高等数学高职高专PPT完整全套教学课件

高等数学01第1章函数02第2章极限与连续03第3章导数与微分04第4章中值定理与导数的应用05第5章不定积分06第6章定积分07第7章定积分的应用08第8章常微分方程09第9章向量代数与空间解析几何10第10章多元函数微分学11第11章2重积分12第12章无穷级数第一节函数的基本概念第二节函数的性质第三节反函数第四节初等函数第一章函数培养科学态度和理性精神，提高思维能力.用联系的普遍性来看待函数中两个变量间相互依存的关系.揭示函数概念的形成过程，体会其中蕴含的数学思想方法.育人目标第一章函数现实生活中，存在着常量和变量.变量和变量之间又存在着相互依赖的关系。而函数就是刻画这种关系的数学模型.学好函数，我们就可以通过某一事实的信息推测另一事实.同时，函数是高等数学的主要研究对象，也是高等数学的基本概念.本章将在中学数学相关函数知识的基础上，进一步研究函数的概念和性质，为微积分的学习打下基础。本章导读

定义设D是由数组成的集合.如果对于每个数x∈D，变量y按照一定的法则f总有唯一确定的数值和它对应，那么将对应法则f称为在D上x到y的一个函数，记作y=f(x)，x称为自变量，y称为因变量，D称为函数的定义域.当x取x0∈D时，与x0对应的y的数值称为函数在点x0处的函数值，记作f(x0).当x取遍D中的一切数时，对应的函数值集合M={y|y=f(x)，x∈D}称为函数的值域.在函数的定义中，对每一个x∈D，只能有唯一的一个y值与它对应，这种定义的函数称为单值函数.一、函数的定义第一节函数的基本概念

1.表格法表格法是将自变量的值与对应的函数值列成表格表示两个变量的函数关系的方法.

2.图象法图象法是用图象表示两个变量的函数关系的方法.二、函数的表示法第一节函数的基本概念

3.解析法

(1)分段函数.在定义域的不同范围内用不同的解析式表示的函数称为分段函数.例如函数都是分段函数.分段函数仍然是一个函数，而不是几个函数.二、函数的表示法第一节函数的基本概念

3.解析法

(2)隐函数.如果自变量与因变量的对应关系是用一个方程F(x，y)=0确定的，则这种函数称为隐函数.

(3)参数方程所确定的函数.在许多实际问题中，变量x与y之间的函数关系还可以用含某一参数的方程组来确定.二、函数的表示法第一节函数的基本概念第一节函数的基本概念在实际问题中，函数的定义域要根据问题的实际意义确定．当不考虑函数的实际意义，而仅就抽象的解析式来研究函数时，这时定义域就取使解析式有意义的自变量的全体.要使解析式有意义，我们通常考虑以下几点：

(1)分式的分母不能为零；

(2)偶次根式的被开方数必须为非负数；

(3)对数式中的真数必须大于零；

(4)幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数要考虑各自的定义域；

(5)若函数表达式由几个数学式子组成，则其定义域应取各部分定义域的交集；

(6)分段函数的定义域是各个定义区间的并集．三、函数的定义域第一节函数的基本概念第一节函数的基本概念

定义1设函数的定义域D关于原点对称.如果对于任意的x∈D，f(-x)=-f(x)，那么f(x)为奇函数；如果对于任意的x∈D，f(-x)=f(x)，那么f(x)为偶函数.否则f(x)为非奇非偶函数.一、奇偶性第二节函数的性质第二节函数的性质

定义2若对于区间D内任意的两点x1，x2，当x1＜x2时，恒有f(x1)≤f(x2)，那么f(x)在区间D上单调增加，称f(x)为D上的单调递增函数，区间D称为f(x)的单调增区间；特别地，若成立严格不等式f(x1)<f(x2)，则称f（x）为D上的严格增函数，如果恒有f(x1)≥f(x2)，那么f(x)在区间D上单调减少，称f（x）为D上的单调递减函数，区间D称为f(x)的单调递减区间.特别当成立严格不等式f(x1)>f(x2)，称f（x）为D上的严格减函数.二、单调性第二节函数的性质第二节函数的性质

定义3设函数f(x)的定义域为D，数集X∈D.如果存在数K1，使得f(x)≤K1对任意x∈X都成立，则称函数f(x)在X上有上界，K1称为函数f(x)在X上的一个上界（任何大于K1的数也是f(x)在X上的上界）；如果存在数K2，使得f(x)≥K2

对任意x∈X都成立，则称函数f(x)在X上有下界，K2称为函数f(x)在X上的一个下界（任何小于K2的数也是f(x)在X上的下界）；如果存在正数M，使得|f(x)|≤M

对任意x∈X都成立，则称函数f(x)在X上有界，如果这样的M不存在，就称函数f(x)在X上无界.这就是说，如果对于任何正数M，总存在x1∈X，使|f(x1)|＞M，那么函数f(x)在X上无界.三、有界性第二节函数的性质

第二节函数的性质

定义4

设函数f(x)的定义域为D.对于任意的x∈D，如果存在不为零的数T，使得f(x+T)=f(x)，那么f(x)为D上的周期函数.T称为f(x)的一个周期，并且nT(n为非零整数)也是它的周期.通常，我们把函数的最小正周期称为函数的周期.四、周期性第二节函数的性质

第二节函数的性质

定义在函数的定义中，按关系式

x是自变量，y是因变量(函数).在关系式y=f(x)中，如果反过来，将y看成自变量，x看成因变量(函数)，即对每一个y∈B，按y=f(x)都有唯一确定的x值与之对应，则称x是y的反函数.在求反函数的表达式时，可将关系式y=f(x)看成一个方程式，从中将x解出，写作第三节反函数这就是反函数的表达式.习惯上自变量的记号取作x，故将式中x，y记号对换(对应关系不变)，得它仍是y=f(x)的反函数.若将φ记为f-1，则式可写为第三节反函数第三节反函数

我们把常数函数y=c(c为常数)、幂函数y=xa(α为实数)、指数函数y=ax(a＞0，a≠1，a为常数)、对数函数y=logax(a＞0，a≠1，a为常数)、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.一、基本初等函数第四节初等函数

一、基本初等函数第四节初等函数一、基本初等函数第四节初等函数一、基本初等函数第四节初等函数一、基本初等函数第四节初等函数一、基本初等函数第四节初等函数

定义1

若函数y=f(u)，u=g(x)，且u=g(x)的值域或部分值域包含在f(u)的定义域中，则变量y通过变量u与变量x建立了对应关系，这个对应关系称为y是x的复合函数，u是中间变量，x是自变量，通常将y=f(u)，u=g(x)

