组合应用题教学案及配套练习

1、第十课时 组合应用题（一）教学目的 1、会区分排列问题和组合问题；2、掌握组合问题的解法。教学重难点组合应用问题。教学过程 一、 复习引入：1复习排列和组合的有关内容： 依然强调：排列顺序性；组合无序性2排列数、组合数的公式及有关性质： 性质1：； 性质2：+ 常用的等式：二、新授：例题分析 100件产品中，有98件合格品，2件次品。从这100件产品中任意抽出3件 （1）一共有多少种不同的抽法； （2）抽出的3件都不是次品的抽法有多少种？ （3）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ （4）抽出的3件中至少有1件是次品的取法有多少种？解：（1）；（2）；（3）；（4）解法一：（直接法）；

2、 解法二：（间接法） 从8男4女中选出5名学生代表，按下列条件各有多少种选法:至少有一名女同学；至少有两名女同学，但女甲和女乙有且只有一人当选；至多有两名女同学；女生甲、乙不都当选； 必须有女同学当选，但不得超过女同学的半数。解: (1)； (2)；(3)； (4)；(5).注：至多（至少）问题的解法：恰当分类；排除法。 甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种不同的值周表 ？解法一：（排除法）解法二：分为两类：一类为甲不值周一，也不值周六，有；另一类为甲不值周一，但值周六，有，一共有+42种方法练习：从双不同颜色的手套中任取只，其中恰好有一双同

3、色的取法有种4已知集合A和集合B各有12个元素，AB中有4个元素，集合C满足：C中有3个元素；CAB；CA，求集合C的个数。解: 方法一:. 方法二: 5 已知： 满足AM的A有多少？若AM且A呢？若AM呢？满足 a、bAM的 A有多少个？解：(1)(2) 变题：有1元、2元、5元、10元、20元、50元、100元的钞票各一张，取其中的一张或几张，能组成多少种不同的币值？6 30030共有多少个正约数？其中有多少个奇约数？解: ； 约数有奇约数有变题：（其中是质数，是非零自然数）有多少个约数。7.有11名同学,其中有5人只会唱歌,有4人只会跳舞,还有2人既能唱歌又会跳舞,现从中选出4名唱歌4名

4、跳舞的同学组成演出小组,有多少种不同的选法?解: 方法一: 方法二:8.若a、b、c-3、-2、-1、0、1、2、3、4(1) 符合条件的二次函数y=ax2+bx+c的解析式有多少?(2) 能组成多少条对称轴是y轴的抛物线y=ax2+bx+c?(3) 能组成多少条经过原点且顶点在第一或第三象限的抛物线y=ax2+bx+c? 解:三、小结：解决组合应用题时要注意：1准确分析事件的发生、发展过程，弄清要解决的问题是否与取出的元素的顺序有关，把实际问题抽象成组合问题；2对较复杂的组合应用题，要能根据事件的发生、发展过程对解决问题的办法进行恰当地分类或分步，利用分类计数原理和分步计数原理解决问题；3对

5、有特殊要求的问题，可优先满足特殊要求，即“优限法”：优先考虑被限制的元素和位置；也可考虑“去杂法”。四、 作业：1.课本100习题103 NO.913 2. 数学之友T10.5练习题:1有两条平行直线和，在直线上取个点，直线上取个点，以这些点为顶点作三角形，这样的三角形共有（A） 2名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口人，则不同的分配方案有（A）种种种种3本不同的书，全部分给个学生，每个学生至少一本，不同分法的种数为（B） 4已知甲、乙两组各有人，现从每组抽取人进行计算机知识竞赛，比赛成员的组成共有 种可能。 答案： 5从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任

6、取2个数字，一共可以组成 个没有重复数字的五位数。6正六边形的中心和顶点共个点，以其中三个点为顶点的三角形共有个。7从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛。 （1）如果4人中男生和女生各选2人，有种选法； （2）如果男生中的甲与女生中的乙必须在内，有种选法； （3）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有种选法； （4）如果4人中必须既有男生又有女生，有种选法。8在200件产品中，有2件次品。从中任取5件， （1）“其中恰有2件次品”的抽法有种； （2）“其中恰有1件次品”的抽法有种； （3）“其中没有次品”的抽法有种； （4）“其中至少有1件次品”的抽法有种。9某科技小组有名同学

