2017年上海市长宁区高考数学一模试卷

1、2017年上海市长宁区高考数学一模试卷一、填空题(共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分)1. (4 分)设集合 A=刈 x- 2| 0)的最小正周期是 冗，则.33. (4分)设i为虚数单位，在复平面上，复数 -对应的点到原点的距离 (2-i )2为.4. (4分)若函数f (x) =log2 (x+1) +a的反函数的图象经过点(4, 1),则实数a=.5. (4分)已知(a+3b) n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为 64,贝U n=.6. (4分)甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有 种.7. (5分)若圆锥

2、的侧面展开图是半径为 2cm,圆心角为270的扇形，则这个圆锥的体积为 cm3.8. (5分)若数列an的所有项都是正数，且,瓜+於+.届=n2+3n (nCN*),一.1 a1贝U Urny (-Z-+-Z-+9. (5 分)如图，在 ABC中，/B=45, D 是 BC边上的一点，AD=5, AC=7, DC=3则AB的长为BD C10. (5分)有以下命题：若函数f (x)既是奇函数又是偶函数，则f (x)的值域为0;若函数f (x)是偶函数，则f (|x|) =f (x);若函数f (x)在其定义域内不是单调函数，则 f (x)不存在反函数；若函数f (x)存在反函数f1 (x),且f

3、1 (x)与f (x)不完全相同，则f (x) 与f-1 (x)图象的公共点必在直线y=x上;其中真命题的序号是 .(写出所有真命题的序号)11. (5分)设向量 0A= (1, -2), 0B= (a, - 1), 0C= ( - b, 0),其中 O为坐标原点，a0, b0,若A、B、C三点共线，则1+2的最小值为.a b12. (5分)如图，已知正三棱柱 ABC- A1B1C1的底面边长为2cm,高为5cm, 一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为 cm.B二、选择题(共4小题，每小题5分，满分20分)13. (5 分)& 2”是 “24”的()A.充分非必

4、要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件14. (5分)若无穷等差数列an的首项为0,an的前n项和为 则以下结论中一定正确的是()A. Sn单调递增B. Sn单调递减C &有最小值D. &有最大值15. (5分)给出下列命题：(1)存在实数a使min。a.(2)直线是函数y=sinx图象的一条对称轴.(3) y=cos (cosX) (xCR)的值域是cos1, 1.(4)若a, B都是第一象限角，且 a B,则tan atan自其中正确命题的题号为()A. (1) (2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(1)(4)第1页(共20页)16. （5分）如果对一切实数x、

5、y,不等式工-cos2xasinx-旦恒成立，则实数a 4y的取值范围是（）A. （-OO,3 B. 3, +8） C. -2亚，26D. -3, 3 3三、解答题（共5小题，满分76分）17. （14分）如图，已知 ABL平面BCD BCCD, AD与平面BCD所成的角为30,且 AB=BC=2（1）求三棱锥A-BCD的体积；（2）设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小（结果用反三角函 数值表示）.18.（14分）在4ABC中，a, b,c分别是角A,B, C的对边,且8sin2吟-2es2A=7.（I）求角A的大小；（II） 若 a=, b+c=3,求 b 和 c 的值.19.

6、 （14分）某地要建造一个边长为2（单位：km）的正方形市民休闲公园OABC 将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1, 2）,曲线OD是函数y=a/图象的一部分，对边OA上一点M在区域OABD 内作一次函数y=kx+b（k0）的图象，与线段DB交于点N （点N不与点D重合）， 且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P,四边形MABN为绿化风景区：1 2（1）求证：b=-;（2）设点P的横坐标为t,用t表示M、N两点坐标；将四边形MABN的面 积S表示成关于t的函数S=S （t）,并求S的最大值.O 37 A x20. (16分)已知函数 f (x) =9x

7、-2a?3x+3:(1)若 a=1, xC 0, 1时，求 f (x)的值域；(2)当xC - 1, 1时，求f (x)的最小值h (a);(3)是否存在实数 m、n,同时满足下列条件：nm3;当h (a)的定 义域为m, n时，其值域为m2, n2,若存在，求出m、n的值，若不存在， 请说明理由.21. (18分)已知无穷数列an的各项都是正数，其前n项和为且满足：a尸a, r&=anan+1 1,其中 a* 1,常数 rCN；(1)求证：4+2-an是一个定值；(2)若数列an是一个周期数列(存在正整数使得对任意n C N*,都有an+T=an 成立，则称an为周期数列，T为它的一个周期，

