高等数学曲面及其方程（课堂PPT）

1、1 1右手系右手系Oyxz212212212)()()(zzyyxxd , ),(1111zyxM),(2222zyxM2. 2. 两点两点间的距离公式为间的距离公式为复习复习M(x,y,z)3. 3.两向量的数量积两向量的数量积 cosbaba zzyyxxbabababa baba cos4. 4.两向量的夹角两向量的夹角2 2zyxzyxbbbaaakjiba 5. 5.两向量的向量积两向量的向量积6. 6.两向量互相平行垂直的条件两向量互相平行垂直的条件00 zzyyxxbababababazzyyxxbababababa 0/ cbacba ,zyxzyxzyxcccbbbaaa 7

2、. 7. 向量的混合积向量的混合积3 3.化工厂或热电厂的冷却塔化工厂或热电厂的冷却塔 ( (旋转双曲面旋转双曲面) ) 4 4 一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念 二、旋转曲面二、旋转曲面 三、柱面三、柱面 四、二次曲面四、二次曲面5 5一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念平面解析几何中平面解析几何中 如果某曲线如果某曲线c c上的点与一个二元方程上的点与一个二元方程f(x,y)=0f(x,y)=0的解建立了如下的关系：的解建立了如下的关系：(1) (1) 曲线上的点的坐标都是这个方程的解；曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2) (2) 以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，以这个方程的解

3、为坐标的点都在曲线上， 那么，这个方程叫做曲线的方程，那么，这个方程叫做曲线的方程， 这条曲线叫做方程的曲线。这条曲线叫做方程的曲线。6 6任何曲面都可以看作是点的几何轨迹任何曲面都可以看作是点的几何轨迹.曲面曲面 S 与三元方程与三元方程 (1) 0 z , y, xF则方程则方程(1)就叫做曲面就叫做曲面S的方程的方程, 而曲面而曲面S就叫做方程就叫做方程(1)的图形的图形.有下述关系：有下述关系： 曲面曲面S上任一点的坐标都满足方程上任一点的坐标都满足方程(1); 不在曲面不在曲面S上的点的坐标都不满足方程上的点的坐标都不满足方程(1),xyzS 0 z ,y,xFo空间解析几何中空间解

4、析几何中7 7R解解 Rzzyyxx 202020 2202020Rzzyyxx 2222Rzyx xyz 0000z ,y,xM o(2)RMM 0若球心在原点，则若球心在原点，则,zyx0000 球面的方程为球面的方程为半径为半径为 R 的球面方程的球面方程.就是以就是以 0000z ,y,xM为球心为球心 , z ,y,xM (3)例例1 1 求到点求到点M0 (x0, y0, z0) 的距离等于的距离等于R的点的轨迹方程的点的轨迹方程.设设轨迹上的动点为轨迹上的动点为M(x,y,z)即即则则以下给出几例常见的曲面.8 8解：解：MBMA 07262 zyx 222321 zyx 222

5、412 zyx例例2 2 求到求到A (1,2,3),B(2,- -1,4)两点距离相等的点的轨迹方程两点距离相等的点的轨迹方程. .设设轨迹上的轨迹上的动点为动点为M(x,y,z)即即整理得整理得即为所求点的轨迹方程即为所求点的轨迹方程. .线段线段 的垂直平分面的垂直平分面. .ABM ABM 有有9 9配方得配方得 . 521222 zyx半径为半径为 的球面的球面.5 R解解 ,M0210 原方程表示球心在点原方程表示球心在点一般地，三元二次方程一般地，三元二次方程0222 GFzEyDxAzAyAx例例3 3 方程方程042222 yxzyx表示怎样的曲面表示怎样的曲面?(1) x2

