2010年考研数学一真题与答案

1、s2010年考研数学一真题一、选择题(18小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四 个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。)极限所画r =(A)l(B)e(C)ea-b(D)eb-a【考点】Co【解析】【方法一】这是一个“18”型极限r2(nuyYnh(%-a)(x+b) (a-b)i+叽 -1 (a-&)x+ab 1 (x- a)(x+ d) pa(x-a)(x+b)J【方法二】原式=limexlnXT 8(x-a)(x+b)而Um xln= Um x/n(l +("一切"+"：)XT8 (x-a)(x+Z?)4T8(x-a)(x+by(a-b)x

2、+ab= hm x -xt8 (x-a)(x+b)(等价无穷小代换)y2t则.7寸=ei【方法三】对于“18”型极限可利用基本结论:若m a(x) = 0, Um 0(x) = 0,且m a(x) 0(x) = A则 m(l + a(x)B8=e/求极限由于nixT8 a(x)夕(x) = Um " ("-0)(»). x mt8 I ,产 I /戈18(x-a)(r+b)f. (a-b)x2+abxf=lim； = a bXT8 (x-a)(x+b)v2,则 m“T8L '3=一" x L(x-a)(x+by【方法四】X2(x-a)(x+b)-

3、x(x-a)(x+b).X2=lim(l _ 2)r XT 8Xzb -Xlim (1 + - J = ea - e.b = eabXT 8综上所述，本题正确答案是c。【考点】高等数学一函数、极限、连续一无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算，两个重要极限(2)设函数z = z(x,y)由方程/©，习二。确定，其中尸为可微函数，且/2#0,则x言+ y悭=。dx dy (A)x(B)z(C)-x(D)-z【答案】Bo【解析】*+吊(噎)_ 啕+喏所以X °z °z _ Fy+F；z yF；用z _ 71 dx 7 dy 理 理理综上所述，本题正确答案是(B

4、)。【考点】高等数学一多元函数微分学一多元函数的偏导数和全微分(3)设m,ri为正整数，则反常积分。空浮亘dx的收敛性(A)仅与m的取值有关(C)与的取值都有关【答案】Do【解析】本题主要考察反常积分的敛散性,和X 1 一时无界(B)仅与几的取值有关(D)与的取值都无关题中的被积函数分别在 0+J：誓 =点空雯dx + £智能在反常积分。里笋dx中，被积函数只在X-0+时无界。 由于%'零T)2 0,UmXT0+短已知反常积分。费dx收敛，则，之等亘心也收敛。在反常积分置“筑帝一”)心中,被积函数只在XT 1一时无界，由于知九2(i)一之0mJln2(i-x)2=Zizn =

5、 0(洛必达法则)存(1T户且反常积分。悬收敛，所以。口需亘dx收敛综上所述，无论m,九取任何正整数，反常积分心圆萼亘dx收敛。综上所述，本题正确答案是D。【考点】高等数学一一元函数积分学一反常积分(n+i)(n2+；2)(A)J； dx J；(l+x)(l+y2)dydy(C)/o dxfQ (1+x)(1+y)dy(D)Jq dx Jo(i+x)(l+y2)dy【答案】Do【解析】因为X;=1(n+t)(n2+72)nn(l+)吟 l+(»)"m 九 T8a+3(i+(/) dy综上所述，本题正确答案是C。【考点】高等数学一多元函数积分学一二重积分与三重积分的概念、性质

6、、计算和应用(5)设4为mx几矩阵，B为nxm矩阵，E为m阶单位矩阵，若(A)秩 r(A) = m,秩 r(B) = m(B)秩 r(A) = m,秩 r(B) = n(C)秩 r(4)=几秩 r(b) = m(D)秩 r(4)=n，秩 r(B) = n【答案】Ao【解析】因为= E为m阶单位矩阵,又因 r(4B) < min (r(A),r(B),故m < r(4), mWr另一方面，4为矩阵，B为nxm矩阵，又有r(A) < m, r(B) < m可得秩 r(4) = m,秩 r(B) = m综上所述，本题正确答案是A。【考点】线性代数一矩阵一矩阵的秩1(A)1(C

7、)1(B)-1(D)(6)设A为4阶实对称矩阵，且42+4=0,若人的秩为3,贝必相似于110.-1-10【答案】Do【解析】由4a = Aa, a*0知= Ana,那么对于屋+ 4 =。推出来(A2 + A)a = 0 => A2 4- A = 0所以4的特征值只能是0、-1再由4是实对称矩阵必有4A，而A是A的特征值，那么由r(A) = 3,可知D正确综上所述，本题正确答案是D。【考点】线性代数一特征值与特征向量一实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵0, u V 0,(7)设随机变量X的分布函数F(x) =，0WXV1,则PX = 11 -e-x, x > 1.1)=(

