =-,3b2(c 2a)-,3b2(c-2a

10、)_ 223a b_ 223a b因为 AF =2FB , 所以 - y1 = 2 y2.3b2(c 2a)八-,3b2(c-2a)即 2 -2 - 2 ' 2 23ab3ab得离心率 e =-.a 3方法点拨：该题对于课标地区选择第二种代数法处理，对于自主命题对圆锥曲线的第二定义 要求的地区，两种方法都可以给学生讲讲。对于方法一：需要清晰的思路，敏捷的思维，对 计算要求不高；对于方法二：对学生的计算能力有较高的要求，重在计算。【同类题型强化训练】22一1. (2010全国卷二)已知椭圆C:三十，=1(a> b> 0)的离心率为乂3,过右焦点F且斜率为k(k> 0)

11、a2 b22 . 一 的直线与C相交于A B两点.若AF =3FB，则k =()A. 1B. .2C, 3D.22.已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D ,且BF =2fD,则c的离心率为.【强化训练答案】1 .答案：设直线l为椭圆的右准线，e为离心率，过A、B分别作AA, BB'垂直于l , A'、B' 为垂足，过B作BE垂直于AA'与M ,如图3所示，由椭圆第二定义，则AF,BB'=所以 cos BAE 二BF,由 AF=3FB,得 AA，=3BF eAEAB2|BF|4eBF12etan /BAE = J-11=

12、& ,所以 k = <2 .故选 B .:cos . BAE2 .答案：方法一：如图4, | BF | = Jb方法二：设椭圆方程为：第一标准形式，F分线段BD所成的比为 +c2作DDi _Ly轴于点D',则由BF =2FD ,得|OF|DD |BF|BD|=2,所以 |DD=3|OF |=-c,3223c,由椭圆的第二定义得|FD吟3c3c22a.一3c2 0°又由 | BF |=2| FD |,得 c = 2a工，整理得 3c2 2a2 +ac = 0.a2两边都除以a2,得3e2 +e-2 = 0，解得e = 1（舍去），或e =2,30 2x2b 2y2

13、3yc -b 3 0-b9 c24 a24b2课时2、离心率的取值范围一、师生互动环节讲课内容：历年高考或模拟试题关于离心率的取值范围问题分类精析与方法归纳点拨。策略一：利用曲线中变量的范围求离心率的范围22用曲线中变量的范围，在椭圆 二十4= i（a>b>0） a b中，-aMx wa ；在双曲线中22x y=1( a > 0, b >0)中， x<-ax>a.a b22例1.设椭圆二十 0 = i（a >b >0）的左、右焦点分别为E、 a bF2 ,如果椭圆上存在点P ,使/F1PF2 =90 °,求离心率e的取值范围.解析：设

14、P(x, y),又知 F1( c,0 ) , F2(c,0)，则FP=(x+c,y), F2P = (x-c,y)因为 NF1PF2 =90 ) 则 F1P _L F2P ,即 F1P F2P = (x+c)(xc) + y2 =0所以 x2 y2 =c222二上-1a2b2,消y ,解得x222x y =c2 22, 22 _ a c -a b2 Z2-a - b又因为 NF1PF2 =90 °,故 0 Ex2 <a2 ,2 22 2即0用川川解不等式，结合椭圆的离心率范围为_ 八-、-.2e=(0,1),可得 e,1).2方法点拨：由题知-a<x<a,根据限制条

15、件用a,b,c表示x,即x =Ra,b,c）,然后代入不等 式-a <<P（a,b,c） <a ,结合a2 =b2 +c2整理得关于a,c的齐次不等式，从而求出离心率的取值范围.当然此题解决的办法绝不止这一种，根据几何关系或基本不等式等都能很好的解决.【同类题型强化训练】221. （2007湖南）设F1, F2分别是椭圆 卷+4=1 （a>b>0）的左、右焦点，若在其右准线 a b上存在点P,使线段PF1的中垂线过点F2,则椭圆离心率的取值范围是（）a。,5B10旬C.除D.卢1I 一 I AF2| =- -c, c因为线段PR的中垂线过点F2,则 "2

16、I = F1F2I固AF2PF2I = F1F2 =2c,即 2c 2 a-c,解得 eS,+oc) c3又椭圆的离心率ew（0,1）,综上2.答案：FF2分别为左右焦点，设P（x°,y°）在双曲线的右支上，则PF1 =ex0 +a, PF2 =ex0 a ,一. .- 3a由 PF1 =2PF2 ,则 ex0+a =2(e% a)解彳#x0= 一 _,2 J1 3 .，1222.（2008福建）双曲线与一4=1 （a>0,bA0）的两个焦点为 F1、F2,若P为其上一点，且 a bPF1 =2PF2，则双曲线离心率的取值范围为（A.(1,3)B. 1,31C.（3,