合并写成y=f［g(x)］.二、复合函数第四节初等函数第四节初等函数

定义2

基本初等函数(常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数)经过有限次的加、减、乘、除(分母不为零)的四则运算，以及有限次的复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，叫作初等函数.三、初等函数第四节初等函数第四节初等函数第四节初等函数谢谢观看高等数学第一节数列的极限第二节函数的极限第三节无穷小与无穷大第四节函数极限的运算法则第二章极限与连续第五节两个重要极限第六节函数的连续性第七节连续函数的性质从中国古代极限理论取得的成就中挖掘民族自豪感.理解极限与连续，体会不忘初心、砥砺前行、坚持不懈、无限接近、方得始终的精神.育人目标第二章极限与连续在解决一些实际问题时，需要研究变量的变化趋势.例如，当自变量无限接近于某个常数时，函数无限接近于什么?这就需要极限理论.极限理论是高等数学的基础，也是高等数学的基本推理工具.本章将主要介绍极限与连续的基本概念，以及它们的一些主要性质，为进一步学好微积分打下基础.本章导读

以前我们已经学过数列的概念，现在我们来考察当项数n无限增大时，无穷数列{an}的变化趋势.

定义如果无穷数列{an}的项数n无限增大时，an无限趋近于一个确定的常数A，那么A就叫作数列{an}的极限(limit).记作读作“当n趋向于无穷大时，数列{an}的极限等于A”.根据定义，上面三个数列的极限分别记作一、数列极限的定义第一节函数极限的运算法则第一节函数极限的运算法则前面我们介绍了数列极限的定义，并通过观察求出了一些简单数列的极限.但对于数列极限的计算问题，通常需要用到数列极限的运算法则.法则(1)和法则(2)可以推广到有限个具有极限的数列的情形.二、数列极限的运算法则第一节函数极限的运算法则第一节函数极限的运算法则第一节函数极限的运算法则

定义1如果当x→∞时，函数f(x)无限趋近于确定的常数A，那么A就叫作函数f(x)当x→∞时的极限，记作这里“x→∞”表示x既取正值而无限增大(记作x→+∞)，又取负值而绝对值无限增大(记作x→-∞).但有的时候x的变化趋势只能取这两种变化中的一种情况.一、当x→∞时函数f(x)的极限第二节函数的极限

定义2

如果当x→+∞(或x→-∞)时，函数f(x)的值无限趋近于一个确定的常数A，那么A就称为函数f(x)当x→+∞(或x→-∞)时的极限，记作一、当x→∞时函数f(x)的极限第二节函数的极限第二节函数的极限

定义3

设函数y=f(x)在x0的某空心邻域内有定义，如果当x无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数A，那么A就叫作函数f(x)当x→x0时的极限，记作二、当x→x0时函数f(x)的极限第二节函数的极限第二节函数的极限第二节函数的极限第二节函数的极限第二节函数的极限

定义4

如果当x→x0-时，函数f(x)的值无限趋近于一个确定的常数A，那么A就称为函数f(x)在x0处的左极限，记作如果当x→x0+时，函数f(x)的值无限趋近于一个确定的常数A，那么A就称为函数f(x)在x0处的右极限，记作二、当x→x0时函数f(x)的极限第二节函数的极限第二节函数的极限

定义1如果当x→x0(或x→∞)时，函数f(x)的极限为零，那么称函数f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷小.一、无穷小第三节无穷小与无穷大

定义2

如果当x→x0(或x→∞)时，函数f(x)的绝对值无限增大，那么称函数f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷大.如果从函数极限的定义来看，f(x)的极限不存在，但是为了便于叙述，我们称“函数的极限是无穷大”，并记作二、无穷大第三节无穷小与无穷大

定理1

在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，那么1/f(x)为无穷小；反之，如果f(x)为无穷小，且f(x)≠0，那么1/f(x)为无穷大.三、无穷小与无穷大第三节无穷小与无穷大

定理2

在自变量的同一变化过程x→x0(或x→∞)中，limf(x)=A的充分必要条件是：f(x)=A+α，其中A为常数，α为无穷小.

注意：在“lim”符号下面不标x→x0或x→∞，表示所述结果对两者都适用，以后不再说明.四、函数极限与无穷小的关系第三节无穷小与无穷大在自变量的同一变化过程中，无穷小具有以下三个性质：

性质1有限个无穷小的代数和为无穷小.

性质2有界函数与无穷小的乘积为无穷小.

性质3有限个无穷小的乘积为无穷小.五、无穷小的性质第三节无穷小与无穷大第三节无穷小与无穷大

定义3设α与β是同一变化过程中的两个无穷小，即limα=0，limβ=0.

(1)如果limα/β=0，那么称α是比β高阶的无穷小；

(2)如果limα/β=∞，那么称α是比β低阶的无穷小；

(3)如果limα/β=c≠0，那么称α与β是同阶无穷小.特别是当c=1，即当limα/β=1时，则称α与β是等价无穷小，记作α～β.

由定义可知，当x→0时，x2是比3x高阶的无穷小，而3x是比x2低阶的无穷小，3x与2x是同阶无穷小.六、无穷小的比较第三节无穷小与无穷大与数列极限类似，对于比较复杂的函数极限，我们也需要用到极限的运算法则来进行计算.下面给出函数极限的运算法则：法则（1）和法则（2）可推广到有限个具有极限的函数的情形.

第四节函数极限的运算法则第四节函数极限的运算法则第四节函数极限的运算法则第四节函数极限的运算法则第四节函数极限的运算法则第四节函数极限的运算法则第四节函数极限的运算法则第四节函数极限的运算法则我们考察当x趋近于0时，函数sinx/x的变化趋势，列表如下：从上表中可以看出，当x→0时，sinx/x→1，即第五节两个重要极限第五节两个重要极限第五节两个重要极限

我们考察当x→∞时，函数（1+1/x）x的变化趋势，列表如下：第五节两个重要极限

从上表中可以看出，当x→+∞和x→-∞时，函数（1+1/x）x无限趋近于一个确定的常数，这个常数就是无理数e=2.71828182845…，即在上式中，令u=1／x，则当x→∞时，u→0，于是我们可以得到另一种形式第五节两个重要极限第五节两个重要极限

定义1

设函数y=f(x)，当自变量由初值x0变到终值x1时，我们把差值x1-x0叫作自变量的增量(或改变量)，记作Δx，即Δx=x1-x0.因此X1=x0+Δx.

这时可以说，自变量由初值x0变化到x0+Δx.

