用导数研究三次函数

1、word用导数研究三次函数一、知识点解析1、定义：定义1、形如yax3bx2cxd(a0)的函数，称为"三次函数"。定义2、三次函数的导函数为二次函数：f/(x)3ax22bxc(a0),我们把4b212ac4(b23ac),叫做三次函数导函数的判别式。2、三次函数图象与性质的探究：1、单调性一般地，当b23ac0时,三次函数yax3bx2cxd(a0)在R上是单调函数；当b23ac0时.三次函数yax3bx2cxd(a0)在R上有三个单调区间。2、对称中心三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0)是关于点对称，且对称中心为点bb(丁，f(丁)，此点的横坐标是其导函数极值点

2、的横坐标。3a3ay=f(x)图象的对称中心在导函数y=/'O)的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点。3、三次方程根的问题1当b23ac0时，由于不等式f(x)0恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。2当a、23ac0时，由于方程f(x)。有两个不同的实根x1,x2,不妨设x1x2,可知，(”,f(x。)为函数的极大值点，(x2,f(x2)为极小值点，且函数yf(x)在(，x1)和(x2,)上单调递增，在xi,x2上单调递减。14 / 13此时：假如f(x1)f(x2)0,即函数yf(x)极大值点和极小值点在X轴同侧，图象均与x轴只有一个交点，所以原方

3、程有且只有一个实根。假如f(x1)f(x2)0,即函数yf(x)极大值点与极小值点在x轴异侧，图象与x轴必有三个交点，所以原方程有三个不等实根。假如f(x。f(x2)0,即f(x)与f(x2)中有且只有一个值为0,所以，原方程有三个实根，其中两个相等。4、极值点问题假如函数f(x)在点xo的附近恒有f(xo)>f(x)(或f(xo)<f(x),如此称函数f(x)在点xo处取得极大值或极小值,称点xo为极大值点或极小值点。当。时，三次函数yfx在，上的极值点要么有两个。当o时，三次函数yfx在，上不存在极值点。5、最值问题。函数/=+反1+EK#H(白#叽工W孙邦1隹i如工0U牌内,

4、且Q,如此：fmaxxfm,fxo,fn;/(工)1tttl=min(VO),/(X),。8、f(x)ax3bx2cxd(a0)类似于二次函数的图像和性质表:2一_b3ac02ccb3ac0y丽/Iay-IoIi.V图像f(Xi)f(X2)0J*业LXprlf(x1)f(x2)0f(Xi)f(X2)0f(x)0根的个数三实根两实根一实根一实根与x轴的交点二交点两交点一交点一交点单调性在(，x1HD(x2,)上为增函数.，在(Xi,X2)上为减函数在R上为增函数极值后两个极值，一个极大值f(x1),一个极小值f(x2)无极值二、经典题型、考查函数的奇偶性和单调性例1 函数f(x)=x3+px+q

5、(x C R)是奇函数,且在R上是增函数，如此A、p=0,q=0B、p C R,q=0p< 0,q=0D、p> 0,q=0解析由奇函数以与增函数的定义易知选二、考查函数图象的对称性对称例2函数f(x)=x3-3x2+x-1的图象关于A、直线x=1B、直线y=xC、点(1,-2)D、原点北尊成中心对称知选C2 7ax2)(x2 ax b)的图像关于直线解析由f(x)=ax3+bx2+cx+d(aw0)的图象关于3ba,d例3、2013课标全国，16假如函数f(x)(1x=-2对称，如此f(x)的最大值为解析：函数f(x)(1x2)(x2axb)的图象关于直线x=-2对称，如此f(0)

6、f(4)f(1)f(5)22解得a=8,b=5,所以f(x)(1x)(x8x15)可以解得f(x)的最大值为16。三、运用函数的性质和数形结合思想解题例4函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如下列图，如此A、bC(-8,0)B、b(0,1)Cb(1,2)D、bC(2,+8)解析显然f(0)=d=0,由f(x)=ax(x-1)(x-2)知a>0,又f(x)=ax3-3ax2+2ax比拟系数可知b=-3a<0,应当选A引申试确定的a,b,c,d符号答：a>0,b<0,c>0,d=0例52013课标全国n卷，10函数f(x)=x3+a/+bx+c,如下结论中错误

7、的答案是Ax“CR,f(x.)=0B函数y=f(x)的图像是中心对称图形C假如x”是f(x)的极小值点，如此f(x)在区间-0°,xa单调递减D假如刈是fx的极值点，如此f'x00解析：由三次函数值域为R知f(x)=0有解，A正确；由性质可知B正确;由性质可知假如f(x)有极小值点，如此f(x)0由两个不相等的实数根x1,x2(x1x2),f(x)3x22axb3(xx1)(xx2)，如止匕f(x)在-0°,xi)上为增函数，在(X1,X2)上为减函数，在X2,)上为增函数，故C错。D正确。选Co四、考查单调区间、极值、最值的问题例62010年全国卷n文函数fX=x

