椭圆双曲线抛物线经典求法及历年真题

1、解决圆锥曲线常用的方法1、定义法(1)椭圆有两种定义。第一定义中，r1+r2=2a。第二定义中，ri=edir2=ed2。(2)双曲线有两种定义。第一定义中，ri62a,当ri>r2时，注意2的最小值为c-a：第二定义中，c=edi,r2=ed2,尤其应注意第二定义的应用，常常将半径与“点到准线距离”互相转化。(3)抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一

2、，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(Xi,yi),B(x2,y2),弦AB中点为M(xo,yo),将点A、B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：22xy(1)1T1(ab0)与直线相交于a、B，设弦AB中点为M(X0,yo),则有ab亚血k0。2,2'Dab22(2)X2yT1(a0,b0

3、)与直线l相交于A、B,设弦AB中点为M(xo,yo)则有ab空当k0ab(3)y2=2px(p>0)与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y。),则有2y0k=2p,即yok=p.4、数形结合法解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题，在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性，尤其是将某些代数式子利用其结构特征，想象为某些图形的几何意义而构图，用图形的性质来说明代数性质。如“2x+y”，令2x+y=b,则b表示斜率为-2的直线在y轴上的截距；如“x2+y2”，令一y2d,则d表示点P(x,y)到原点的距离；又如“匕虫”，令工

4、2=七则kx2x2表示点P(x、y)与点A(-2,3)这两点连线的斜率5、参数法(1)点参数利用点在某曲线上设点(常设“主动点”)，以此点为参数，依次求出其他相关量，再列式求解。如x轴上一动点P,常设P(t,0);直线x-2y+1=0上一动点P。除设P(xi,yi)外，也可直接设P(2y,-1,y1)(2)斜率为参数当直线过某一定点P(x0,y。时，常设此直线为y-y0=k(x-x0),即以k为参数，再按命题要求依次列式求解等。(3)角参数当研究有关转动的问题时，常设某一个角为参数，尤其是圆与椭圆上的动点问题。6、代入法这里所讲的“代入法”，主要是指条件的不同顺序的代入方法，如对于命题：“已知

5、条件P1,P2求(或求证)目标Q',方法1是将条件P1代入条件P2,方法2可将条件P2代入条件P1,方法3可将目标Q以待定的形式进行假设，代入P1,P2,这就是待定法。不同的代入方法常会影响解题的难易程度，因此要学会分析，选择简易的代入法。22例2、F是椭圆x-y1的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，P为椭圆43上一动点。(1) PAPF的最小值为(2) PA2PF的最小值为分析：PF为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径PF或准线作出来考虑问题。解：(1)4-45设另一焦点为F,则F(-1,0)连AF,PFPAPFPA2aPF2a(PFPA)2aAF4V5当P是F A的延长线与椭圆的

6、交点时,PA(2)作出右准线1,作PHJ交于H,因手=4PF1-PH2，即2 PFPHPF取得最小值为4- J5。b2=3, c2=1,a=2, c=1e=1,2PA 2PFpAPH当A、P、H三点共线时，其和最小，最小值为2-xa4 1 3c例3、动圆M与圆Ci：(x+1)2+y2=36内切，与圆C2：(x-1)2+y2=4外切,求圆心轨迹方程。MD 0径”(如图中的MC解：如图, AC. MA，点MMCMAMBMD )。MDMB的轨迹为椭圆,DB 即 6 MA(*)MB 22 x 2a=8, a=4, c=1 , b2=15 轨迹万程为 一162L 115分析：作图时，要注意相切时的“图形

7、特征”：两个圆心与切点这三点共线图中的A、M、C共线，B、D、M共线)。列式的主要途径是动圆的“半径等于半点评：得到方程(*)求解，即列出 (x 1)2 y2后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式x1)2y24,再移项，平方，相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐!例4、AABC中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=3sinA,求点A的轨迹方程。5分析：由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式，两边乘以2R(R为外接圆半径)可转化为边长的关系。角军：sinC-sinB=AB即ABACACsinA 2RsinC-2RsinB= , 2RsinA553