相应地，函数值由f(x0)变化到f(x0+Δx)，我们把差值f(x0+Δx)-f(x0)

叫作函数的增量(或改变量)，记作Δy，即Δy=f(x0+Δx)-f(x0).一、函数的增量第六节函数的连续性第六节函数的连续性

定义2

设函数y=f(x)在点x0及其近旁有定义，如果当自变量x在x0处的增量Δx趋近于零时，函数y=f(x)的相应增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)也趋近于零，也就是说，有或那么称函数y=f(x)在点x0处连续，称点x0为函数f(x)的连续点.

二、函数的连续第六节函数的连续性

二、函数的连续第六节函数的连续性

二、函数的连续第六节函数的连续性第六节函数的连续性第六节函数的连续性

性质1如果函数f(x)与g(x)在点x0处连续，那么它们的和、差、积、商(分母在x0处不等于零)也都在x0处连续.即一、连续函数的和、差、积、商的连续性第七节连续函数的性质第七节连续函数的性质

性质2如果函数u=φ(x)在点x0处连续，且φ(x0)=u0，而函数y=f(u)在点u0处连续，那么复合函数y=f［φ(x)］在点x0处也连续.二、复合函数的连续性第七节连续函数的性质

性质3一切初等函数在其定义区间内都是连续的.

这个结论对于以后判定函数连续性及一些极限的运算是非常有价值的.如果已知函数f(x)是初等函数，且x0属于f(x)的定义区间，那么求limx→x0f(x)时，只需将x0代入函数，求函数值f(x0)即可.三、初等函数的连续性第七节连续函数的性质第七节连续函数的性质

性质4如果函数f(x)在闭区间［a，b］上连续，那么函数f(x)在［a，b］上一定有最大值与最小值.四、闭区间上连续函数的性质第七节连续函数的性质如图所示，可以看出，在［a，b］上至少有一点ξ(a≤ξ≤b)，使得f(ξ)=m为最小值，即m=f(ξ)≤f(x)(a≤x≤b)；又至少有一点η(a≤η≤b)，使得f(η)=M为最大值，即M=f(η)≥f(x)(a≤x≤b).注意：对于在开区间内连续或在闭区间上有间断点的函数，其最大值、最小值不一定存在.例如，函数y=x2+1，在(-1，1)内连续，在x=0处取得最小值，但在这个区间内没有最大值；而在(1，2)内既无最大值，也无最小值.四、闭区间上连续函数的性质第七节连续函数的性质第七节连续函数的性质

性质5如果函数f(x)在闭区间［a，b］上连续，且在两端点取不同的函数值f(a)=A和f(b)=B，C是A与B之间的任一数，那么在开区间(a,b)内至少有一点ξ，使得f(ξ)=C（a＜ξ＜b）四、闭区间上连续函数的性质第七节连续函数的性质

推论如果函数f(x)在闭区间［a，b］上连续，且f(a)与f(b)异号，那么至少存在一点ξ（a＜ξ＜b），使得f(ξ)=0.四、闭区间上连续函数的性质第七节连续函数的性质第七节连续函数的性质谢谢观看高等数学第一节导数的概念第二节函数的求导法则第三节高阶导数第四节相关变化率第三章导数与微分第五节函数的微分培养细心琢磨的习惯，理解工匠精神.在学习导数的过程中领会“琢磨”的乐趣，体会工匠“精益求精”的精神.育人目标第三章导数与微分在生产实践和科学实验中，研究运动的各种形式，都需要从数量上研究函数相对于自变量的变化快慢程度的问题，以及研究当自变量有微小变化时，函数的变化幅度大小的问题.解决这两类问题，需要引入导数和微分的概念.本章将主要介绍导数和微分的概念、计算方法以及导数在实际生产中的简单应用.本章导读

一、导数概念的两个引例第一节导数的概念

1.变速直线运动的瞬时速度

那么，怎样求非匀速直线运动物体在某一时刻的速度呢？

由于物体做变速运动，用匀速直线运动的公式v=s/t来计算它在某一时刻的速度已不适用.处理这个问题的基本方法是“匀速代变速”.为此，给t0一个增量Δt，当时间由t0改变到t0+Δt时，在Δt这一段时间内，物体走过的路程是Δs=f(t0+Δt)-f(t0).物体在时间间隔Δt内的平均速度是一、导数概念的两个引例第一节导数的概念

1.变速直线运动的瞬时速度

用Δt这一段时间内的平均速度表示物体在t0时刻的瞬时速度，这当然是近似值，显然Δt越小，即时刻t越接近于t0，其近似程度就越好.为完成“近似”向“精确”的转化，令Δt→0，如果平均速度v的极限存在，则这个极限值就叫作物体在时刻t0的速度(瞬时速度)，即一、导数概念的两个引例第一节导数的概念

2.切线问题设M是曲线C上任一点，N是曲线上在点M附近的一点，作割线MN.当点N沿着曲线C向点M移动时，割线MN就绕着M转动，当点N无限趋近于点M时，割线MN的极限位置为MT，直线MT叫作曲线在点M处的切线.一、导数概念的两个引例第一节导数的概念

2.切线问题当Δx→0时，割线MN将绕点M转动到极限位置MT.根据上面切线的定义，直线MT就是曲线y=f(x)在点M处的切线.自然，割线MN的斜率tanφ的极限就是切线MT的斜率tanα(α是切线MT的倾斜角).一、导数概念的两个引例第一节导数的概念

2.切线问题以上两个问题，虽然它们所代表的具体内容不同，但从数量上看，它们有共同的本质：都是计算当自变量的增量趋于零时，函数的增量与自变量的增量之比的极限.在自然科学、工程技术问题和经济管理中，还有许多非均匀变化的问题，也都可归结为这种形式的极限.因此，抛开这些问题的不同的实际意义，只考虑它们的共同性质，就可得出函数的导数定义.一、导数概念的两个引例第一节导数的概念

定义1设函数y=f(x)在点x0处及其近旁有定义，当自变量x在x0处有增量Δx时，相应地函数y有增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0).

如果当Δx→0时，Δy/Δx的极限存在，则这个极限就称为函数y=f(x)在点x0处的导数(或称为变化率)，记为y′|x=x0，即也可以记作二、导数的定义第一节导数的概念

如果极限存在，就称函数f(x)在点x0处可导.如果极限不存在，就称函数y=f(x)在点x0处不可导.如果不可导的原因是当Δx→0时，Δy/Δx→∞，为了方便起见，往往也说函数y=f(x)在点x0处的导数为无穷大.

