圆的方程综合应用教案

1、2.2 圆的方程综合应用教案2.2 圆的方程综合应用教学目标1、 知识技能目标：（ 1） 掌握圆的标准方程及一般方程的结构特征；（ 2）理解直线与圆以及圆与圆的位置关系的几何性质；（ 3）会求与圆有关的点的轨迹问题；（ 4）会用" 数形结合" 的数学思想解决问题2、过程方法目标：培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力 .3、情感态度价值观目标：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索.教学重点根据条件灵活选用方法求圆的方程.教学难点对圆方程的认识、掌握和运用.教学过程一、复习回顾1. 圆的方程有几种形式?分别是哪些?2. 求圆的方

2、程时, 什么条件下, 用标准方程?什么条件下用一般方程?3. 直线与圆的位置关系有哪几种？4. 如何求圆的切线方程？如何求圆的弦长？5. 圆与圆的位置关系有哪几种？6. 怎样求两圆相交时的公共弦的方程？二、例题精讲例 1 已知方程.（ 1）此方程表示的图形是否一定是一个圆？请说明理由；（2）若方程表示的图形是是一个圆，当 m变化时，它的圆心和半径有什么规律？请说明理由.答案： （1） 方程表示的图形是一个圆；（ 2） 圆心在直线y=2x+5上，半径为2.例2已知圆,Q是轴上的动点，QA、QB分别切圆M于A, B两点若点Q的坐标为（1,0）,求切线 QA QB的方程；（2）求四边形QAMB勺面积

3、的最小值；若，求直线MQ勺方程.分析：（2）用一个变量表示四边形 QAMB勺面积（3）从图形中观察点Q满足的条件解析：（1）设过点Q的圆M的切线方程为，则圆心 M到切线的距离为1，或0,切线QA QB的方程分别为和（2） , （3）设与交于点，则 ,在中，即设，则 直线的方程为或点评：转化是本题的关键，如：第( 2) 问把切线长转化为圆外一点到圆心的距离；第( 3) 问把弦长转化为圆心到弦所在直线的距离，再利用射影定理转化为圆外一点到圆心的距离弦长、切线长问题经常要这种转化.例3已知圆。的方程为且与圆 O相切.( 1) 求直线的方程；(2)设圆。与x轴交与P,Q两点，M是圆O上异于P,Q的 任

4、意一点，过点A且与x轴垂直的直线为，直线 PM交直线于 点，直线QMfc直线于点。求证：以为直径的圆 C总过定点， 并求出定点坐标.(1)二.直线过点，且与圆：相切，设直线的方程为，即，则圆心到直线的距离为，解得， 直线的方程为，即.(2)对于圆方程，令，得，即.又直线过点且与轴垂直，.直线方程为，设，则直线方程为解方程组, 得同理可得, 以为直径的圆的方程为，又，.整理得，若圆经过定点，只需令，从而有，解得， 圆总经过定点坐标为.例 4 已知圆，相互垂直的两条直线、都过点(I)若、都和圆相切，求直线、的方程；(II)当时，若圆心为的圆和圆外切且与直线、都相切，求圆的方程；(田)当时，求、被圆

5、所截得弦长之和的最大值.解答：(I)显然，、的斜率都是存在的，设，则则由题意，得，解得且 ，即且 .、的方程分别为与或与(II)设圆的半径为，易知圆心到点的距离为，.解得且， 圆的方程为(田)当时，设圆的圆心为，、被圆所截得弦的中点分别为，弦长分别为，因为四边形是矩形，所以, 即，化简得从而，即、被圆所截得弦长之和的最大值为变式题1 ：已知方程，求的最大值.解：圆方程可化为圆心为半径为，由几何意义可知，的最大值为.变式题2：若实数满足，求的最大值.解：由题意知，由几何意义可知，的最大值为.变式题3：已知点，为圆上任一点，求的最大值及最小值解：最大值为7，最小值为3四、课堂精练1 .已知圆 C:

6、 (x-a) 2+(y-2)2=4 (a >0)及直线 l:x-y+3=0,当直线l 被圆 C 截得的弦长为时，则a=. 答案：2 .直线与轴的交点分别为 A、B, O为坐标原点，则内切圆的方程为. 答案：3 . 过圆外一点引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为. 答案：4.已知圆C1:与圆C2相交于A, B两点，则线段AB的中垂线方程为.答案：x+y-3=0五、回顾小结：1 方程中含有三个参变数，因此必须具备三个独立的条件，才能确定一个圆，还要注意圆的一般式方程与它的标准方程的转化 .2在确定圆的方程时，应根据已知条件与圆的标准方程和圆的一般方程的各自特点，灵活选用圆方程的形式在解题

7、时注意运用平面几何知识及数形结合的思想3.使用待定系数法的一般步骤：根据题意，选择标准方程或一般方程；根据条件列出关于a,b, r 或D, E, F 的方程组； 解出a,b, r 或D, E, F ,代入标准方程或一般方程 .分层训练1. 能够使得圆x2+y2-2x+4y+1=0 上恰有两个点到直线2x+y+c=0 距离等于1 的 c 的取值范围为 . 答案：2. 若圆始终平分圆的周长, 则实数应满足的关系是.解：公共弦所在的直线方程为圆始终平分圆的周长圆的圆心在直线上即3. 已知两圆相交于两点, 两圆圆心都在直线上 , 则的值是解 : 两点关于直线对称, 线段的中点(3,1) 在直线上,4

8、.已知曲线，点及点，以点 A观察点B,要使视线不被曲线 C 挡住，则a 的取值范围是. 答案：5 .已知圆C: x2+y2+2x-4y+3=0.若圆C的切线在x轴和y轴上的截距的绝对值相等，求此切线的方程.解:切线在两坐标轴上截距的绝对值相等，切线的斜率是土 1,或切线过原点.当切线不过原点时，设切线方程为y=-x+b 或 y=x+c, 分别代入圆C的方程得2x2-2( b-3 ) x+( b2-4b+3) =0. 或 2x2+2(c-1)x+(c2-4c+3)=0,由于相切，则方程有等根，A 1=0,即2(b-3)2-4X2X ( b2-4b+3)=-b2+2b+3=0,.b=3 或-1,

9、A 2=0,即：2(c-1) 2-4X2X(c2 -4c+3)=-c2+6c-5=0.c=5或1,当切线过原点时，设切线为 y=kx,即kx-y=0.由二,得 k=2±，.y=(2 ±)x.故所求切线方程为：x+y-3=0 ， x+y+1=0， x-y+5=0 ，x- y+1=0,y=(2 ± )x.6. 已知过点的动直线与圆：相交于、两点，是中点，与直线：相交于.(1)求证：当与垂直时，必过圆心；(2)当时，求直线的方程；(3)探索是否与直线的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由.解：(1 ) ;与垂直，且，二，故直线方程为，即圆心坐标(0, 3)满足直线方程，当与垂直时，必过圆心(2 )当直线与轴垂直时,易知符合题意当直线与轴不垂直时,设直线的方程为，即，, ,则由，得，.直线：.故直线的方程为或(3) .:二当与轴垂直时，易得，则,又，当的斜率存在时，设直线的方程为，则由，得（）, 则* 综上所述，与直线的斜率无关，且.六、 拓展延伸1. 判断点A（1,2），B（0,1 ），C（7，-6），D（4,3 ）是否在同一个圆上.2. 已知的三个顶点的坐标分别为，以原点为圆心的圆与三角形有唯一的公共点，求圆