6、, y2, z2项系数相同项系数相同; (2) 缺缺 xy , yz , zx 项项.其图形可能是一个其图形可能是一个球面球面，或或点点，或或虚轨迹虚轨迹.GAFEDAFzAEyADx 4222222222特点：特点：1010以上几例表明研究空间曲面有以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题两个基本问题：（2 2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状）已知坐标间的关系式，研究曲面形状（讨论旋转曲面）（讨论旋转曲面）（讨论柱面、二次曲面）（讨论柱面、二次曲面）（1 1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程11 11二、旋转曲面二、旋转曲面定义：定义：以一条平面曲以一条

7、平面曲线绕其平面上的一条线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的直线旋转一周所成的曲面称为曲面称为旋转曲面旋转曲面。这条曲线和定直线分这条曲线和定直线分别称为旋转曲面的别称为旋转曲面的母母线线和和旋转轴旋转轴。1212二、旋转曲面二、旋转曲面定义：定义：以一条平面曲以一条平面曲线绕其平面上的一条线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的直线旋转一周所成的曲面称为曲面称为旋转曲面旋转曲面。这条曲线和定直线一这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的次称为旋转曲面的母母线线和和旋转轴旋转轴。1313二、旋转曲面二、旋转曲面定义：定义：以一条平面曲以一条平面曲线绕其平面上的一条线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的直线

8、旋转一周所成的曲面称为曲面称为旋转曲面旋转曲面。这条曲线和定直线一这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的次称为旋转曲面的母母线线和和旋转轴旋转轴。1414二、旋转曲面二、旋转曲面定义：定义：以一条平面曲以一条平面曲线绕其平面上的一条线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的直线旋转一周所成的曲面称为曲面称为旋转曲面旋转曲面。这条曲线和定直线一这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的次称为旋转曲面的母母线线和和旋转轴旋转轴。1515二、旋转曲面二、旋转曲面定义：定义：以一条平面曲以一条平面曲线绕其平面上的一条线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的直线旋转一周所成的曲面称为曲面称为旋转曲面旋转曲面。这条曲线和定直线

9、一这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的次称为旋转曲面的母母线线和和旋转轴旋转轴。1616二、旋转曲面二、旋转曲面定义：定义：以一条平面曲以一条平面曲线绕其平面上的一条线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的直线旋转一周所成的曲面称为曲面称为旋转曲面旋转曲面。这条曲线和定直线一这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的次称为旋转曲面的母母线线和和旋转轴旋转轴。1717二、旋转曲面二、旋转曲面定义：定义：以一条平面曲以一条平面曲线绕其平面上的一条线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的直线旋转一周所成的曲面称为曲面称为旋转曲面旋转曲面。这条曲线和定直线一这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的次称为旋转曲面的母母线线和和

10、旋转轴旋转轴。1818二、旋转曲面二、旋转曲面定义：定义：以一条平面曲以一条平面曲线绕其平面上的一条线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的直线旋转一周所成的曲面称为曲面称为旋转曲面旋转曲面。这条曲线和定直线一这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的次称为旋转曲面的母母线线和和旋转轴旋转轴。1919二、旋转曲面二、旋转曲面定义：定义：以一条平面曲以一条平面曲线绕其平面上的一条线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的直线旋转一周所成的曲面称为曲面称为旋转曲面旋转曲面。这条曲线和定直线一这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的次称为旋转曲面的母母线线和和旋转轴旋转轴。2020二、旋转曲面二、旋转曲面定义：定义：以一条

11、平面曲以一条平面曲线绕其平面上的一条线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的直线旋转一周所成的曲面称为曲面称为旋转曲面旋转曲面。这条曲线和定直线一这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的次称为旋转曲面的母母线线和和旋转轴旋转轴。2121二、旋转曲面二、旋转曲面定义：定义：以一条平面曲以一条平面曲线绕其平面上的一条线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的直线旋转一周所成的曲面称为曲面称为旋转曲面旋转曲面。这条曲线和定直线一这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的次称为旋转曲面的母母线线和和旋转轴旋转轴。2222二、旋转曲面二、旋转曲面定义：定义：以一条平面曲以一条平面曲线绕其平面上的一条线绕其平面上的一条直线旋转一