如果函数y=f(x)在区间(a，b)内的每一点都可导，就说函数y=f(x)在区间(a，b)内可导.这时，对于(a，b)内的每一个x值，都有唯一确定的导数值与之对应，这就构成了x的一个新的函数，这个新的函数叫作原来函数y=f(x)的导函数，记为y′，f′(x)，dy/dx或df(x)/dx.二、导数的定义第一节导数的概念在式中，把x0换成x，即得y=f(x)的导函数公式：

显然，函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x=x0处的函数值，即为方便起见，在不致引起混淆的地方，导函数也称导数.由此可见，导数是用极限来定义的，类似于有关极限的内容，导数有左右导数的定义.二、导数的定义第一节导数的概念

定义2设函数y=f(x)在点x0的某左（右）邻域内有定义，若

存在，则称y=f(x)在点x0的左(右)导数存在，记作f′-(x0)(f′+(x0)).

函数的左(右)导数，又称函数的单侧导数.

显然，当函数y=f(x)在点x0处导数存在时，有结论：

f′(x0)存在→左导数f′-(x0)和右导数f′+(x0)存在并且相等.二、导数的定义第一节导数的概念根据导数的定义，求函数y=f(x)的导数可以分为以下三个步骤：三、求导数举例第一节导数的概念第一节导数的概念第一节导数的概念第一节导数的概念

由切线斜率问题的讨论及导数定义可知:函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点M(x0，y0)处的切线斜率，即f′(x0)=tanα.

其中α是切线的倾斜角.根据导数的几何意义及直线的点斜式方程可得，曲线y=f(x)在给定点M(x0，y0)处的切线方程是y-y0=f′(x0)(x-x0).

过切点M(x0，y0)且与切线垂直的直线叫作曲线y=f(x)在点M(x0，y0)的法线.如果f′(x0)≠0，则法线方程为四、导数的几何意义第一节导数的概念第一节导数的概念设函数y=f(x)在点x0处可导，即极限存在.由函数极限存在与无穷小的关系知

Δy/Δx=f′(x0)+α(α是当Δx→0时的无穷小).上式两端同乘以Δx，得Δy=f′(x0)Δx+αΔx，不难看出，当Δx→0时，Δy→0.这就是说，函数y=f(x)在点x0处是连续的.

所以，如果函数y=f(x)在点x0处可导，则函数在该点处必连续.注意：如果函数y=f(x)在某一点处连续，却不一定在该点处可导.五、函数可导性与连续性的关系第一节导数的概念第一节导数的概念第一节导数的概念

法则1若函数u=u(x)和v=v(x)在点x处可导，则函数u(x)±v(x)也在点x处可导，且［u(x)±v(x)］′=u′(x)±v′(x).

法则2若函数u=u(x)和v=v(x)在点x处可导，则函数u(x)·v(x)在点x处也可导，且［u(x)·v(x)］′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x).特别地，令v(x)=c(常数)，由于c′=0，所以有［cu(x)］′=cu′(x).

一、函数和、差、积、商的求导法则第二节函数的求导法则

法则3若函数u=u(x)和v=v(x)在点x处可导，且v(x)≠0，则函数u(x)v(x)在点x处也可导，且[u(x)/v(x)]′=u′(x)v(x)-u(x)v′(x)/［v(x)］2.一、函数和、差、积、商的求导法则第二节函数的求导法则第二节函数的求导法则第二节函数的求导法则

法则4如果函数u=φ(x)在点x处可导，且y=f(u)在对应点u=φ(x)处可导，那么复合函数f［φ(x)］在点x处也可导，并且Dy/dx=dy/du·du/dx或f′(x)=f′(u)·φ′(x).

法则4可以推广到有有限个中间变量可导函数的复合函数的情况.例如，y=f(u)，u=φ(v)，v=ψ(x)都是可导函数，则复合函数y=f｛φ［ψ(x)］｝的导数是Dy/dx=dy/du·du/dv·dv/dx.二、复合函数的求导法则第二节函数的求导法则利用导数定义及其他求导方法，可以求得基本初等函数的导数公式：二、复合函数的求导法则第二节函数的求导法则第二节函数的求导法则第二节函数的求导法则如果一个隐函数能够转化为显函数，其导数可以用以前学过的方法求得.但是，有的隐函数很难或是根本不能转化为显函数，在这种情况下，隐函数的求导方法是：

(1)将方程F(x，y)=0的两边对x求导，在求导过程中把y看成x的函数，y的函数看成是x的复合函数；

(2)求导后，解出y′即可(式子中允许有y出现).三、隐函数的求导法则第二节函数的求导法则第二节函数的求导法则第二节函数的求导法则

法则5设函数x=φ(y)在区间D内单调，在y处可导，且φ′(y)≠0，则其反函数y=f(x)在x=φ(y)处也可导，且

四、反函数的求导法则第二节函数的求导法则第二节函数的求导法则第二节函数的求导法则在实际应用中，函数y与自变量x的关系常常通过某一参数变量t表示出来，即称为函数的参数方程.五、参数方程所确定的函数的导数第二节函数的求导法则第二节函数的求导法则

一般来说，函数y=f(x)的导数y′=f′(x)仍是x的函数.如果函数y′=f′(x)仍是可导的，则把y′=f′(x)的导数叫作函数y=f(x)的二阶导数，记为y″，f″(x)或d2y/dx2.

相应地，y′=f′(x)叫作函数y=f(x)的一阶导数.类似地，y=f(x)的二阶导数y″的导数叫作y=f(x)的三阶导数，三阶导数的导数叫作y=f(x)的四阶导数……一般地，f(x)的n-1阶导数的导数叫作y=f(x)的n阶导数，分别记作二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数.一、高阶导数的概念第三节高阶导数第三节高阶导数设物体作变速直线运动，其运动方程为s=s(t)，瞬时速度为v=s′(t).此时，若速度v仍是时间t的函数，则可以求速度v对时间t的变化率:v′(t)=(s′(t))′=s″(t).在力学中把它叫作物体在给定时刻的加速度，用a表示.也就是说，物体的加速度a是路程s对时间t的二阶导数，即二、二阶导数的物理意义第三节高阶导数在实际问题中，有时遇到参与变化的几个变量都是时间t的函数.这几个变量之间存在某种关系，从而它们的变化率之间也存在一定的关系.这几个互相依存的变化率称为相关变化率.所谓相关变化率问题就是研究这几个变化率之间的关系，以便由已知的变化率求出未知的变化率.第四节相关变化率第四节相关变化率第四节相关变化率

定义

如果函数y=f(x)在点x0处存在导数f′(x0)，那么f′(x0)·Δx就叫作函数y=f(x)在点x0处的微分，记作dy|x=x0，即若函数y=f(x)在区间(a，b)内任一点x处都可导，则把它在点x处的微分叫作函数的微分，记作dy或df(x)，即dy=f′(x)·Δx.一、微分的定义第五节函数的微分由定义可以知道，自变量的微分就是自变量的改变量，记作dx，即dx=Δx，于是dy=f′(x)dx.由式两边同时除以dx可以得出Dy/dx=f′(x).上式说明，导数f′(x)是函数的微分dy与自变量的微分dx的商.因此导数也叫作微商.今后我们把可导函数也称为可微函数.一、微分的定义第五节函数的微分第五节函数的微分

设曲线y=f(x)上一点P的坐标为(x0，f(x0))，过P点作割线PQ交曲线于Q点，其坐标为(x0+Δx，f(x0+Δx))，则dx=Δx=PR，Δy=RQ.