17、十 二）D. 3,二223. （2010四川）椭圆 斗+1=1侬2：>0）的右焦点F ,其右准线与x轴的交点为A,在椭圆 a b上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F ,则椭圆离心率的取值范围是（）5*u.c o*mA. 0,JB. 0,1C. .2-1,1D. 1,12. 2-_2【强化训练答案】1.答案：如图,因为P（Xo, y。）在双曲线的右支上,3.答案：由题意，椭圆上存在点一 3a则X0之a ,即之a ,解得1<e<3.e即F点到P点与A点的距离相等ww w. k#s5u.c o*m2,2TTw i- aabi*叩 FA =c = w_w_w.k* cc一 一b2

18、于是 一 wa-c, a+c即 cPF wac,a+c2ac -c22a -c22< a -c 2 =< ac c 一%-万w* 1一,1又 ew(0,1),故 ew,1).2策略二:正、余弦定理在求离心率范围问题中的应用22例1.已知F1、F2为椭圆与+/=1（a Ab0）的焦点,a b为椭圆上一点，/F1MF2 =60=,则椭圆的离心率的范围为解析：如图，M为椭圆上一点，设M（xo,y。），则MF1 =a+ex0,MF2 =aex0cos60 =在amfF2中，由余弦定理，则1MF12 + MF22|MF1MMF212MF1 + MF2 =2a一P ,使得线段AP的垂直平分线过

19、点F ,4 2 _ 2联立解得X2 = c ；a，因为在椭圆中0Ex2<a2,则3e4 c2 a2c10工丁<心解不等式得ew?）.方法点拨：根据正、余弦定理结合椭圆的焦半径公式，用 a,c表示,即x0 = (a,c),根据变 量a E中(a,c) wa解出离心率，但是此题要构成 AMFR,故点M不能在x轴上，所以此题 -a <(a,c) <2结合椭圆ew (0,1)的范围可求出离心率的范围.【自我评价】 221 .已知椭圆。+4=19AbA0)的左右焦点分别为Fi(-c,0)、F2(c,0),若椭圆上存在点P使 a2 b2sin. PF1F2sin PF2F1,则该椭

20、圆离心率的取值范围为2 .(衡水调研卷)从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是3b2,4b2,则椭圆离心率的取值范围是223 .椭圆>+%=1(a >b>0)的焦点为F1，F2 ,两条准线与x轴的交点分别为 M, N ,若 a bMN|< 2F1F2I ,则该椭圆离心率的取值范围是(A，0,1 1B10, C. 111 I12121【自我评价答案】1 .答案：如图，在AFiPFz中，由正弦定理，则PFj_IPF2I, sin/PF1F2|PFisin/PF1F2 -sin/PF2F1r sin/PF2F1 一 |PF2T7acsin

21、-PF1 F2a又=-=一sinPF1F2sin PF2F1sin PF2F1c所以2 =空c PF2,且一a<x<a,则a - ex a(ac-a ) x 二2 a ex ac c2 -a<a(ac a2)Ma,解不等式得 e>q2 1或 e<J21 (舍去) ac c又椭圆的离心率ew (0,1),综上所述ew (V2 -1,1).222 .答案：设椭圆的标准方程为2+-y2- =1(a>b>0) a b在第一象限内取点(,外)，由椭圆的参数方程知/O=acose(0<0<-) y0 = bsin82则椭圆的内接矩形长为2acos日，宽

22、为2bsin日，所以内接矩形面积为4abcosisin? -2absin2i面积的取值范围为3b2,4b2,则 3b2 «2absin 28 42ab«4b2所以 3b2 M2ab <4b2,即 3b <2a <4b ,不等式同时平方得 9b2 <4a2 <16b2 ,即 9(a2-c2) M4a2 M16(a2 -不)且$ = « a整理解得e 323 .答案：D.【本课总结】对于求离心率问题常常有以下办法1 .直接求出a,c,或求出b ,代公式圆=£=J1-与，e双曲线=£ =t：1+b求解. aa aa a常

23、见的与b相关的一些题设条件： a22设AB是椭圆 得+ %=1(a Ab>0)的一条弦，且M (x0,y。)为弦AB的中点，则AB所在的直 a b线方程的斜率kAB =辂;a V。的直线方程的斜率kAB = Ex0 ；a V。双曲线的渐近线方程y = ±bx或y=±ax.ab2 .构造关于a,c的方程或不等式，利用离心率 e = £转化成关于e的一元方程或不等式求值或 a求范围.3 .根据圆锥曲线的第二定义e="匚(到定点的距离比上到定直线的距离等于离心率)可以 d求离心率的值.4 .根据正、余弦定理或借助于椭圆、双曲线的焦半径公式得到x0=<