12、周所成的直线旋转一周所成的曲面称为曲面称为旋转曲面旋转曲面。这条曲线和定直线一这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的次称为旋转曲面的母母线线和和旋转轴旋转轴。2323二、旋转曲面二、旋转曲面定义：定义：以一条平面曲以一条平面曲线绕其平面上的一条线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的直线旋转一周所成的曲面称为曲面称为旋转曲面旋转曲面。这条曲线和定直线一这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的次称为旋转曲面的母母线线和和旋转轴旋转轴。2424ozyxC1、yOz面上曲线面上曲线C 绕绕 z 轴轴旋转所成曲面旋转所成曲面的的方程方程: :), 0(111zyM ),(zyxM (4) 0,11 zyf.1zz

13、0, zyfCyOz：面面的的曲曲线线设设 ,SzyxM 1110z ,y,M22yxd M点到点到z轴的距离轴的距离 022 z ,yxf2211yxy, zz 将将代入（代入（4）得）得就是所求就是所求旋转曲面旋转曲面的方程的方程.(5)，点，点M1(0,y1,z1)在曲线在曲线C,则则1y 25250),(: zyfCoyxz0),(22 zxyf当曲线当曲线 C 绕绕 y 轴旋转时，方程如何？轴旋转时，方程如何？思考：思考： 1MM o262622( ,)0f yxz 2、注意：绕哪个轴旋转，哪个变量不变注意：绕哪个轴旋转，哪个变量不变( , )0C:0f y zx 1. yoz平面上

14、的母线平面上的母线 绕绕oz轴旋转得旋转曲面轴旋转得旋转曲面22(, )0fxyz( , )0C:0f y zx 2. yoz平面上的母线平面上的母线 绕绕oy轴旋转得旋转曲面轴旋转得旋转曲面( , )0C:0f x yz 3. xoy平面上的母线平面上的母线 绕绕ox轴旋转得旋转曲面轴旋转得旋转曲面22( ,)0f xyz2727解解1 22222 czyax1 22222 czayx这两种曲面都叫做这两种曲面都叫做旋转双曲面旋转双曲面.一周一周,求所形成的旋转曲面的方程求所形成的旋转曲面的方程.将将zOx平面上的双曲线平面上的双曲线 12222 czax例例4 4 绕绕 x 轴旋转得轴旋转

15、得绕绕 z 轴旋转得轴旋转得xyz分别绕分别绕 x 轴和轴和 z 轴旋转轴旋转旋转单叶双曲面旋转单叶双曲面旋转双叶双曲面旋转双叶双曲面2828旋转面旋转面-圆锥面圆锥面高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民.2929 cotyz cot22yxz )(2222yxaz cot a令令xyz 两边平方两边平方L), 0(zyM例例5 5 建立顶点在原点建立顶点在原点, 旋转轴为旋转轴为z 轴轴, 半顶角为半顶角为 的的圆锥面圆锥面方程方程.解解在在yOz面上的直线面上的直线 L的方程为的方程为:L绕绕z 轴旋转时轴旋转时,圆锥面的方程为圆锥面的方程为 的大小与圆锥面的张口大小有何关系？

16、的大小与圆锥面的张口大小有何关系？思考：思考：3030绕绕y轴轴旋旋转转绕绕z轴旋转轴旋转122222 czxay122222 czayx旋转椭球面旋转椭球面pzyx222 旋转抛物面旋转抛物面3131特点：特点：曲面方程曲面方程 中若除一个变量外，另外两个变中若除一个变量外，另外两个变量能写成平方和的形式，则该曲面是旋转曲面量能写成平方和的形式，则该曲面是旋转曲面( , , )0F x y z 例：例： 2221499xyz222214901490 xyxzxzxy 由由椭椭圆圆曲曲线线绕绕轴轴旋旋转转所所得得的的椭椭球球面面或或由由椭椭圆圆曲曲线线绕绕轴轴旋旋转转所所得得的的椭椭球球面面2