又设过P(x0，f(x0))点的切线PT交RQ于点M，函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)是过P点的切线PT的斜率，即f′(x0)=tanα=RM/PR.二、微分的几何意义第五节函数的微分

因此函数在点x0的微分是：

这说明函数在x=x0处的微分是曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的纵坐标对应于Δx的改变量.这就是微分的几何意义.二、微分的几何意义第五节函数的微分

1.微分的基本公式

2.函数和、差、积、商的微分法则三、微分的运算第五节函数的微分

3.复合函数微分法则若函数y=f(u)及u=φ(x)都可导，则复合函数y=f［φ(x)］的微分为dy=y′xdx=f′(u)φ′(x)dx.由于φ′(x)dx=du，故上式为dy=f′(u)du.所以复合函数的微分法则为dy=f′(u)du.将这个公式与x为自变量的微分公式dy=f′(x)dx相比较，可以发现它们的形式完全相同，这表明无论u是自变量还是中间变量(即自变量的函数)，函数y=f(u)的微分形式dy=f′(u)du都保持不变，微分的这种性质叫作一阶微分形式的不变性.

三、微分的运算第五节函数的微分第五节函数的微分

函数y=f(x)在x=x0处的增量Δy，在|Δx|很小时，可用微分dy来代替，即Δy≈dy=f′(x0)Δx，

于是Δy=f(x0+Δx)-f(x0)≈f′(x0)Δx，

或f(x0+Δx)≈f(x0)+f′(x0)Δx.

在上式中，令x0=0，Δx=x，得f(x)≈f(0)+f′(0)x.四、微分在近似计算中的应用第五节函数的微分应用可推得几个工程上常用的近似公式(下面假定|x|是很小的数值)：四、微分在近似计算中的应用第五节函数的微分第五节函数的微分谢谢观看高等数学第一节中值定理第二节洛必达法则第三节函数单调性的判定法第四节函数的极值及其求法第四章中值定理与导数的应用第五节函数的最大值和最小值第六节曲线的凹凸性与拐点第七节函数图形的描绘比较三大中值定理，学会在运动发展中看问题，并在运动中看到问题的本质.比较分析极值与最值，认识局部和整体的辩证关系.掌握函数的单调性和凹凸性，体会函数曲线与生活的关系.育人目标第四章中值定理与导数的应用在自然科学、工程技术和社会经济中，导数有着广泛的应用.应用导数来研究函数及其曲线的某些性态，并解决一些实际问题，是微分学的一个重要组成部分.本章将在学习微分中值定理的基础上，利用导数来研究函数的某些性态.本章导读

罗尔定理如果函数f(x)在闭区间［a，b］上连续，在开区间(a，b)内可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在(a，b)内至少有一点ξ，使得函数f(x)在该点的导数等于零：f′(ξ)=0.一、罗尔定理第一节中值定理罗尔定理中f(a)=f(b)这个条件是相当特殊的，它使罗尔定理的应用受到限制.如果把f(a)=f(b)这个条件取消，但仍保留其余两个条件，并相应地改变结论，那么就得到微分学中十分重要的拉格朗日中值定理.

拉格朗日中值定理如果函数f(x)在闭区间［a，b］上连续，在开区间(a，b)内可导，那么在(a，b)内至少有一点ξ，使等式f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)(4-1)成立。二、拉格朗日中值定理第一节中值定理由拉格朗日中值定理可以得到下面的推论.

推论1设函数f(x)在区间I内恒有f′(x)=0，那么在区间I内函数f(x)=C，其中C为常数.

推论2设f(x)、g(x)是在I内的可导函数，若f′(x)=g′(x)，则f(x)-g(x)=C，其中C为常数.拉格朗日中值定理在微分学中占有重要地位，有时也叫作微分中值定理，f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)叫作拉格朗日中值公式.二、拉格朗日中值定理第一节中值定理第一节中值定理第一节中值定理第一节中值定理

柯西中值定理如果函数f(x)及F(x)在闭区间［a，b］上连续，在开区间(a，b)内可导，且F′(x)在(a，b)内的每一点处均不为零，那么在(a，b)内至少有一点ξ，使等式成立。三、柯西中值定理第一节中值定理第一节中值定理

定理1(洛必达法则)如果函数f(x)，g(x)满足条件：那么一、0/0型未定式第二节洛必达法则第二节洛必达法则第二节洛必达法则第二节洛必达法则对于x→x0时的∞/∞型未定式，也有相应的洛必达法则

定理2如果f(x)，g(x)满足条件：那么对于x→∞时的∞/∞型未定式，上述法则也同样适用.二、∞/∞型未定式第二节洛必达法则第二节洛必达法则第二节洛必达法则第二节洛必达法则

定理设函数y=f(x)在［a，b］上连续，在(a，b)内可导：

(1)如果在(a，b)内f′(x)＞0，那么函数y=f(x)在［a，b］上单调增加；

(2)如果在(a，b)内f′(x)＜0，那么函数y=f(x)在［a，b］上单调减少.第三节函数单调性的判定法

证明设x１，x２是［a，b］上的任意两点，且x１＜x２，函数f(x)在区间(x１，x２)上满足拉格朗日中值定理的条件.应用拉格朗日中值定理，有f(x２)-f(x１)=f′(ξ)(x２-x１)(x１＜ξ＜x２).若f′(x)＞0，则f′(ξ)＞0，又因为x２-x１＞0，所以由上式得f(x２)＞f(x１).即函数f(x)在［a，b］上单调增加.若f′(x)＜0，则函数f(x)在［a，b］上单调减少.这个结论同样适用于开区间(a，b)或无限区间.第三节函数单调性的判定法

如果函数f(x)在区间(a，b)内的个别点的导数为零，其余的点都有f′(x)＞0(或f′(x)＜0)，那么f(x)在(a，b)内仍是单调增加(或单调减少).例如，y=-x３的导数为y′=-3x２，当x=0时，y′=0，在其余点均有y′＜0，故它在(-∞，+∞)内是单调递减的．第三节函数单调性的判定法第三节函数单调性的判定法第三节函数单调性的判定法第三节函数单调性的判定法第三节函数单调性的判定法第三节函数单调性的判定法

定义设函数f(x)在区间（a，b）内有定义，x０∈(a，b).如果对于点x０近旁的任意点x(x≠x0)，均有f(x)＜f(x０)成立，则称f(x０)是函数f(x)的一个极大值，点x０称为f(x)的一个极大值点；如果对于点x０近旁的任意点x(x≠x０)，均有f(x)＞f(x０)成立，则称f(x０)是函数f(x)的一个极小值，点x0称为f(x)的一个极小值点.函数的极大值与极小值统称为极值.使函数取得极值的极大值点与极小值点统称为极值点.一、函数极值的定义第四节函数的极值及其求法

定理1

设函数f(x)在点x0处可导，且在点x0处取得极值，则必有f′(x)=0.