7、，现从中选出人去参观展览，至少有名女生入选时的不同选法有种，求该科技小组中女生的人数。答案：女生的人数是2。第十一课时 组合应用题（二）教学目的 1掌握分组问题的解法；2进一步熟练组合应用题的解法； 3培养思维能力和分析问题的能力。教学重难点排列、组合综合问题。教学过程 一、例题分析 六本不同的书，按下列要求各有多少种不同的方法？（1）分给甲、乙、丙三人，每人2本；（2）分为三份，每份2本；（3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；（4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本；（5）分为三份，一份四本，另两份各一本；（6）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本。 解：（1）根据分步计数

8、原理得到：种；（2）分给甲、乙、丙三人，每人两本有种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有种方法根据分步计数原理可得：，所以因此，分为三份，每份两本一共有15种方法。注：本题是分组中的“均匀分组”问题一般地：将个元素均匀分成组（每组个元素），共有 种方法。（3）这是“不均匀分组”问题，一共有种方法（4）在（3）的基础上再进行全排列，所以一共有种方法（5）这是“部分均匀分组”问题，一共有（6）可以分为三类情况：“2、2、2型”即（1）中的分配情况，有种方法；“1、2、3型”即（4）中的分配情况，有种方法；“1、1、4型”，有

9、种方法，所以，一共有90+360+90540种方法 10个人分乘4辆相同的汽车，两辆汽车各坐3人，另两辆汽车各坐2人，有多少种分配方案？ 解：3（1） 四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共有多少种不同的放法？（2） 四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法有多少种？解：（1）根据分步计数原理：一共有种方法；（2）（捆绑法）第一步：从四个不同的小球中任取两个“捆绑”在一起看成一个元素有种方法；第二步：从四个不同的盒中任取三个将球放入有种方法，所以，一共有144种方法4（1） 将6名运动员分到四所学校，每校至少一名，有多少种不同的分法？（2）从四所学校选6名运动员，每校至少一人，有多

10、少种不同的方案？ 解：（1） （2）（分类或用隔板法）6一楼梯分10级，某人上楼一步可上一级，也可，规定8步走完，共有多少种不同的走法？ 解: 8步中有2步是上了两级:变题1: 一楼梯分10级，某人上楼一步可上一级，也可上两级，一共有多少种走法？解: 由上法:可分为0、1、2、3、4、5个两级，则分别各走了10、9、8、7、6、5步.走法有:种走法；变题2: 若有n个台阶又如何？7马路上有编号为1，2，3，10的十盏路灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中3盏灯关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，有多少种不同的关灯方法？解：（插空法）本题等价于在7只亮着的路灯

11、之间的6个空档中插入3只熄掉的灯，故所求方法总数为种方法。8九张卡片分别写着数字0，1，2，8，从中取出三张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问可以组成多少个三位数？解：可以分为两类情况： 若取出6，则有种方法；若不取6，则有种方法，根据分类计数原理，一共有+602种方法。二、小结： 1按元素的性质进行分类、按事件发生的连续过程分步，是处理组合应用题的基本思想方法；2对于有限制条件的问题，要优先安排特殊元素、特殊位置；3对于含“至多”、“至少”的问题，宜用排除法或分类解决；4需要注意的是，均匀分组（不计组的顺序）问题不是简单的组合问题，如：将个人分成组，每组一个人，显然只有种分法，

12、而不是种 。一般地，将个不同元素均匀分成组，有种分法；5按指定的一种顺序排列的问题，实质是组合问题。二、 作业：数学之友T10.6练习题:1某班元旦联欢会原定的个学生节目已排成节目单，开演前又增加了两个教师节目。如果将这两个教师节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 （A） 2从人中选派人到个不同的交通岗的个中参加交通协管工作，则不同的选派方法有（D） 3某班分成个小组，每小组人，现要从中选出人进行个不同的化学实验，且每组至多选一人，则不同的安排方法种数是 （C） 45个人分4张同样的足球票，每人至多分一张，而且票必须分完，那么不同的分法种数是5某学生要邀请10位同学中的6位参加一项活动，其

13、中有2位同学要么都请，要么都不请，共有种邀请方法。6平面内有两组平行线，一组有条，另一组有条，这两组平行线相交，可以构成 个平行四边形。7空间有三组平行平面，第一组有个，第二组有个，第三组有个，不同两组的平面都相交，且交线不都平行，可构成个平行六面体。8在某次数学考试中，学号为的同学的考试成绩，且满足，则这四位同学的考试成绩的所有可能情况有 种。9某人制订了一项旅游计划，从个旅游城市中选择个进行游览。如果其中的城市、 必选，并且在旅游过程中必须按先后的次序经过、两城市（、两城市可以不相邻），则不同的游览路线有种。10高二某班第一小组共有12位同学，现在要调换座位，使其中有3个人都不坐自己原来的