8、 BC56(*).点A的轨迹为双曲线的右支(去掉顶点).-2a=6,2c=10a=3, c=5,b=4所求轨迹方程为21(x>3)16点评：要注意利用定义直接解题， 这里由(*)式直接用定义说明了轨迹(双曲线右支)例5、定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动，AB中点为M,求点M到x轴的最短距离。分析：(1)可直接利用抛物线设点，如设A(xi,xi2), B(x2, X22),又设 AB中点为M(xoyo)用弦长公式及中点公式得出y0关于x0的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。(2)M到x轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑M到准线的距离，想到用定义法。解法一:(xi则xxi2

9、xi设A(xi,xi2),B(x2,x22),AB中点M(xo,yo)2222x2)2(xi2x；)2x22x02x22y0由得(xi-x2)21+(x1+x2)2=9即(xi+x2)2-4xix21+(xi+x2)2=9由、得2xix2=(2xo)2-2yo=4xo2-2yo代入得(2xo)2-(8x02-4yo)1+(2xo)2=9 4yo 4x29_.2，4xo24yo 4xo4x2(4x21)4x2 11 5,yo当 4xo2+1=3 即 x0-2时,25 ,一，(y0)min % 此时 M法二：如图，2 MM 2AA2BB2I |AF| |BF|AB0HV1MM2当AB经过焦点F时取

10、得最小值。5.M到x轴的最短距离为-4点评：解法一是列出方程组，利用整体消元思想消X1X2,从而形成V。关于X0的函数,这是一种“设而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点M至ij x轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为A、B到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边(当三角形“压扁”时，两边之和等于第三边) 的属性,简捷地求解出结果的,但此解法中有缺点，即没有验证AB是否能经过焦点F,而且点M的坐标也不能直接得出。例6、已知椭圆2一1(2 m 5)过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线 m 1从左到右依次变于A、B、C、D、设 f(m)= A

11、BCD| , (1)求 f(m), (2)求 f(m)的最值。分析：此题初看很复杂，对f(m)的结构不知如何运算，因 A、B来源于“不同系统”，A在准线上,B在椭圆上，同样C在椭圆上，D在准线上，可见直接求解较繁，将这些线段“投影”到x轴上，立即可得防f (m)(Xb Xa).2 (XdXc)2|.2(XB XA) (XD Xc)此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。2 X 解：(1)椭圆一m21 中，a2=m, b2=m-1 , c2=1,左焦点 Fi(-1,0)m 1则BC:y=x+1，代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0(2

12、m-1)x2+2mx+2m-m2=0设 B(x1,y1),C(x2,y2),则2mx1+x2=- (22m 1m 5)f(m)IABCD|亚&xa)(xd%)例x1x2)(xAxC)物x1x2、'2系(2)f(m).22m11,2(11)2m12m1当m=5时，f(m)min10.29当m=2时，f(m)max423点评：此题因最终需求xBxc,而BC斜率已知为1,故可也用“点差法”设BC中点为M(xo,yo),通过将B、C坐标代入作差，得0,0k0,将yo=xo+1,k=1代入得mm1x0x01m0,-x0,可见xbmm12m1xc2m2m1当然，解本题的关键在于对f(m)J

13、ABCD|的认识，通过线段在x轴的“投影”发现f(m)xBxC是解此题的要点。22例3:直线l:ax+y+2=0平分双曲线y1的斜率为1的弦，求a的取值范围.169分析：由题意，直线l恒过定点P(0,-2),平分弦即过弦中点，可先求出弦中点的轨迹,再求轨迹上的点M与点P的连线的斜率即-a的范围。AB的斜率为1, AB的中点为 M(X0,y0)解：设A(xi,yi),B(x2,y2)是双曲线上的点，且2x1则：162*2162y192y29x21-得L2x216即M(X),y0)在直线9x-16y=0上。16.7,，点M的轨迹方程为9x-16y=0(x<-/立或°鱼工)kpD=2