8、A)0(B)|(C)l-e-1(D)l-e-1【答案】Co【解析】1 1PX = 1 = F(l) - F(1 - 0) = 1 - e-1 - - = - - e-1J J综上所述，本题正确答案是c。考点】概率论与数理统计一随机变量及其分布一随机变量分布函数的概念及其性质(8)设/1。)为标准正太分布的概率密度，心(x)为-1,3上均匀分布得 概率密度，若Q/1O)，忧(x),为概率密度，则应满足(A)2q 4- 3b = 4(C)a + 6 = 1【答案】Ao【解析】根据密度函数的性质x v 0一：(a > 0fb > 0)% > 0/)(B)3q +2b = 4(D)q

9、 + b = 2s,+ 81 = I f(x)dxJ 一8rOr+8=I afdx + I bf2MdxJ-8JOr+00/2(x)dx0/i(x)dx+ b-00/i（x）为标准正态分布的概率密度，其对称中心在x = 0处，故1 /1(x)dx=-00/2（x）为-1,3上均匀分布的概率密度函数，即-1 < % < 3fiM = <410,其他,+8r3i 3J。版必产,所以 1 = a+ b 三，可得2q + 3b = 424综上所述，本题正确答案是A。【考点】概率论与数理统计一随机变量及其分布一连续型随机变量的概率密度，常见随机变量的分布二、填空题（914小题，每小题4

10、分，共24分。）/一 tx = e(9)设2、y = f0 In (1 + u2)du则就。【答案】Oo【解析】【方法一】dy /(t) In (1 + t2)dx x'(£)d2y d r ._ n 157 = ef/n(l + t2) dx2 dtL ' 八 /(£)=elln (1 + t2)2t龈字+5(1 + £2)则会=10 + 0 = 0, t=o【方法二】由参数方程求导公式知,d2ydx2y(O)x'(O) x(O)y'(O)t=oR(0)3x'(£) = e-t,xz/(t) = e-t,xr(O

11、) = 一1,%(0) = 1o2ty'= 5（1 +产）,尸。=,，'（。）=。，''（。）=。代入上式可得 g=0o t=o【方法三】由x =得，t = Znx,则rlnxy = I In (1 4- u2)duJo,=-In (1 4- /n2x) ax xd2y 1, o s 2lnxdF = FZn(1 + Znx)-m当“。时”1，则会=0 t=o综上所述，本题正确答案是0。【考点】高等数学一一元函数微分学一基本初等函数的导数，复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法yjxcosy/xdx =【答案】-4no【解析】令日=力则 x =

12、 t2,dx = 2tdtrn2rTlrTCI yfxcosyjxdx = I 2t2costdt = 2 I t2dsint =JoJoJo=2t2sintQ 4 tsintdt=4tcost|o costdt = -4tt综上所述，本题正确答案是-4"。【考点】高等数学一一元函数积分学一基本积分公式，不定积分 和定积分的换元积分法与分部积分法(11)已知曲线L的方程为y = 1 - xfx -1,1,起点是(-1,0),终点是 (1,0),则曲线积分工不冠 4- x2dy =。【答案】0o【解析】如图所示乙=匕1 +曷，其中Lx:y = 1 4- x, ( 1 < x &l

13、t; 0)42：y = 1 x,(0 x < 1)所以 工寸公 +/dy = xydx 4- x2dy + xydx x2dy=+ x) + x2 dx + x) x2 dx=2%2 4- x dx 4- 2x2 dx = 0综上所述，本题正确答案是0。【考点】高等数学一多元函数积分学一两类曲线积分的概念、性 质及计算(12)设= (x,y,z)lx2 + y2 < z < 1),则。的形心坐标N=。【答案】【解析】_ KG zdxdydz _ dO rdr zdzZ ff!ndxdydz - fdOrdrdzr2n rl 1 r4 2n (L - Li) I 血_ Jo d