使导数为零的点（即方程f′(x)=0的实根）叫作函数f(x)的驻点（又叫稳定点）.说明可导函数的极值点必定是驻点，但函数的驻点并不一定是极值点.例如，x=0是函数f(x)=x3的驻点，但x=0不是它的极值点.函数f(x)在点x0取得极大值，在点x0的左侧单调增加，有f′(x)＞0;在点x0的右侧单调减少，有f′(x)＜0.此可给出函数在某点处取得极值的充分条件.二、函数极值的判定和求法第四节函数的极值及其求法

定理2

(第一充分条件)设函数f(x)在点x0及其近旁可导，且f′(x0)=0.

(1)如果当x取x0左侧邻近的值时，恒有f′(x)＞0;当x取x0右侧邻近的值时，恒有f′(x)＜0，那么函数f(x)在点x0处取得极大值f(x0).

(2)如果当x取x0左侧邻近的值时，恒有f′(x)＜0;当x取x0右侧邻近的值时，恒有f′(x)＞0，那么函数f(x)在点x0处取得极小值f(x0).

(3)如果在x0的两侧，函数的导数符号相同，那么函数f(x)在点x0处没有极值.

当函数f(x)在驻点处的二阶导数存在且不为零时，也可以利用下列定理来判定f(x)在驻点处取得极大值还是极小值.二、函数极值的判定和求法第四节函数的极值及其求法

定理3(第二充分条件)设函数f(x)在点x0处具有二阶导数且f′(x0)=0，f″(x0)≠0，那么

(1)f″(x0)＜0时，函数f(x)在点x0处取得极大值;

(2)f″(x0)＞0时，函数f(x)在点x0处取得极小值.二、函数极值的判定和求法第四节函数的极值及其求法

根据上面三个定理，如果函数f(x)在所讨论的区间内各点处都具有导数，我们就以下列步骤来求函数f(x)的极值点和极值:

(1)求出函数f(x)的定义域;

(2)求出函数f(x)的导数f′(x);

(3)求出f(x)的全部驻点(即求出方程f′(x)=0在所讨论的区间内的全部实根)；

(4)用驻点把函数的定义域划分为若干个部分区间，考察每个部分区间内f′(x)的符号，以确定该驻点是否为极值点.如果是极值点，还要按定理2确定对应的函数值是极大值还是极小值；

(5)求出各极值点处的函数值，就得到了函数f(x)的全部极值.二、函数极值的判定和求法第四节函数的极值及其求法第四节函数的极值及其求法第四节函数的极值及其求法第四节函数的极值及其求法我们知道，闭区间［a，b］上的连续函数f(x)一定有最大值和最小值存在.显然，这个最大值和最小值只能在区间(a，b)内的极值点或者区间的端点处取得.因此，求闭区间上连续函数的最大值和最小值时，只要把可能取得极值的点(驻点和不可导的点)与区间端点的函数值比较大小即可.最大的就是f(x)在［a，b］上的最大值，最小的就是f(x)在［a，b］上的最小值.一、函数的最大值和最小值的求法第五节函数的最大值和最小值第五节函数的最大值和最小值第五节函数的最大值和最小值在实际问题中，常要遇到在一定条件下，怎样使产量最多、用料最省、成本最低等问题，这类问题常可归结为求函数的最大值或最小值问题.二、最大值和最小值的应用问题第五节函数的最大值和最小值第五节函数的最大值和最小值第五节函数的最大值和最小值

定义1

若在开区间(a，b)内，曲线y=f(x)的各点处切线都位于曲线的下方，则称此曲线在(a，b)内是凹的;若曲线y=f(x)的各点处切线都位于曲线的上方，则称此曲线在(a，b)内是凸的.曲线y=f(x)在区间(a，c)内是凸的，在区间(c，b)内是凹的.再观察曲线段上各点处的斜率的变化我们会发现，曲线y=f(x)在区间(a，c)内从左至右切线的斜率是递减的;在区间(c，b)内从左至右切线的斜率是递增的.联系函数增减性的判别方法，我们便有如下的曲线凹凸性的判别定理.一、曲线的凹凸性及其判别法第六节曲线的凹凸性与拐点

定理设函数y=f(x)在开区间(a，b)内具有二阶导数，则

(1)如果在区间(a，b)内f″(x)＞0，则曲线y=f(x)在(a，b)内是凹的;

(2)如果在区间(a，b)内f″(x)＜0，则曲线y=f(x)在(a，b)内是凸的;一、曲线的凹凸性及其判别法第六节曲线的凹凸性与拐点第六节曲线的凹凸性与拐点

定义2

若连续曲线y=f(x)上的一点是凹的曲线弧与凸的曲线弧的分界点，则称该点是曲线y=f(x)的拐点.判定曲线的拐点的步骤.