14、 -160.72,7162 716079 2.716由图知，当动直线的斜率kC9 2.7169169169 279时，l过斜率为1的弦AB16由(9x-16y=022xy1169的中点M,而k=-a .a的取值范围为:9 2.7169169162.716点评：此题是利用代数运算与几何特征相结合的方法而解得的，由图得知，弦AB中点轨迹并不是一条直线(9x-16y=0),而是这条直线上的两条射线(无端点)。再利用图形中的特殊点(射线的端点GD)的属性(斜率)说明所求变量a的取值范围。2例6、求直线3x-4y+10=0与椭圆与y21(a>0)有公共点时a的取值范围a分析：将直线方程代入椭圆方程

15、消元得一元二次方程应有解，用判别式4>0可求得a的取值范围。也可考虑另一代入顺序，从椭圆方程出发设公共点P(用参数形式)，代入直线方程，转化为三角问题：asinx+bcosx=c何时有解。解法一：由直线方程3x-4y+10=0得y353x 5代入椭圆方程得423352(x -)1 42(J2a > 0,得(15)240解得a28,又 a>0, a 32,73解法二：设有公共点为因公共点P在椭圆上,利用椭圆方程设 P (acos , sin )再代入直线方程得3acos-4sin +10=04sin -3acos二10。3asin cos.9a2 169a2 16109a2 1

16、6令 sin a3a.9a216cos a =.94a2 16 则 sin(a )=109a2 16由 sin(1 即 sin 2(- “)w 1 得 1009a 1619a2>84a2> 竺(a>0)3215x-x42.21a>3点评：解法1,2给出了两种不同的条件代入顺序，其解法1的思路清晰，是常用方法,但运算量较大，对运算能力提出较高的要求，解法2先考虑椭圆，设公共点再代入直线，技22巧性强，但运算较易，考虑一般关系：“设直线l:Ax+By+C=0与椭圆二E1有公共点，a2b2求应满足的条件”此时，若用解法一则难于运算，而用解法二，设有公共点P,利用椭圆，设P(a

17、cos,bsin)代入直线方程得Aacos+Bbsin=-C。2, 2B b1时上式有解。.1.C2<A2a2+B2b2因此，从此题我们可以体会到条件的代入顺序的重要性。同步练习】21的左、右焦点，过 Fi作直线交双曲线左支于点,一,X1、已知：Fi,F2是双曲线aA、B,若ABm,4ABF2的周长为()A、4aB、4a+mC、4a+2mD、4a-m2、若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1,则P点的轨迹方程是()A、y2=-16xB、y2=-32xC、y2=16xD、y2=32x3、已知ABC的三边AB、BC、AC的长依次成等差数列，且ABAC,点B、C的坐标分别为

18、(-1,0),(1,0),则顶点A的轨迹方程是()2222A、'工1b、二上1(x0)43432222xyxyC>1(x0)D、一工1(x0且y0)43434、过原点的椭圆的一个焦点为F(1,0),其长轴长为4,则椭圆中心的轨迹方程是1 229A、(x-)y-(x1)2421 29C、x(y-)-(x1)241 229B、(x-)y-(x1)242,1、29 ,、D、x(y-)-(x1)24x25、已知双曲线一92y1上一点M的横坐标为4,则点M到左焦点的距离是166、抛物线y=2x2截一组余率为2的平行直线，所得弦中点的轨迹方程是7、已知抛物线y2=2x的弦AB所在直线过定点p

19、(-2,0),则弦AB中点的轨迹方程是8、过双曲线x2-y2=4的焦点且平行于虚轴的弦长为9、直线y=kx+1与双曲线x2-y2=1的交点个数只有一个，则k=22xy10、设点P是椭圆1上的动点，F1，F2是椭圆的两个焦点，求sin/FPF2的259最大值。11、已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列，若直线l与此椭圆相交于A、B两点，且AB中点M为(-2,1),AB4/3,求直线l的方程和椭圆方程。12、已知直线l和双曲线2 x -2 a2yy1(a0,b0)及其渐近线的交点从左到右依次为b2A、B、C、D。求证:ABCD 。参考答案1、CA