14、。J0 r(2-彳)dr _ Jo " 12，°°=n=n221 o,6,2yr,2Z 32综上所述，本题正确答案是|。O【考点】高等数学一多元函数积分学一二重积分与三重积分的 概念、性质、计算和应用(13)设% = (1,2,l,0)r,a2 = (1,102)。=(2,1,1,a)r,若由1生成的向量空间的维数为2，则a =o【答案】6。【解析】%，。2，。3生成的向量空间的维数为2,所以可知，r(a1,a2,a3) = 2s12-10211a110211201300a 6000.所以可得Q - 6 = 0,Q = 6综上所述，本题正确答案是6。【考点】线性代

15、数一向量一向量组的秩，向量组的秩与矩阵的秩 之间的关系，向量空间及其相关概念(14)设随机变量X的概率分布为PX = k = 3k = 0,12，则EX?=fV 【答案】2。【解析】泊松分布的概率分布为PX = k = e-k = 0,1,2,，随机变量X的概率分布为PX = k=fk = 0,1,2,V 对比可以看出C = ?T,XP(l)所以 EX = DX = 1,而 EX2 = DX + (EX)2 = 1 + I2 = 2综上所述，本题正确答案是2。【考点】概率论与数理统计一随机变量及其分布一常见随机变量 的分布；概率论与数理统计一随机变量的数字特征一随机变量的数学期望(均值)、方差

16、、标准差及其性质三、解答题：1523小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤。(15)求微分方程y 3y + 2y = 2%短的通解【解析】由齐次微分方程y 一 3/ + 2y = 0的特征方程於34 + 2 = 0 n 乙=1，% = 2所以，齐次微分方程y一 3/+ 2y = 0的通解为y = C1ex + C2 e 2x设微分方程y- 3V + 2y = 2xe”的特解为y* = x(ax + b)ex则(y")' = (qM + 2 ax + bx + b)ex(，*)" = (a/ + 4 ax + bx + 2q + 2b)ex代入原方程

17、，解得a = 1, b = 2故特解为y* = x(x 2)ex所以原方程的通解为y = y + y* = Crex + C2e2x + x(x 2)e"【考点】高等数学一常微分方程一二阶常系数齐次线性微分方程,简单的二阶常系数非齐次线性微分方程2(16)求函数f(x) = (M £比一尸也的单调区间与极值【解析】函数/&)的定义域为(一 8, +8),Sx2x2et2dt J tet2dtx2/(x) = J (x2 t)et2 dt = x2x2x2f'(x) = 2xet2dt + 2x2ex4 - 2x3ex4 = 2x J L2dt令f'(

18、x) = 0 ，得x = 0,x = ±1,列表如下X( 8, 1)-1(-1,0)0(0,1)1(l,+8)fM0+00+、极小/极大、极小/由上可知，/(%)的单调增区间为(-1,0)和(1,+8)； “X)的单调减区间为(8,1)和(0,1),极小值为/(±1) = J (%2 t)et2dt = 0极大值为r0f(o)= (-£)?* =f tet2dt = et2 o21 1 10 = 2(1-【考点】高等数学一一元函数微分学一基本初等函数的导数，函数单调性的判别函数的极值高等数学一一元函数积分学一基本积分公式，积分上限的函数及其导数(17)比较瑞伉&#

19、163;|即(1 +与严他也(n = 1,2,)的大小,说明理由;(II)记i = lntln (1 += 12 )，求极限叫一九。【解析】(I)当owe工1时，因o4加(1 +1)4t,所以0 < lntln (1 +t)n < tnlnt所以有押刈In (1 + t)ndt < tnlntdt ,(几=1,2,)(II)【方法一】由上可知，0 <un = lntln (1 + t)ndt < tnlntdt,JoJoC tnlntdt = - C tnlntdt = -Int 1 + tndt =Jo 11Jon+1 Q n+1 Jo(n+1)2所以叫8 Jq

20、 tnlntdt = 0由夹逼定理可得小"18 = 0【方法二】由于Ex为单增函数，则当£6 0,1时，仇(1 + £)工仇2,从而有0 <un = lntln (1 + t)ndt < lnn2 f lntdt tJqf lntdt = - j Intdt =+ / dt = 1JoJoJo又md九2 = 0,由夹逼定理知m九T8“九=0 n->oo【方法三】已知0 < un = f lntln (1 + tndt < f tnlntdt Jq1因为恤-0+塔=-r = 0,且“nt在(0,1上连续，则nt tmss在(0,1上有界

21、，从而存在M >。使得0 < tlnt < M则tnlntdt < M J； tn-1dt = :由lim - = 0及夹逼定理知= 0九一>8 71【考点】高等数学一函数、极限、连续一极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则高等数学一一元函数积分学一定积分的概念和基本性质(18)求事级数2表1限?一日的收敛域及和函数。x2n+2(2n 1)limn->8=lim n->oo【解析】x2n(2n + 1)=X2%2<1=>-1<%<1即-1VXV1时，原基级数绝对收敛X = ±1时，级数为£表1限三，由莱布