8、求该数列的最小周期；(3)若数列an是各项均为有理数的等差数列，Cn=2?y-1 (nCN*),问：数列 5中的所有项是否都是数列2中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出 反例.第7页（共20页）2017年上海市长宁区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. （4 分）设集合 A=刈 x- 2| 1, xCR,集合 B=Z, WJ AH B= 2.【分析】利用交集定义求解.【解答】解：| x 2| 1 ,即1x- 2 1,解得 1x0）的最小正周期是 冗，则j二2【分析】根据三角函数的周期性及其求法即可求值.【解答】解：= y

9、=sin （ cox等）（0）,1.1- T=T =砥故答案是：2.【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基础题.3. （4分）设i为虚数单位，在复平面上，复数 对应的点到原点的距离为（2-i ） 2【分析】利用复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式即可得出.【解答】解：复数3 . 3(3+4i) 一升(2-i )z 3-4f (3-4i) C3+4i)25对应的点（女,蓑）到原点的距离力续）2+（圣产_|.故答案为：2.5【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式，考查了 推理能力与计算能力，属于中档题.4. (4分)若函数f (x) =log2 (x

10、+1) +a的反函数的图象经过点(4, 1),则实数a= 3 .【分析】由题意可得函数f (x) =log2 (x+1) +a过(1, 4),代入求得a的值.【解答】解：函数f (x) =log2 (x+1) +a的反函数的图象经过点(4, 1),即函数f (x) =log2 (x+1) +a的图象经过点(1,4),4=log2 (1+1) +a4=1+a,a=3.故答案为：3.【点评】本题考查了互为反函数的两个函数之间的关系与应用问题，属于基础题.5. (4分)已知(a+3b) n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为 64,则 n= 6 .【分析】令二项式中的a=b=1得到展开式

11、中的各项系数的和，根据二项式系数和 公式得到各项二项式系数的和2n，据已知列出方程求出n的值.【解答】解：令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和4n又各项二项式系数的和为2n据题意得二64,解得n=6.2n故答案：6【点评】求二项展开式的系数和问题一般通过赋值求出系数和；二项式系数和为2n.属于基础题.6. (4分)甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程 中恰有1门相同的选法有 60手中.【分析】间接法：先求所有两人各选修2门的种数，冉求两人所选两门都相 同与都不同的种数，作差可得答案.【解答】解：根据题意，采用间接法：由题意可得，所有两人各选修 2门的种数C5

12、2C52=10O,两人所选两门都相同的有为 C52=1O种，都不同的种数为C52C32=30,故只恰好有1门相同的选法有100- 10- 30=60种.故答案为60.【点评】本题考查组合公式的运用，解题时注意事件之间的关系，选用间接法是 解决本题的关键，属中档题.7. （5分）若圆锥的侧面展开图是半径为 2cm,圆心角为270的扇形，则这个圆 锥的体积为短兀cm3. 8【分析】利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得底面半径， 进而求出圆锥的高，代入圆锥体积公式，可得答案.【解答】解：设此圆锥的底面半径为r,由题意，得：2 7 r= ttX 2,2，解得r得.故圆锥的高h=J1年

13、书，圆锥的体积V冗2h二八兀cm3.38故答案为：耳之兀.此扇形的弧长【点评】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形, 等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.本题就是把扇形的弧长等 于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解.8. （5分）若数列2的所有项都是正数，且,凡+J耳+mn2+3n （nCN*）,则 . h T8【分析】利用数列递推关系可得an,再利用等差数列的求和公式、极限的运算性 质即可得出.【解答】解：:匹+4+一+口=/+3门(n C N*), ；n=1时，匹 =4,解得a1=16.n2 时，且历+如+= (n-1) 2+3 (n-1),可得：几=2n+2,

14、；an=4 (n+1) 2.-=4 (n+1).n+1n(2+n+l),1 /J & ?lim-+,L8 n / J故答案为：2.【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的求和公式、极限运算性质，考查 了推理能力与计算能力，属于中档题.9. （5 分）如图，在 ABC中，/B=45, D 是 BC边上的一点，AD=5, AC=7, DC=3 则AB的长为士国 . 2 【分析】先根据余弦定理求出/ ADC的值，即可得到/ADB的值，最后根据正弦定理可得答案.【解答】解：在4ADC中，AD=5, AC=7, DC=3,由余弦定理得cos/ ADC=，： |1 H：，2AD-DC ./ADC=120

15、, /ADB=60在 ABD中，AD=5, /B=45, / ADB=60 ,由正弦定理得ABADsin/ADB sinB .AB= 2故答案为：【点评】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用， 在解决问题的过程中要灵活 运用正弦定理和余弦定理.属基础题.10. (5分)有以下命题：若函数f (x)既是奇函数又是偶函数，则f (x)的值域为0;若函数f (x)是偶函数，则f (|x|) =f (x);若函数f (x)在其定义域内不是单调函数，则 f (x)不存在反函数；若函数f (x)存在反函数f1 (x),且f1 (x)与f (x)不完全相同，则f (x)与f1 (x)图象的公共点必在直线y=