20、F2AF12a,BF2BF12a,AF2BF2AB4a,AF2BF22、C3、DAB4a2m,选c点P至1JF与至x+4=0等距离，P点轨迹为抛物线p=8开口向右，则方程为y2=16x,ABAC22,且ABAC点A的轨迹为椭圆在y轴右方的部分、又A、B、C三点不共线，即yw0,故选Do4、A设中心为(x,y),则另一焦点为(2x-12y),则原点到两焦点距离和为得1.(2x1)2(2y)242)2y2又c<a,，、；(x1)2y25、离为ed6、y2=2x22,.(x-1)2+y2<4，由，得xw-1,选左准线为x=-3529351,x2(y2932)y1-y2=2(x12-x22

21、).22(x1XiX2、-11方程x(y>)227、y2=x+2(x>2)22Yi2Xi,y2,kABkMPM到左准线距离为929,一，-)则M到左焦点的距55设弦为ABA(x1,y)B(x2,y2)AB中点为(x,y),则y1=2x12,x2)设A(x122x2,Yi又弦中点在已知抛物线内2,2,8、4ab4,c±2,弦长为49、v'2或1y=kx+12=2-2x,y1)2y2B(x2,2(x12y11将x一代入y=2x2得y-,轨迹22y2),x2),ABy1中点M(x,y),则Xix2y2-(Yiy2)22,即y2=x+2P,即Y2<2x,即x+2&l

22、t;2x,x>28,c2V2,令x2+'2代入方程得8-y2=4y2=4,y=代入x2-y2=1得x2-(kx+1)2-1=0(1-k2)x2-2kx-2=0 1-k2=0 得 k=± 1yPFiF2224b22b21+cos 0 =2 r1r2r1r2ri+r22jrir2 ,，门2的最大值为a21+cos 0的最小值为即 1+cos 01825cos 025，0即sin / F1PF2的最大值为7 arccos25则当一时，sin 0取值得最大值1,21。2211、设椭圆方程为、4 1(a b 0) a b列，2由题意：C、2C、 cc成等差数2，4c c c即a2

23、 2c2,a2=2(a2-b2),a2=2b2c2X22b22椭圆方程为二 2b22y2-1，设 A(xi, yi), B(x2, y2)bX22b22 yi b22 y2 b2-得22XiX22b22yi2y2b2xm2b2ym k b2 kk20c.D得4k2+8(i-k2)=0,k=22010、解：a2=25,b2=9,c2=16设Fi、F2为左、右焦点，则Fi(-4,0)F2(4,0)设pFi|ri,|PF212,F1PF2则rir22r12r222r1r2cos(2c)22-得2rir2(1+cos9)=4b2直线AB方程为y-1=x+2即y=x+3 ,-3x2+12x+18-2b2

24、=0,代入椭圆方程即x2+2y2-2b2=0得x2+2(x+3)2-2b2=0ABx1x2iTl171212(182b2)J24<332X斛得b2=i2,，椭圆方程为一242y1,直线l方程为x-y+3=0122 Xi 2 a2 X2 2 a2 yi b22y2 b2i2 xi -2ai2 x2由、知M、M均在直线l ：2x a21 k b2 k0上，而M、M又在直线l上，若l过原点，则B、C重合于原点，命题成立若l与x轴垂直，则由对称性知命题12、证明：设A（xi,yi）,D（x2,平）,AD中点为M（x。，yo）直线l的斜率为k,则2xo2yO八-得°t°koa2

25、b2B(xi,yi),C(x2,y2),BC中点为M(xo,yo),i2xi2y0-得C°k0ab成立若l不过原点且与x轴不垂直，则 M与M 重合ABCD【同步练习】I、若实数x、y满足x2+y2-2x+4y=0,则x-2y的最大值是（5B、I0C、9D、5+2，52、关于x的方程vix2k（x2）有两个不等实根，则实数k的取值范围是3,)B>(,3,.3)C、-2,0口33、方程(x3)2(yi)20表示的图形是（椭圆B、双曲线C、抛物线D以上都不对4、已知P、Q分别在射线y=x(x>0)和y=-x(x>0)上，且POQ勺面积为i,（0为原点），则线段PQ中点M的