(1)确定函数y=f(x)的定义域;

(2)求出二阶导数f″(x)，令f″(x)=0，求出定义域内的所有实根，指出f″(x)不存在的点，用这些点来划分定义域;

(3)列表讨论f(x)在各个区间f″(x)的符号和f(x)的凹凸性;

(4)确定y=f(x)的拐点.二、曲线的拐点第六节曲线的凹凸性与拐点第六节曲线的凹凸性与拐点第六节曲线的凹凸性与拐点第六节曲线的凹凸性与拐点第六节曲线的凹凸性与拐点

定义

如果曲线y=f(x)的定义域是无限区间，且有limx→-∞f(x)=b或limx→+∞f(x)=b，则直线y=b为曲线y=f(x)的水平渐近线；如果曲线y=f(x)有limx→x0+f(x)=∞，或limx→x0-f(x)=∞，则直线x=x0是曲线y=f(x)的垂直渐近线.一、曲线的渐近线第七节函数图形的描绘

根据前面所讨论的函数的各种性态，我们可以总结出描绘函数图形的一般步骤：

(1)确定函数的定义域，并讨论函数的有界性、周期性、奇偶性等;

(2)求f′(x)，f″(x)，解出f′(x)=0及f″(x)=0在定义域内的全部实根及一阶、二阶导数不存在的点;

(3)列表讨论f′(x)，f″(x)的符号，从而确定函数的单调性、凹凸性、极值和拐点;

(4)计算一些必要的辅助点;

(5)讨论曲线的渐近线;

(6)描出函数图象.二、描绘函数图形的一般步骤第七节函数图形的描绘第七节函数图形的描绘第七节函数图形的描绘谢谢观看高等数学第一节不定积分的概念与性质第二节换元积分法第三节分部积分法第四节有理函数的不定积分第五章不定积分通过不定积分的学习，感悟“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”的道理.感悟认识与实践的辩证关系,树立严谨的科学态度，培养不怕困难、勇于攀登的科学品质.育人目标第五章不定积分微积分学主要研究微分和积分.微分学的基本问题：已知一个函数，求它的导数.积分学的基本问题：已知一个函数的导数，求出这个函数.前面我们已经学习了一元函数的微分学,下面我们将学习一元函数的积分学,积分分为不定积分和定积分两大部分.本章将主要研究不定积分的概念、性质和基本积分方法.本章导读我们称这类由给定f′(x)求f(x)的运算为积分法.正如加法的逆运算是减法,乘法的逆运算是除法一样,积分法可以看作微分法的逆运算.

定义1设函数F(x)和f(x)在区间I上有定义,若对于I上每一点x,都有F′(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,则称F(x)是f(x)在区间I上的原函数.一、原函数与不定积分第一节不定积分的概念与性质

定理若函数f(x)在区间I上连续,那么f(x)在区间I上的原函数F(x)存在.

由于初等函数在其定义域上处处连续,因此,每个初等函数在其定义区间上都存在原函数.

设F(x)是f(x)在区间I上的原函数,即F′(x)=f(x).那么,对任意常数C,由［F(x)+C］′=F′(x)=f(x)知,F(x)+C也是f(x)的原函数.

如果F(x),G(x)都是f(x)在区间I上的原函数,即有F′(x)=G′(x)=f(x),根据微分学拉格朗日中值定理的推论,存在某常数C,使G(x)=F(x)+C.一、原函数与不定积分第一节不定积分的概念与性质综上所述,如果某函数存在原函数,那么原函数有无穷多个,并且,它们彼此之间只相差一个常数.因此,若把两个函数相差一个常数作为“等价”看待，则可认为原函数“基本上”只有一个.要把某函数的原函数求出来，只需求出其中任意一个，由它加上各个不同的常数便可得到全部原函数.根据全体原函数的这种结构，引入不定积分的概念.一、原函数与不定积分第一节不定积分的概念与性质

定义2函数f(x)在区间I上的全体原函数称为f(x)在I上的不定积分，记作∫f(x)dx.其中，记号∫称为积分号；f(x)称为被积函数；f(x)dx称为被积表达式；x称为积分变量.由定义2可知，不定积分与原函数是整体和个体的关系，f(x)的不定积分∫f(x)dx是f(x)的原函数的全体，是一族函数.若F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，则f(x)在区间I上的不定积分为∫f(x)dx=F(x)+C.其中，C为任意实数，称为积分常数.一、原函数与不定积分第一节不定积分的概念与性质第一节不定积分的概念与性质第一节不定积分的概念与性质在直角坐标系中，f(x)的任意一个原函数F(x)的图形是一条曲线y=F(x)，这条曲线上任意点(x,F(x))处的切线的斜率F′(x)恰为函数值f(x)，称这条曲线为f(x)的一条积分曲线.f(x)的不定积分F(x)+C则是一个曲线簇，称为积分曲线簇.平行于y轴的直线与簇中每一条曲线的交点处的切线斜率都等于f(x)，因此积分曲线簇可以由一条积分曲线通过沿y轴方向平移得到.二、不定积分的几何意义第一节不定积分的概念与性质由不定积分和微分的关系可知：二、不定积分的几何意义第一节不定积分的概念与性质根据积分法是微分法的逆运算，我们可以从每一个导数公式相应地得到一个不定积分公式.下面为最常用的不定积分公式：三、不定积分的基本公式第一节不定积分的概念与性质

性质1若f(x)和g(x)的不定积分都存在，则f(x)+g(x)的不定积分也存在，且∫［f(x)+g(x)］dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx.

证明由导数四则运算法则知[∫f(x)dx+∫g(x)dx]′=[∫f(x)dx]′+[∫g(x)dx]′=f(x)+g(x).这说明∫f(x)dx+∫g(x)dx是f(x)+g(x)的原函数，性质1成立.四、不定积分的性质第一节不定积分的概念与性质

性质2

若f(x)的不定积分存在，k为非零常数，则kf(x)的不定积分也存在，且∫kf(x)dx=k∫f(x)dx.利用不定积分的性质和基本积分公式，可以求得一些比较简单的函数的不定积分.四、不定积分的性质第一节不定积分的概念与性质第一节不定积分的概念与性质第一节不定积分的概念与性质

定理1设函数u=φ(x)具有连续导数，且∫f(u)du=F(u)+C，则∫f［φ(x)］φ′(x)dx=F［φ(x)］+C.

证明只需要证明d/dxF［φ(x)］=f［φ(x)］φ′(x).由已知条件知F(u)是f(u)的原函数，即有F′(u)=f(u).根据复合函数求导法则，得一、第一类换元积分法第二节换元积分法上式称为不定积分的第一类换元积分公式.利用第一类换元积分公式计算不定积分的方法为第一类换元积分法.第一类换元积分法的关键是要能从被积函数g(x)中分离出因式φ′(x),使φ′(x)与dx结合凑成微分d［φ(x)］.因此也称该换元积分法为凑微分法.一、第一类换元积分法第二节换元积分法第二节换元积分法第二节换元积分法第二节换元积分法第二节换元积分法第二节换元积分法第二节换元积分法第二节换元积分法

定理2设函数f(x)连续,x=φ(t)具有连续导数且导数不为零,t=φ-1(x)是其反函数.如果Φ(t)是f［φ(t)］φ′(t)的原函数,则式称为第二类换元积分公式,相应的积分方法称为第二类换元积分法.二、第二类换元积分法第二节换元积分法第二节换元积分法第二节换元积分法第二节换元积分法第二节换元积分法第二节换元积分法第二节换元积分法第二节换元积分法第二节换元积分法