22、尼茨判别法显然收敛，故 原基级数的收敛域为T7 v00 (一， v2n _ v v00 LU v2n-l乂 Zn=i- X Ln=i-X令f(x) = 2=若1姆-1,无 G(-1,1)则广(X) = £ J(l)n-5F =+所以f(x) = Jq fr(t) dt = acrtanx + C由于/(0) = 0，所以c = o所以 f(x) = arctanx所以累级数的收敛域为1,1,和函数为xarctcmx,x G 1,1。【考点】高等数学一无穷级数一幕级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)和收敛域，幕级数的和函数，简单基级数的和函数的求法，初等函数的累级数展开式(19)设尸

23、为椭球面S:/ + y2 + z2 _ yz = 1上的动点，若S在点P处的切线平面与xOy面垂直，求点尸的轨迹C,并计算曲面积分/ = JL 丝普叁dS淇中£是椭圆球面S位于曲线C上方的部 JJL 74+y2+z2-4yz分。【解析】求轨迹C令F(x,y,z) = x2 + y2 + z2 - yz - 1,故动点P(x,y,z)的切平面的法向量为n = 2x, 2y - z,2z - y由切平面垂直xOy面，得2z y = 0又已知P为椭球面S：为2 4- y2 4- Z2 - yz = 1上的动点，所以产+ 2 + z21n卜2 +犷=1为p的轨迹c(2z-y=0( 2z-y=

24、0再计算曲面积分因为曲线C在xOy面的投影为。孙:x2 +72 = 1又对方程7 +y2 +z2 yz = 1两边分别对X,y求导可得dz dzdz dz2x + 2Zdyd = °，2y-F2z-z-y= 0解之得凯康dz _ 2y-zdy y-2zdS = Jl+z? + z“xdy = J1 + （言2 dxdyJ4x2+5y2+5z2-8yz . .J4+y2+z2-4yz , .|y-2z|y-2z|= dxdy ="；dxdy于是/ =及粽缪dS迅*+b)dxdy=WjfD dxdy = a/3 X7tx1x=27t【考点】高等数学一多元函数积分学一两类曲面积分

25、的概念、性质及计算41(20)设4= 0 A- 1.1 1不同的解a1 .已知线性方程组Ax = b存在2个 111(I)求4a；(ID求方程组4x = b的通解。【解析】(I)因为已知线性方程组= b存在2个不同的解，所以厂(4) = r(4)< n“11一故 |4|= 0 A-1 0=(/1 1)。： =Q +1)(21尸=011A-知入=1,-1当入=1时，_111aA= 0 0 0 : 1 z,1111.显然r(4) = 1.(彳)=2,此时方程组无解，入=1舍去，当入=一1时,1-2110-10 -11 00 03212Q + 2因为4% = b有解，所以a = -2即，A =

26、 1, q = -2(IDA = -1, Q = -2 时，已知-100S所以Ax = b的通解为10,1.3-10其中k为任意常数。【考点】线性代数一线性方程组一非齐次线性方程组有解的充分 必要条件，非齐次线性方程组的通解(21)已知二次型/ai,X2,X3)=在正交变换 = Qy下的标准形为'J且Q的第三列为岸(I)求矩阵4(II)证明4 +E为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵。【解析】(I)二次型在正交变换 = Qy下的标准形为 y12 + y22可知二次型矩阵A的特征值是LL0。又因为Q的第三列为可知 = (L0,1)T是矩阵4在特 征值a = o的特征向量。根据实对称矩阵，特征

27、值不同特征向量相互正交，设4关于=22 = 1的特征向量为a =(X1，X2>X3)T*则以= 0,即工1 +也=0取 见 = (0,1,0)" = (101)7A = (an a2/ 0) (av a2, a3)-1-101000.r 0121- 2-101 1201200 0.-1011-2012 -1 01.S(II)由于矩阵4的特征值是LL0,那么4 + E的特征值为2,2,1,因为4 + E的特征值全大于0,所以4 +E正定。【考点】线性代数一二次型一二次型及其矩阵表示，二次型的秩,二次型的标准形和规范形，二次型及其矩阵的正定性(22)设二维随机变量(X,y)的概率密度为/(x, y) = i4e-2x2+