第五章　第五节数列的综合应用2

1、第五节数列的综合应用考点一等差数列与等比数列的综合问题典例(2013·全国卷)已知等差数列an的公差不为零，a125，且a1，a11，a13成等比数列(1)求an的通项公式；(2)求a1a4a7a3n2.解(1)设an的公差为d，由题意得aa1a13.即(a110d)2a1(a112d)于是d(2a125d)0.又a125，所以d0(舍去)或d2.故an2n27.(2)令Sna1a4a7a3n2.由(1)知a3n26n31，故a3n2是首项为25，公差为6的等差数列从而Sn(a1a3n2)(6n56)3n228n.类题通法解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系如果

2、同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解针对训练在等比数列an(nN)中，a1>1，公比q>0，设bnlog2an，且b1b3b56，b1b3b50.(1)求证：数列bn是等差数列；(2)求bn的前n项和Sn及an的通项an.解：(1)证明：bnlog2an，bn1bnlog2log2q为常数，数列bn为等差数列且公差dlog2q.(2)设数列bn的公差为d，b1b3b56，b32.a1>1，b1log2a1>0.b1b

3、3b50，b50.解得Sn4n×(1).an25n(nN).考点二等差数列与等比数列的实际应用典例某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给股东们分红500万元该企业2010年年底分红后的资金为1 000万元(1)求该企业2014年年底分红后的资金；(2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32 500万元解设an为(2010n)年年底分红后的资金，其中nN，则a12×1 0005001 500，a22×1 5005002 500，an2an1500(n2)an5002(an1500)(n2)，即数列an500是首项为a15001 0

4、00，公比为2的等比数列an5001 000×2n1，an1 000×2n1500.(1)a41 000×2415008 500，该企业2014年年底分红后的资金为8 500万元(2)由an>32 500，即2n1>32，得n>6，该企业从2017年开始年底分红后的资金超过32 500万元类题通法解数列应用题的建模思路从实际出发，通过抽象概括建立数学模型，通过对模型的解析，再返回实际中去，其思路框图为：针对训练某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7

5、年开始，每年初M的价值为上年初的75%.则第n年初M的价值an_.解析：当n6时，数列an是首项为120，公差为10的等差数列，an12010(n1)13010n；当n7时，数列an是以a6为首项，为公比的等比数列，又a670，所以an70×n6.答案：an考点三数列与其他知识的交汇数列在高考中多与函数、不等式、解析几何、向量交汇命题，近年由于对数列要求降低，但仍有一些省份在考查数列与其他知识的交汇.归纳起来常见的命题角度有：(1)数列与不等式的交汇；(2)数列与函数的交汇；(3)数列与解析几何的交汇.角度一数列与不等式的交汇1(2014·湖北七市模拟)数列an是公比为的等

6、比数列，且1a2是a1与1a3的等比中项，前n项和为Sn；数列bn是等差数列，b18，其前n项和Tn满足Tnn·bn1(为常数，且1)(1)求数列an的通项公式及的值；(2)比较与Sn的大小解：(1)由题意得(1a2)2a1(a31)，即2a1，解得a1，ann.设bn的公差为d，又即解得或(舍)，.(2)由(1)知Sn1n，Snn1，又Tn4n24n，<，由可知<Sn.类题通法数列与不等式相结合问题的处理方法解决数列与不等式的综合问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因

7、式分解法、穿根法等总之解决这类问题把数列和不等式的知识巧妙结合起来综合处理就行了角度二数列与函数的交汇2(2012·安徽高考)设函数f(x)sin x的所有正的极小值点从小到大排成的数列为xn(1)求数列xn的通项公式；(2)设xn的前n项和为Sn，求Sn.解：(1)令f(x)cos x0，得cos x，解得x2k±(kZ)由xn是f(x)的第n个正极小值点知，xn2n(nN)(2)由(1)可知，Sn2(12n)nn(n1).角度三数列与解析几何的交汇3在正项数列an中，a12，点An(，)在双曲线y2x21上，数列bn中，点(bn，Tn)在直线yx1上，其中Tn是数列bn

8、的前n项和(1)求数列an的通项公式；(2)求证：数列bn是等比数列；解：(1)由已知点An在y2x21上知，an1an1，数列an是一个以2为首项，以1为公差的等差数列ana1(n1)d2n1n1.(2)证明：点(bn，Tn)在直线yx1上，Tnbn1.Tn1bn11(n2)，两式相减得bnbnbn1(n2)，bnbn1，bnbn1.令n1，得b1b11，b1，bn是一个以为首项，以为公比的等比数列课堂练通考点1(2013·安徽“江南十校”高三联考)已知正项等差数列an满足：an1an1a(n2)，等比数列bn满足：bn1bn12bn(n2)，则log2(a2b2)()A1或2B0

9、或2C2 D1解析：选C由题意可知，an1an12ana，解得an2(n2)(由于数列an每项都是正数)，又bn1bn1b2bn(n2)，所以bn2(n2)，log2(a2b2)log242.2已知数列an满足：a1m(m为正整数)，an1若a61，则m所有可能的取值为()A4,5 B4,32C4,5,32 D5,32解析：选Can1注意递推的条件是an(而不是n)为偶数或奇数由a61一直往前面推导可得a14或5或32.3(2013·武汉武昌联考)在等差数列an中，a12，a36，若将a1，a4，a5都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为_解析：由题意知等差数列

10、an的公差d2，则a48，a510，设所加的数为x，依题意有(8x)2(2x)(10x)，解得x11.答案：114(2013·江西高考)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(nN)等于_解析：设每天植树的棵数组成的数列为an，由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2，所以由题意可得100，即2n51，而2532,2664，nN，所以n6.答案：65已知数列an的前n项和为Sn，且Snn2，数列bn为等比数列，且首项b11，b48.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)若数列cn满足cnabn，求数列cn的前n项和