16、x上；其中真命题的序号是 .(写出所有真命题的序号)【分析】函数f (x)既是奇函数又是偶函数，则f (x) =0.利用偶函数的定 义和性质判断.利用单调函数的定义进行判断.利用反函数的性质进行判断.【解答】解：若函数f (x)既是奇函数又是偶函数，则f (x) =0,为常数函数， 所以f (x)的值域是0,所以正确.若函数为偶函数，则f ( - x) =f (x),所以f (|x|)=f (x)成立，所以正确.因为函数f (x)在定义域上不单调，但函数f (x)存在反函数，所以错 X误.原函数图象与其反函数图象的交点关于直线 y=x对称，但不一定在直线y=x上, 比如函数y二-4百与其反函数

17、y=x2- 1 (x00)的交点坐标有(-1, 0), (0, 1), 显然交点不在直线y=x上，所以错误.故答案为：.【点评】本题主要考查函数的有关性质的判定和应用， 要求熟练掌握相应的函数 的性质，综合性较强.11. (5分)设向量 0A= (1, - 2), 0B= (a, - 1), 0C= ( - b, 0),其中 O为坐标原点，a0, b0,若A、B、C三点共线，则一2的最小俏为 8 . a b【分析】A、B、C三点共线，则靛=就，化简可得2a+b=1.根据工名=(工在) a b a b(2a+b),利用基本不等式求得它的最小值【解答】解：向量祢=(1, - 2), 0B= (a,

18、 - 1), 0C= ( - b, 0),其中。为坐标原点，a0, b0,AB=OB- 0A= (a-1, 1), AC=OC- 0A= (-b-1, 2),.A、B、C三点共线，AB=XAC,11二 2 K解得 2a+b=1,.UZ= (-L+2) (2a+b) =2+2也 +至14+2 叵:至=8,当且仅当 a=L, b=l, a b a ba b v a b42取等号，故工+2的最小值为8, a b故答案为：8【点评】本题主要考查两个向量共线的性质， 两个向量坐标形式的运算，基本不 等式的应用，属于中档题.12. (5分)如图，已知正三棱柱 ABC- A1B1C1的底面边长为2cm,高为

19、5cm, 一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达 A1点的最短路线的长为13 cm.B【分析】将三棱柱展开两次如图，不难发现最短距离是六个矩形对角线的连线， 正好相当于绕三棱柱转两次的最短路径.【解答】解：将正三棱柱ABC- A1B1G沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图第11页(共20页)如图所示,也即为三棱柱的侧面上由已知求得矩形的长等于6X2=12,宽等于5,由勾股定理d=7122 + 52=13故答案为：13.【点评】本题考查棱柱的结构特征，空间想象能力，几何体的展开与折叠，体现 了转化（空间问题转化为平面问题，化曲为直）的思想方法.二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分

20、）13. （5 分）& 2”是 “24”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【分析】先求出x24的充要条件，结合集合的包含关系判断即可.【解答】解：由x24,解得：-2Vx2,故x 2是x2 4的必要不充分条件，故选：B.【点评】本题考察了充分必要条件，考察集合的包含关系，是一道基础题.14. （5分）若无穷等差数列an的首项ai0,a3的前n项和为&, 则以下结论中一定正确的是（）a. sn单调递增b. Sn单调递减c s有最小值d. sn有最大值【分析】&二白+叱1）d=1n2+冬n,利用二次函数的单调性即可判断出结 论.【解答】解：Sn=nai+

21、星正D_d曼n2+(a且)n, 221 2且0,为有最小化2故选：C.【点评】本题考查了等差数列的求和公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.15. (5分)给出下列命题：(1)存在实数 a使sind+c口s。奇.(2)直线笈二是函数y=sinx图象的一条对称轴.2(3) y=cos (cosX) (xCR)的值域是cosl, 1.(4)若a, B都是第一象限角，且 a B,则tan atan自其中正确命题的题号为()A. (1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D. (1)(4)【分析】(1)利用辅助角公式将sin(口可判断(1)；(2)根据函数y=sinx图象的对

22、称轴方程可判断(2)；(3)根据余弦函数的性质可求出y=cos (cosx) (x R)的最大值与最小值，从而可判断(3)的正误；(4)用特值法令a, B都是第一象限角，且a 就可判断(4).【解答】解：(1) sinQ+口口5 (n T, ( 1)错误；(2) .y=sinx图象的对称轴方程为x=kn+g(kZ), k=- 1,彳，：(2)正确；(3)根据余弦函数的性质可得 y=cos (cosx)的最大值为ymax=COS0=1, ymin=cos(cos1),其值域是cos1, 1, (3)正确；(4)不妨令d凄兀，6二二，满足% B都是第一象限角，且 aB, 1 tana 43asin