26、轨迹为（双曲线x2-y2=iB、双曲线x2-y2=i的右支半圆x2+y2=i(x<0)D段圆弧x2+y2=i(x>2)25、一个等边三角形有两个顶点在抛物线y2=20x上，第三个顶点在原点,则这个三角形的面积为6、设P(a,b)是圆x2+y2=1上的动点，则动点Q(a2-b2,ab)的轨迹方程是7、实数x、y满足3x2+2y2=6x,则x+y的最大值为8、已知直线l:2x+4y+3=0,P是l上的动点，O为坐标原点，点Q分OP为1:2,则点Q的轨迹方程为29、椭圆162y-1在第一象限上一动点巳若A(4,0),B(093),O(0,0),则S四边形apbo的最大值为10、已知实数x

27、、y满足x+y=4,求证：(x2)2(y1)225211、ABC中,A(3,0)BC2,BC在y轴上，且在-3,3间滑动，求ABC外心的轨2迹方程。12、A、B是抛物线y2=2Px(p>0)上的点，且/AOB=90(。为原点)。求证：直线AB过定点。x-2y=b ,圆(x-1)2+(y+2)2=5,由(1,2)x-2y-b=0的距离等于V5得55,b=0或b=10入得则b的最大值为10,选或用参数法，令xx2y5.5cos25sin55(吏cos5生sin)55sin()最大值为10。选B2、C作图，知当k-3,0时，直线3y=k(x-2)与半圆有两交点,，勺选C3、B方程即；(x3)2

28、(y1)2.2选B。xix2=1,5、F(-3,1)P(x,y),l:x-y+3=0,PH4、B设M(x,2x=xi+x2法，设P(xi,xi)(xi>0)y)，i20033o22Xiyi.2xi则yi2边长为2y=xi-x2,(2x)2-(2y)20x12y2，2x2y1=-y2L于H则*jJ2，由双曲线第二定义知Q(x2,-x2)(x2>0)则1、2xi,2x21,22=4xix2贝Ux2-y2=1(x>0)。选B设此三角形为OAR设20x2(xi-x2)(xi+x2+20)=0A(xi,yi),B(x2,y2)由0AOB得xi>0,x2>0xi=x2、，-3

29、3,A、B关于x轴对称，AB在y=x上33Jx代入y2=20x得A(60,20340J3面积为(4073)24i200.36、x2+4y2=1令a=cos0,bsin0,则Q(cos20,1sin20),设Q(x,y)贝Ux2+4y2=123(x-1)2+2y2=3,(x-1)2+2y213令x-1=cosy=*,贝Ux+y=cos、3sin+12最大值为8、2x+4y+1=0P(xi,yi),则x12,y0：-yii12xi=3x,yi=3y2xi+4yi+3=02X3x+4X3y+3=0即2x+4y+1=09、62设P(4cos,3sin)(0<<-)S四边形APBOSOAPS

30、OBP1143sin3224cos6(sincos)6.2sn(-)4当=时，S四边形APBO的最大值为6<2410、证明：设P（x,y）A(-2,1）则（x2)2(y1)2PA2过A作AHUl交于H,其中l:x+y=4则AH、2PAAH527r叫PA25,17一，一当P在H（17）时取等号22(x2)2(y1)22511、解：设C在B的上方，设B(0，t)则C(0,t+2),-3<t<1设外心为M（x,y）,因BC的中垂线为y=t+1.3t、AB中点为（一，一）,kAB22-AB的中垂线为y3由、消去t得y26(x*(2y2）这就是点M的轨迹方程。12、解：设OAy=kx,代入y2=2px得k2x2=2px则x2pk22pA(2p2p同理由OBy=-xk可得B(2pk2,-2pk)kAB2p2pk2pk22pk2k2k21k2AB:y2pk1k2(x2pk2)令x=2p得y=0,说明AB恒过定点（2p,0)21.（2007安徽又）椭圆x4y21的离心率为(A)掾(B)(0(D)-2.（2008上海文）设p是椭圆252y161上的点.若Fi,F2是椭圆的两个焦点，则PFiPF2等于（）A.4B.5C.8D.104.（2006全国n卷文、理）已知ABC勺顶点x2