17、221xyz呢呢？3232例例6 试判断方程试判断方程122 zyx表示何种曲面表示何种曲面?并作图并作图. yOz 面上的抛物线面上的抛物线12 zy绕绕 z 轴旋转所得旋转曲面轴旋转所得旋转曲面.或或 zOx 面上的抛物线面上的抛物线12 zx绕绕 z 轴旋转所得旋转曲面轴旋转所得旋转曲面.xyzo1解解3333播放播放定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的观察柱面的形成过程形成过程:沿定曲线沿定曲线C 移动的动直线移动的动直线L 所形成的曲面称为所形成的曲面称为柱面柱面。这条定曲线这条定曲线C 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线L叫柱面的叫柱面的母线母线。3434定义定义三、柱面三、柱

18、面沿定曲线沿定曲线C 移动的动直线移动的动直线L 所形成的曲面称为所形成的曲面称为柱面柱面。这条定曲线这条定曲线C 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线L叫柱面的叫柱面的母线母线。观察柱面的观察柱面的形成过程形成过程:3535定义定义三、柱面三、柱面沿定曲线沿定曲线C 移动的动直线移动的动直线L 所形成的曲面称为所形成的曲面称为柱面柱面。这条定曲线这条定曲线C 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线L叫柱面的叫柱面的母线母线。观察柱面的观察柱面的形成过程形成过程:3636定义定义三、柱面三、柱面沿定曲线沿定曲线C 移动的动直线移动的动直线L 所形成的曲面称为所形成的曲面称为柱面柱面。这条

19、定曲线这条定曲线C 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线L叫柱面的叫柱面的母线母线。观察柱面的观察柱面的形成过程形成过程:3737定义定义三、柱面三、柱面沿定曲线沿定曲线C 移动的动直线移动的动直线L 所形成的曲面称为所形成的曲面称为柱面柱面。这条定曲线这条定曲线C 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线L叫柱面的叫柱面的母线母线。观察柱面的观察柱面的形成过程形成过程:3838定义定义三、柱面三、柱面沿定曲线沿定曲线C 移动的动直线移动的动直线L 所形成的曲面称为所形成的曲面称为柱面柱面。这条定曲线这条定曲线C 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线L叫柱面的叫柱面的母线母线。观察柱面

20、的观察柱面的形成过程形成过程:3939定义定义三、柱面三、柱面沿定曲线沿定曲线C 移动的动直线移动的动直线L 所形成的曲面称为所形成的曲面称为柱面柱面。这条定曲线这条定曲线C 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线L叫柱面的叫柱面的母线母线。观察柱面的观察柱面的形成过程形成过程:4040定义定义三、柱面三、柱面沿定曲线沿定曲线C 移动的动直线移动的动直线L 所形成的曲面称为所形成的曲面称为柱面柱面。这条定曲线这条定曲线C 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线L叫柱面的叫柱面的母线母线。观察柱面的观察柱面的形成过程形成过程:4141定义定义三、柱面三、柱面沿定曲线沿定曲线C 移动的动直线移

21、动的动直线L 所形成的曲面称为所形成的曲面称为柱面柱面。这条定曲线这条定曲线C 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线L叫柱面的叫柱面的母线母线。观察柱面的观察柱面的形成过程形成过程:4242定义定义三、柱面三、柱面沿定曲线沿定曲线C 移动的动直线移动的动直线L 所形成的曲面称为所形成的曲面称为柱面柱面。这条定曲线这条定曲线C 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线L叫柱面的叫柱面的母线母线。观察柱面的观察柱面的形成过程形成过程:4343定义定义三、柱面三、柱面沿定曲线沿定曲线C 移动的动直线移动的动直线L 所形成的曲面称为所形成的曲面称为柱面柱面。这条定曲线这条定曲线C 叫柱面的叫柱面的