24、;P(a,b,c), (x。为曲线上的点的横坐标)，再根据曲线中x。的取值范围可求离心率的取值范围.5 .对于求离心率的范围问题，其本质在曲线中变量的范围，通过变量的范围构造不等式解不等式即可.圆锥曲线离心率家庭作业1.若双曲线x2+ky2 =1的离心率是2,则实数k的值是(A. -3C. 3D.-3222.椭圆 +方=1 (a >b>0)的两个焦点分别为F、F2,以匕、F2为边作正三角形，若椭 a b圆恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率e为()A. 31B . 石-1 C . 4(2-73) D . 3224223.已知双曲线 含-4=1(a >0,b>0)的左、

25、右焦点分别为F1,F2,若在双曲线的右支上存在 a b一点P,使得|PF1 =3PF2 ,则双曲线的离心率e的取值范围为.4 .已知双曲线2 x 2 F - y a=1 (a>0)的一条准线与抛物线y2 = 6x的准线重合，则该双曲线的离心率为(3B.2,6C.5D.5 .若椭圆经过原点，且焦点为 。,0)、F2(3,0),则其离心率为(2B. 31C. 2D.6 .如果双曲线的实半轴长为2,焦距为6,那么双曲线的离心率为(B.-62c. 32D. 2227.点P (-3,1)在椭圆、+4=1 ( a>b>0)的左准线上，过点P且方向为4=(2,-5)的光 a b线，经直线y

26、 = -2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为(2 C.2D.-28.已知F1、F2是双曲线冬- a2=1 (a>0,b>0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形 b2MF1F2,若边MFi的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是(A. 4 2 3B. "v 3 _ 13 1CTD. V3+i9.设双曲线2 x2 ay b2=1 (0<a<b)的半焦距为c,直线l过(a,0), (0,b)两点.已知原点到直线的距离为3 一，c,则双曲线的离心率为()4B. 3C. .210.双曲线虚轴的一个端点为两个焦点为Fi、F2, /FiMF2=120°,

27、则双曲线的离心率A .36B. 6 6 6c.3211 .设椭圆的两个焦点分别为Fi、F2 ,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若AFiPF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是。 2212 .设椭圆x24=1 ( a >0,b >0)的右焦点为E,右准线为li ,若过Fi且垂直于x轴的弦 a b的长等于点Fi至“1的距离，则椭圆的离心率是 ,13.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为圆的离心率为()<2 ,焦点到相应准线的距离为1,则该椭A.，21C.22 D-T/ 冗、14 .设0,则二次曲线x2cote - y2tane =1的离心率的取值范围为()1 4；11v

28、'2f<2、g 、A. B.一， C. ,2 D.(2,8)2 <22 )I 2J15.如图，已知梯形ABCD中，AB| =2CD，点E分有向线段AC所成的比为九，双曲线过C、23 .D、E三点，且以A、B为焦点.当时，求双曲线离心率e的取值范围34【家庭作业参考答案】b21 .答案：先将方程化成标准形式，然后确定a2、b2,再根据2=$2-1求出k的值.故选B. a2 .答案：设点P为椭圆上且平分正三角形一边的点，如图, 由平面几何知识可得IPF2IJPF1 |:|EF2|=1： J3：2, 所以由椭圆的定义及e=°得：a2c e =2aIF1F2IIPFil

29、IPF2I = .3 13 .答案：如图，由PR =3PF2及双曲线第一定义式|PE|-|PF2| = 2a,得: |PFi| = 3a , |PF2| = a ,又 |FiF21 = 2c .因为点P在右支上运动,所以| PFi |+|PF2回F1F2 |,得 4a 之 2c,即 cw2,又 e>1,故填 1<eE2. a224 .答案：抛物线y2 =4x的准线是x=9 ,即双曲线的右准线x=J = J= 3，则2c c 22c2 -3c -2=0,解得 c=2, a=j3, e=c = 3虫，故选 D. a 35 .答案:由 F1（1,0 1 F2（3,0）知 2c = 3-1

30、 ,，c=1 ,又二.椭圆过原点，a-c = 1, a + c = 3,一.、 c 1.a=2, c=1,所以离心率e =一.故选Ca 26 .答案：由题设a =2, 2c = 6,则c=3, e=£=°,因此选C. a 257 .答案：由题意知，入射光线为y1 = (x + 3 ),关于y = 2的反射光线(对称关系)为2.3J=3。5x-2y +5=0,贝U c解得 a = J3 ,-5c + 5 = 0c8 .答案：如图，设MF1的中点为P ,则P的横坐标为-,由焦半径公式PFi=exp -a ,即c = -c a-i-a ,得< 2J '2c 1一<a-2 - )-2 =0,解得e =c =1 +V3( i _.3舍去) a故选D.M又c29 .答案：由已知，直线l的方程为bx+ay -ab = 0 ,由点到直线的距离公式，得ab一 ,a2 b2=a2 +b2,4