定理设函数u=u(x)，v=v(x)均具有连续导数，则由两个函数乘法的微分法则可得d(uv)=udv+vdu或udv=d(uv)-vdu.两边同时积分得∫udv=∫d(uv)-∫vdu=uv-∫vdu.这个公式被称为分部积分公式.第三节分部积分法

u，v的选择原则如下：

(1)由φ(x)dx=dv，求v比较容易；

(2)∫vdu比∫udv更容易计算.注意：分部积分法在选取u,v过程中，要始终选取同一类函数作为u，v.第三节分部积分法第三节分部积分法第三节分部积分法第三节分部积分法第三节分部积分法第三节分部积分法第三节分部积分法第三节分部积分法第三节分部积分法

若Pn(x)和Qm(x)分别是n,m次多项式,则称R(x)=Pn(x)/Qm(x)

为有理分式.当n＜m时,R(x)是真分式;当n≥m时,R(x)是假分式.

利用多项式的除法,总可以把假分式化成多项式与真分式的和.一、一般有理函数的不定积分第四节有理函数的不定积分第四节有理函数的不定积分第四节有理函数的不定积分由函数sinx,cosx和常数经过有限次四则运算得到的函数称为三角函数有理式，记作R(sinx,cosx).二、三角函数有理式的不定积分第四节有理函数的不定积分第四节有理函数的不定积分第四节有理函数的不定积分谢谢观看高等数学第一节定积分的概念与性质第二节微积分学基本定理第三节定积分的换元法与分部积分法第四节广义积分第六章定积分了解定积分概念中的四步骤，学会换位思考的处事方式以及了解事物普遍联系性的哲学观点。了解“化整为零，由繁化简，由难化易”的思想，培养不屈不挠的精神。育人目标第六章定积分定积分在实际问题中有着广泛的应用，许多几何、物理或经济问题中的量都可以用定积分来描述和计算。同时，定积分在理论上也有着十分重要的意义，它是高等数学最重要的内容之一。本章将从实际问题出发引出定积分的概念，讨论定积分的性质与计算方法。本章导读

1.曲边梯形的面积在直角坐标系中,由连续曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴所围成的图形称为曲边梯形.M1MNN1就是一个曲边梯形.在x轴上的线段M1N1称为曲边梯形的底边,曲线弧MN称为曲边梯形的曲边.一、引入定积分概念的两个实例第一节定积分的概念与性质设y=f(x)在［a,b］上连续,且f(x)≥0,求以曲线y=f(x)为曲边,底边为［a,b］的曲边梯形的面积A．一、引入定积分概念的两个实例第一节定积分的概念与性质为了计算曲边梯形的面积A,我们用一组垂直于x轴的直线段把整个曲边梯形分割成许多小曲边梯形.因为每一个小曲边梯形的底边是很窄的,而f(x)又是连续变化的,所以,可用这个小曲边梯形的底边作为宽,以它底边上任意一点所对应的函数值f(x)作为长的小矩形面积来近似代替这个小曲边梯形的面积.再把所有这些小矩形面积加起来,就可以得到曲边梯形的面积A的近似值.由图可知,分割越细密,所有小矩形面积之和就越接近曲边梯形的面积A.当分割无限细密时,所有小曲边梯形的面积之和的极限就是曲边梯形面积A的精确值.一、引入定积分概念的两个实例第一节定积分的概念与性质

2.变速直线运动的路程设一物体沿一直线运动，已知速度v=v(t)是时间区间［a,b］上t的连续函数，且v(t)≥0，求这一物体在这段时间内所经过的路程S.

(1)分割.

(2)取近似.

(3)求和.

(4)取极限.一、引入定积分概念的两个实例第一节定积分的概念与性质

定义

设函数y=f(x)在区间［a,b］上有定义.在区间［a,b］中任取分点a=x0＜x1＜x2＜x3＜…＜xi-1＜xi＜…＜xn-1＜xn=b.

将区间［a,b］分成n个小区间［xi-1，xi］，其长度为Δxi=xi-xi-1(i=1，2,…,n).

在每个小区间［xi-1，xi］上任取一点ξi(xi-1≤ξi≤xi)求乘积f(ξi)Δxi(i=1,2,…,n)的和式：二、定积分的定义第一节定积分的概念与性质

如果无论对区间［a,b］采取何种分法及ξi如何选取，当n个小区间中区间的长度最大值趋近于零，即‖Δxi‖→0时，和式的极限都存在，则称函数f(x)在区间［a,b］上可积，并称此极限值为函数f(x)在区间［a,b］上的定积分，记作∫baf(x)dx，即其中,f(x)叫作被积函数，f(x)dx叫作被积表达式，x叫作积分变量，a与b分别叫作积分的下限和上限，［a,b］叫做积分区间.二、定积分的定义第一节定积分的概念与性质

在闭区间［a,b］上，若函数f(x)≥0，则∫baf(x)dx在几何上表示由曲线y=f(x)(f(x)≥0)，直线x=a，x=b和x轴围成的曲边梯形的面积.在闭区间［a,b］上，若函数f(x)≤0，则∫baf(x)dx在几何上表示由曲线y=f(x)(f(x)≤0)，直线x=a,x=b和x轴围成的曲边梯形(在x轴下方)的面积的相反数.三、定积分的几何意义第一节定积分的概念与性质

在闭区间［a,b］上，f(x)有正有负时，如果我们约定位于x轴上方的面积为“正”，下方的面积为“负”，这时，∫baf(x)dx在几何上表示介于x轴及直线x=a,x=b和曲线y=f(x)之间的各部分面积的代数和．即

∫baf(x)dx=A1-A2+A3.三、定积分的几何意义第一节定积分的概念与性质

性质1被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即

性质2两个函数代数和的定积分等于它们定积分的代数和，即可推广到有限多个函数代数和的情况，即四、定积分的性质第一节定积分的概念与性质

性质3如果a＜c＜b，那么

性质3叫作定积分的区间可加性.从定积分的几何意义可以直接看出它的正确性，并且无论a,b,c三点位置如何，该性质总成立。四、定积分的性质第一节定积分的概念与性质事实上，当a＜b＜c时，从几何上直观看到

性质4

在［a,b］上,若f(x)≥g(x)，则性质4说明：比较两个定积分的大小，只需在同一积分区间上比较两个被积函数的大小.四、定积分的性质第一节定积分的概念与性质

性质5(估值定理)如果函数f(x)在［a,b］上可积，对任意x∈［a,b］,恒有m≤f(x)≤M,则性质5的几何意义是：曲线y=f(x)