23、x+1 - sin2x包成 4y4 y立，构造函数f (y) =+1,利用基本不等式可求得f (y) min=3,于是问题转化 4 y为 asinx- sin2x 0、sinx0 时，f (y) =+-9 ji=3 (当且仅当 y=6 时取 =,f (y) min=3;4 y Y 4 p当 y0 时，f (y) =X+2 - 2(JL)/(-2)= - 3 (当且仅当 y= -6 时取 =,f(y) max=一 3, f (y) min 不存在；综上所述,f (y) min=3.所以，asinx+1 - sin2x3,即 asinx- sin2x0, asinx+恒成立，令 sinx=t,贝

24、0t 1,再令 g (t) =t+2 (0 sinxtt1),则 aWg (t) min.一，9由于 g (t) =1 彳0,所以，g (t) =t+1在区间(0, 1上单调递减，因此，g (t) min=g (1) =3,所以a3;若sinxsinx-恒成立，同理可得ai -3;sinx若sinx=0, 002恒成立，故aC R；综合，-3a0）的图象，与线段DB交于点N （点N不与点D重合）， 且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P,四边形MABN为绿化风景区： 1r2（1）求证：b=-二 DN B（2）设点P的横坐标为t,用t表示M、N两点坐标；将四边形MABN的面 积S表示成关于t的

25、函数S=S （t）,并求S的最大值.A x【分析】（1）根据函数y=aX2过点D,求出解析式y=2X2；t fy=kx+b t r“ r由 ？消去y,利用 =0证明结论成立；（2）写出点P的坐标（t, 2t2）,代入直线MN的方程，用t表示出直线方程, 利用直线方程求出M、N的坐标；将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S （t）,利用基本不等式即可求出S的最大值.【解答】(1)证明：函数y=ax2过点D (1, 2),代入计算得a=2,y=2X2 ；由(尸人?，消去y得2x2 -kx-b=0,I尸2/由线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P, 得=(k) 2-4X2X b=0,i 2解得

26、b=;8(2)解：设点P的横坐标为t,则0t1,二点 P (t, 2t2);直线MN的方程为y=kx+b,1 2即y=kx-工J过点P,82kt-=2t2,3解得k=4t;y=4tx - 2t2令 y=0,解得 x* ；M (y, 0)；WM令y=2,解得x1+工，. N (工+工，2);2 2t2 2t将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数为S=S=2X2-yX2X+ 弓仔)=4 (t+-),其中 0tm3;当h (a)的定 义域为m, n时，其值域为m2, n2,若存在，求出m、n的值，若不存在， 请说明理由.【分析】(1)设t=3x,则小(t) =t2 - 2at+3= (t-a)

27、2+3-a2,小(t)的对称轴为 t=a,当a=1时，即可求出f (x)的值域；(2)由函数小(t)的对称轴为t=a,分类讨论当a3时，求出最小值，则h (a)的表达式可求；(3)假设满足题意的m, n存在，函数h (a)在(3, +00)上是减函数，求出 h (a)的定义域，值域，然后列出不等式组，求解与已知矛盾，即可得到结论.【解答】解：(1)二.函数 f(x) =9x- 2a?3x+3,设 t=3x, te 1, 3,贝 小(t) =t22at+3= (t-a) 2+3 - a2,对称轴为 t=a.当 a=1 时，小(t) = (t 1) 2+2 在1, 3递增,小(t) e 小(1),

28、小(3),函数f (x)的值域是：2, 6;(H)二.函数小(t)的对称轴为t=a,当 xC 1, 1时，tl 3,-1当 a3 时，ymin=h (a) =(|)(3) =12 6a.f 28 2a 1故 h(a)= 3-相，j3(m)假设满足题意的 m, n存在，m3,. h (a) =12-6a,函数h (a)在(3, +00)上是减函数.又h (a)的定义域为m, n,值域为m2, n2,2则，12-6nL12-6n=两式相减得 6(n-m) = (n-m) ? (m+n),又. nm3,m nw0, . . m+n=6,与 nm3 矛盾.满足题意的m, n不存在.【点评】本题主要考查二次函数的值域问题， 二次函数在特定区间上的值域问题 一般结合图象和单调性处理，是中档题.21.(18分)已知无穷数列an的各项都是正数，其前n项和为且满足：ai=a, rSn=anan+i - 1,其中 a* 1,常数 rCN；(1)求证：an+2- an是一个定值；(2)若数列an是一个周期数列(存在正整数使得对任意n C N*,都有an+T=an 成立，则称an为周期数列，T