8、3-3ax2+3x+1。I设a=2,求fX的单调区间；n设fX在区间2,3中至少有一个极值点，求a的取值X围。解析：2求出函数的导数f(x),在2,3内有极值，即为f(x)在2,3内有一个零点，即可根据f(2)f(3)0,即可求出a的取值X围。五、考查交点个数问题例72009某某文20函数f(x)x33ax1,a0I求f(x)的单调区间；II假如f(x)在x1处取得极值，直线y=m与yf(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值X围.2 2解：1f(x)3x3a3(xa),当a0时，对xR,有f'(x)0,所以f(x)的单调增区间为(，)当a0时，由f'(x)0解得x0或x石，由

9、f'(x)0解得VaxVa,所以f(x)的单调增区间为(，7),(Va,),单调减区间为(Ja,ja).2因为f(x)在x1处取得极大值，所以f'(1)3(1)23a0,a1.所以f(x)x33x1,f'(x)3x23,由f'(x)0解得x11,x21.由1中f(x)的单调性可知，f(x)在x1处取得极大值1,在x1处取得极小值-3.因为直线ym与函数yf(x)的图象有三个不同的交点，所以m的取值X围是(3,1).点评：(1)此题是三次函数零点存在性问题的典型变式题，涉与图象交点向函数零点的转化关系；(2)此题最终将问题转化为研究三次函数根的分布，采用极值最值控

10、制法；(3)在这里应结合上面例题进一步揭示研究二次方程与三次方程实根分布问题在方法上的本质关系，以便进一步加深对函数极值最值的认识和对利用导数研究函数性质.六、考查曲线的切线问题例82007全国II理22函数f(x)x3X.1求曲线yf(x)在点M(t,f(t)处的切线方程；2设a0,假如过点(a,b)可作曲线yf(x)的三条切线，证明：abf(a)解：1f(x)的导数f(x)3x21.曲线yf(x)在点M(t,f(t)处的切线方程为:yf(t)f(t)(xt),即y(3t21)x2t3.2如果有一条切线过点(a,b),如此存在t,使b(3t21)a2t3.假如过点(a,b)可作曲线yf(x)

11、的三条切线，如此方程2t33at2ab0有三个相异的实数根.记g(t)2t33at2ab,如此g(t)6t26at6t(ta).当t变化时，g(t),g(t)变化情况：t(,0)0(0,a)a(a,)g'(x)00g(x)增函数极大值减函数极小值增函数由g(t)的单调性，当极大值ab0或极小值bf(a)0时，方程g(t)0最多有一个实数3a根；当ab0时，解万程g(t)0得t0,t，即方程g(t)0只有两个相异的实2a数根；当bf(a)0时，解万程g(t)0得t,ta,即方程g(t)0只有两个相异2的实数根.综上所述，如果过(a,b)可作曲线yf(x)三条切线，即g(t)0有三个相异的

12、实数根，如此ab0，即abf(a).bf(a)0.点评：(1)此题是前一个问题的延伸，其以导数几何意义为载体；(2)此题最终将问题转化为研究三次函数根的分布，采用极值最值控制法；(3)在这里应结合上面例题进一步揭示研究二次方程与三次方程实根分布问题在方法上的本质关系，以便进一步加深对函数极值最值的认识和对利用导数研究函数性质七、含参数的恒成立问题例92008年某某文aq3工设函数f(x)-x-x(a1)x1,其中a为实数。3 2I函数f(x)在x1处取得极值，求a的值；n不等式f'(x)x2xa1对任意a(0,)都成立，某某数x的取值X围。解析：If'(x)ax23x(a1),

13、由于函数f(x)在x1时取得极值，所以f'(1)0即a3a10,：a1对于问题n有两种方法：方法一转化为关于a的函数g(a)由题设知：ax23x(a1)x2xa1对任意a(0,)都成立即a(x22)x22x0对任意a(0,)都成立设 g(a) a( x2 2) x2 2x(aR),如此对任意xR, g(a)为单调递增函数所以对任意a (0,),g(a)0恒成立的充分必要条件是g(0)0即x22x0,.2x0于是x的取值X围是x|2x0方法二恒成立问题，转化为不等式的最值问题由题设知：ax23x(a1)x2xa1对任意a(0,)都成立)都成立即a(x22)x22x0对任意a(0,于是ax

14、2 2x) 对任意 x2 2(0,上，x2 2x)都成立，即x 2x 0 x2 22x0于是x的取值X围是x|2x0三、高考试题检测1.(2011某某，12)函数f(x)=x33x2+1在乂=处取得极小值.解析f'x)=3x26x=0得x=0或x=2；.当xC(8,0)U(2,十)时f'x)>0,f(x)为增函数.当xC(0,2)时，f'(x)<0,f(x)为减函数.；f(x)在x=2处取得极小值.答案22、(2014某某，11)当xC2,1时，不等式ax3-x2+4x+30包成立，如止匕实数a的取值X围是()9A.5,-3B.-6,一&C.6,-2