11、Tn.解：(1)数列an的前n项和为Sn，且Snn2，当n2时，anSnSn1n2(n1)22n1.当n1时，a1S11亦满足上式，故an2n1(nN)又数列bn为等比数列，设公比为q，b11，b4b1q38，q2.bn2n1(nN)(2)cnabn2bn12n1.Tnc1c2c3cn(211)(221)(2n1)(21222n)nn.所以Tn2n12n.课下提升考能第卷：夯基保分卷1已知数列an的前n项和Snan1(a0)，则数列an()A一定是等差数列B一定是等比数列C或者是等差数列，或者是等比数列D既不可能是等差数列，也不可能是等比数列解析：选CSnan1(a0)，an即an当a1时，a

12、n0，数列an是一个常数列，也是等差数列；当a1时，数列an是一个等比数列2(2013·辽宁高考)下面是关于公差d>0的等差数列an的四个命题：p1：数列an是递增数列；p2：数列nan是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列an3nd是递增数列其中的真命题为()Ap1，p2 Bp3，p4Cp2，p3 Dp1，p4解析：选D设ana1(n1)ddna1d，它是递增数列，所以p1为真命题；若an3n12，则满足已知，但nan3n212n并非递增数列，所以p2为假命题；若ann1，则满足已知，但1是递减数列，所以p3为假命题；设an3nd4dna1d，它是递增数列，所以p4为真

13、命题3(2013·湖南省五市十校联合检测)已知函数f(x)是定义在(0，)上的单调函数，且对任意的正数x，y都有f(x·y)f(x)f(y)，若数列an的前n项和为Sn，且满足f(Sn2)f(an)f(3)(nN)，则an为()A2n1 BnC2n1 D.n1解析：选D由题意知f(Sn2)f(an)f(3)(nN)，Sn23an，Sn123an1(n2)，两式相减得，2an3an1(n2)，又n1时，S123a1a12，a11，数列an是首项为1，公比为的等比数列，ann1.4将石子摆成如图的梯形形状，称数列5,9,14,20，为梯形数，根据图形的构成，此数列的第2 012

14、项与5的差即a2 0125()A2 018×2 012 B2 018×2 011C1 009×2 012 D1 009×2 011解析：选D结合图形可知，该数列的第n项an234n2.所以a2 0125452 0144×2 0112 011×1 009.故选D.5植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为_米解析：当放在最左侧坑时，路程和为2×(01020190)；当放在左侧第2个坑时

15、，路程和为2×(1001020180)(减少了360米)；当放在左侧第3个坑时，路程和为2×(201001020170)(减少了680米)；依次进行，显然当放在中间的第10、11个坑时，路程和最小，为2×(908001020100)2 000米答案：2 0006.设数列an中，若an1anan2(nN)，则称数列an为“凸数列”，已知数列bn为“凸数列”，且b11，b22，则数列bn的前2 013项和为_解析：由“凸数列”的定义，可知，b11，b22，b33，b41，b52，b63，b71，b82，故数列bn是周期为6的周期数列，又b1b2b3b4b5b60，故数

16、列bn的前2 013项和S2 013b1b2b31234.答案：47(2014·济南高考模拟考试)数列an的前n项和为Sn，a11，an12Sn1(nN)，等差数列bn满足b33，b59.(1)分别求数列an，bn的通项公式；(2)设cn(nN)，求证：cn1<cn.解：(1)由an12Sn1，得an2Sn11(n2，nN)，得an1an2(SnSn1)，an13an(n2，nN)，又a22S113，a23a1，an3n1.b5b32d6，d3，bn3n6.(2)证明：an23n1，bn23n，cn，cn1cn<0，cn1<cn<<c1，即cn1<

17、cn.8(2013·惠州调研)已知点是函数f(x)ax(a>0，且a1)的图像上一点，等比数列an的前n项和为f(n)c，数列bn(bn>0)的首项为c，且前n项和Sn满足：SnSn1(n2)(1)求数列an和bn的通项公式；(2)若数列cn的通项cnbn·n，求数列cn的前n项和Rn.解：(1)f(1)a，f(x)x，a1f(1)cc，a2f(2)cf(1)c，a3f(3)cf(2)c.又数列an成等比数列，a1c，c1.又公比q，ann12n(nN)SnSn1()()(n2)，bn>0，>0，1，数列构成一个首项为1，公差为1的等差数列，1(n1

18、)×1n，Snn2.当n2时，bnSnSn1n2(n1)22n1；又b1c1满足bn2n1，bn2n1(nN)(2)cnbnn(2n1)n，Rnc1c2c3cn，Rn1×13×25×3(2n1)×n，Rn1×23×35×4(2n3)×n(2n1)×n1.由得，Rn2(2n1)×n1，化简得，Rn2×(2n1)×n1×n，Rn1.第卷：提能增分卷1(2014·乌鲁木齐第一次诊断)已知等比数列an和等差数列bn均是首项为2，各项为正数的数列，且b24

19、a2，a2b36.(1)求数列an、bn的通项公式；(2)求使abn<0.001成立的正整数n的最小值解：(1)设an的公比为q，bn的公差为d，依题意得解得，或(舍)ann2，bn2n.(2)由(1)得abna2n2n2，abn<0.001，即2n2<0.001，22n2>1 000，2n210，即n6，满足题意的正整数n的最小值为6.2(2014·江南十校联考)已知直线ln：yx与圆Cn：x2y22ann交于不同的两点An、Bn，nN，数列an满足：a11，an1|AnBn|2.(1)求数列an的通项公式；(2)若bn，求数列bn的前n项和Tn.解：(1)由题意知