14、座位，其他9人的座位不变，共有种不同的调换方法。11某兴趣小组有名男生，名女生： （1）从中选派名学生参加一次活动，要求必须有名男生，名女生，且女生甲必须在内，有种选派方法；（2）从中选派名学生参加一次活动， 要求有女生但人数必须少于男生，有种选派方法；（3）分成三组，每组人，有种不同分法。12一条连椅有6个座位，3人就坐，3个空位恰有2个连在一起的坐法有种多少种?（用数字作答） 72 13甲、乙、丙三人值周一至周六的班，每人值两天班，若甲不值周一、乙不值周六，则可排出不同的值班表数为多少？解：若甲值周六：；若甲不值周六：合计:24+18=42种.第十二课时 组合应用题（三）教学目的 1、掌握

15、几何中组合问题的解法；2、会将几何图形归纳为一个组合模型；3、培养思维能力和分析问题的能力。教学重难点排列、组合综合问题。教学过程 一、例题分析1如图是由12个小正方形组成的矩形网格，一质点沿网格线从点到点的不同路径之中，最短路径有 条。解：总揽全局：把质点沿网格线从点A到点的最短路径分为七步，其中四步向右，三步向上，不同走法的区别在于哪三步向上，因此，本题的结论是：2平面内有10个点，其中有4个红点，6个白点，除了3个白点共线外，其余无三点共线，求过同色的点所作的直线条数？解: 3半圆的直径AB上有异于A、B的4个点，半圆周上有异于A、B的6个点，以这10个点中的3点作三角形，共有多少个？以

16、这10个点中的3点作圆，共有多少个？以这10个点中的4点作四边形共有多少个？ 解: (1) 推广：若加上A和B计12个点呢?； 前三项是不用A和B，第四项是同时用A和B，后面A和B用一个；或 第一项是弧上8个点，第二项直径上选一点(不含A和B)，第三项是直径上一点(要去掉AB同时选的一种情况).(2) ；(3) 4一个圆周上有12个点，每两个点连一条弦，共有多少条弦？如果任意三条弦在圆周内都不共点，则这些弦在圆周内的交点有多少个？ 解: (1)；(2)圆周上四点可构成一个圆内接四边形，只有对角线的交点在圆内.5平面上有9条直线，按下列条件，可围成多少个三角形？其中有4条平行，此外无任何两条平行

17、，也无任何三线共点？其中有4线共点，此外无任何两条平行，也无任何三线共点？解: (1)； (2)6 在AOB的边OA上除了顶点O外有5个点，OB边上除点O外有6个点，用这些点（包括点O）作顶点，能组成多少个三角形？解: 7从1-9九个数字中任取三个作直线中的a、b、c且，则有多少条不同的直线？ 解: 注意重复:123，246，369；124，248；134，268；234，468共要减去5个。8正方体的12条棱中共有多少条异面直线？用正方体的八个顶点中的两点连线，可构成多少对异面直线？ （3）以正方体的8个顶点中的4个为顶点，可组成多少个四面体？解： （1）任取一条棱，有4条棱与它异面，由于异

18、面是相互的，故符合题意的异面直线共有（对） （2）考虑到任意两个顶点的边线情况比较复杂，直接计算有困难。 换个角度来看，用正方体的八个顶点可构成个四面体，而每一个四面体有3对异面直线，故有（对） （3）正方体有8个顶点，任取4个顶点的组合数为个，其中四点共面的情况分2类：构成表面的有6组；构成对角面的有6组，所以，能形成四面体（个）练习：以一个正方体的8个顶点连成的异面直线共有 对。解：由上题可知以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有58个，每个四面体的四条棱可以组成3对异面直线，因此以一个正方体的8个顶点连成的异面直线共有3×58174对。另解：对。9四面体的一个顶点为A，从其它顶点及各棱的中点中取三个点，使它们和A点在同一平面内，不同的取法有多少种？四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中取4个不共面的点的不同取法有多少种？解：（1）过A点的每一侧面中有（个） 过A点的每一