15、D.-4,-3解析当xC(0,1时，得a>31'41+1,令t=1,如此tC1,+8),xxxxa>-3t3-4t2+t,令g(t)=3t34t2+t,tC1,十川,如止匕g't)U9t28t+1=(t+1)(9t1),显然在1,+0°)上，g'(t)v0,g单调递减，所以g(t)max=g(1)=6,因此a>-6;同理，当x2,0)时，得a02.由以上两种情况得6&a<-2,显然当x=0时也成立.故实数a的取值X围为6,2.答案C3、（2015某某某某模拟）曲线f（x）=x3+x2在p。处的切线平行于直线y=4x1,B. (2

16、, 8)如此P0点的坐标为（）A.(1,0)C. (1, 0)和(一1, -4)D. (2, 8)和(一1, -4)解析设P0（x0,y°）,如此3x0+1=4,所以x°=虫，所以p0点的坐标为（1,0）和（一1,-4）,应当选C.答案C4、(2015某某诊断)函数f(x)=x3+(1a)x2a(a+2)x+b(a,bR).假如函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为一3,求a,b的值;(2)假如曲线v=f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值X围.解f'x)=3x2+2(1a)x-a(a+2).(1)由题意得f0b=0,=一 aa + 2= - 3,解

17、得b=0,2=-3或1.(2)，曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线，,关于x的方程f'x)=3x2+2(1a)xa(a+2)=0有两个不相等的实数根，A=4(1a)2+12a(a+2)>0,即4a2+4a+1>0,1.aw2.11a的取值X围是一0°,2U2，+00.5.(2015某某，19)函数f(x)=x3+ax2+b(a,bCR).(1)试讨论f(x)的单调性；(2)假如b=ca(实数c是与a无关的常数)，当函数f(x)有三个不同的零点时,.一一一.一33a的取值X围恰好是(一,-3)U1,2U2,+oo，求c的值.解(1)f'x)=3x2+2

18、ax,令f'x)=0,解得xi=0,x2=2a.3当a=0时，因为fx)=3x2>0(x0),所以函数f(X)在(一8,+00)上单调递增;当a>0时，x得U(0,+00)时，f(x)>0,x0时,332a2af'(x)<0,所以函数f(x)在一0°,-y,(0,+8)上单调递增，在一"3,0上单调递减;当a<0时，x(8,0)u2,+00时，f，(x)>0,x0,2a时,332a2a.f(x)<0,所以函数f(x)在(一oo,0),-,+OO上单调递增，在0,一f上单调递减.2a4q(2)由(1)知，函数f(x)的

19、两个极值为f(0)=b,f万=27a3+b,如此函数f(x)有三个零点等价于f(0)f-2a=b27a3+b<0,a>0,a<0,从而_24a3<b<0或0<bv_24a3又b=ca,所以当a>0时，27a3a+c>0或当a<0时，27a3a+c<0.设g(a)=27a3a+c,因为函数f(x)有三个零点时，a的取值X围恰好是(8,+3-7U3- 21U 3)33如此在(8,3)上g(a)<0,且在1,2U2,+8上g(a)>0均恒成立.一一一3.从而g(-3)=c-1<0,且g2=c-1>0,因此c=1.此时

20、，f(x)=x3+ax2+1a=(x+1)x2+(a1)x+1a,因函数有三个零点，如此x2+(a1)x+1a=0有两个异于一1的不等实根,所以A=(a1)24(1a)=a2+2a3>0,且(一1)2(a1)+1aw0,-33.解得aC(oo,3)u1,2U2，+00.综上c=1.6、(2015新课标全国I,21)函数f(x)=x3+ax+；,g(x)=Inx.当a为何值时，x轴为曲线v=f(x)的切线；(2)用minm,n表示m,n中的最小值，设函数h(x)=minf(x),g(x)(x>0),讨论h(x)零点的个数.解(1)设曲线y=f(x)与x轴相切于点(x0,0),如此f(

21、x0)=0,f'x3 + ax0 + 4=0,23xo + a= 0,一13解得xo=2，a=4.3因此，当a=4时，x轴为曲线y=f(x)的切线.(2)当xC(1,+00)时，g(x)=_lnx<0,从而h(x)=minf(x),g(x)<g(x)<0,故h(x)在(1,+oo)无零点.5,5当x=1时，假如a>-4,如止匕f(1)=a+4>0,h(1)=minf(1),g(1)=g(1)=50,故x=1是h(x)的零点；假如a<-5,如此f(1)<0,h(1)=minf(1),g(1)=f(1)<0,故x=1不是h(x)的零点.当xC(0,1)时，g(x)=lnx>0.所以只需考虑f(x)在(0,1)的