22、准线准线，动直线，动直线L叫柱面的叫柱面的母线母线。观察柱面的观察柱面的形成过程形成过程:4444定义定义三、柱面三、柱面沿定曲线沿定曲线C 移动的动直线移动的动直线L 所形成的曲面称为所形成的曲面称为柱面柱面。这条定曲线这条定曲线C 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线L叫柱面的叫柱面的母线母线。观察柱面的观察柱面的形成过程形成过程:4545柱面举例柱面举例xozyxozy220yxz 抛物柱面抛物柱面0yxz 平面平面4646( , )0C:0f x yz 母线平行于母线平行于 z 轴的柱面方程为：轴的柱面方程为：( , )0f x y 一般地，已知准线方程一般地，已知准线方程( ,

23、)0f x y 注意：注意：方程中缺方程中缺z，表示，表示z可以任意取值，所以方程可以任意取值，所以方程 表示母线平行于表示母线平行于z轴的柱面。轴的柱面。( ,)0f x y 一般地，在空间直角坐标下一般地，在空间直角坐标下( , )0f x y （缺（缺z），）， 表示母线表示母线？，准线为？的柱面。？，准线为？的柱面。( , )0f x z （缺（缺y），）， 表示母线表示母线？，准线为？的柱面。？，准线为？的柱面。( , )0f y z （缺（缺x），）， 表示母线表示母线？，准线为？的柱面。？，准线为？的柱面。Zxy二元二元方程的几何图形为柱面方程的几何图形为柱面4747问：问：12

24、222 czby（1） 表示什么曲面？表示什么曲面？22221xzac（2） 表示什么曲面？表示什么曲面？回顾回顾1. 三元方程三元方程 F(x,y,z)=0表示空间的一张曲面表示空间的一张曲面S。2. 表示一张球面。表示一张球面。2220AxAyAzBxCyDzE AxByCzD0 3. 表示空间的一张平面。表示空间的一张平面。( , )0C:0f y zx 4. yoz平面上的母线平面上的母线 绕绕oz轴旋转得旋转曲面轴旋转得旋转曲面4848四、二次曲面四、二次曲面三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面。目的：目的：利用利用截痕法截痕法讨论二次曲面的形状。

25、讨论二次曲面的形状。即：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线即：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌。（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌。22(, )0fxyz5. xoy平面上的准线方程平面上的准线方程 母线平行于母线平行于 z 轴的轴的( , )0C:0f x yz 柱面方程为：柱面方程为：( , )0f x y 其基本类型有其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面椭球面、抛物面、双曲面、锥面4949（一）椭球面（一）椭球面1222222 czbyax椭球面与三个椭球面与三个坐标面的交线：坐标面

26、的交线：22221,0 xyabz 椭球面与平面椭球面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆1zz 12122222122221)()(zzzccbyzccax同理与平面同理与平面x=x1和和y=y1 的交线也的交线也是椭圆是椭圆22221,0 xzacy 22221,0yzbcx 50501 222222 czbyax截痕法截痕法用用z = h截曲面截曲面用用y = m截曲面截曲面用用x = n截曲面截曲面abcyx zo 椭球面椭球面5151椭球面的几种特殊情况：椭球面的几种特殊情况：,)1(ba 222221xyzac 旋转椭球面旋转椭球面222210 xzacy 由椭圆由椭圆 或或 绕绕z轴旋转而成。轴旋转而成。222210yzbcx ,)2(cba 1222222 azayax球面球面2222xyza 方程可写为方程可写为5252xzy0截痕法截痕法用用z = a截曲面截曲面用用y = b截曲面截曲面用用x = c截曲面截曲面1. 椭圆抛物面椭圆抛物面zqypx22222 （二）抛物面（二）抛物面5353hbyax222222axz 0y22byz 0 x画出画出2222byaxz的图形只需做出的图形只需做出