概率论与数理统计-课程设计

1、概率论与数理统计课程设计概率论的起源、发展和应用作者： 摘要： 论文简要介绍了概率论与数理统计学科的起源和发展，以及概率论与理统计在生活中的应用。关键词：概率论与数理统计，起源，发展，应用1、引言 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的一门数学学科，也是一门应用性很强又颇具特色的数学学科。它在包括控制、通信、生物、物理、力学、金融、社会科学等工程技术领域以及科学研究、经济管理、企业管理、经济预测等众多领域都有广泛的应用；它与其他数学分支有着紧密的联系（如微积分、高等代数、测度论等），是近代数学的重要组成部分；它的方法和理论向各个基础学科、工程学科的渗透，是近代科学技术发展的特征之一；它与基础

2、学科相结合产生出了许多边缘学科，如生物统计、统计物理、数学地质等；它又是许多新兴的重要学科的基础，如信息论、控制论、可靠性理论、人工智能、信息编码理论和数据挖掘等。 概率论与数理统计是工科大学的一门应用性很强的必修基础课。学习和掌握概率论与数理统计的基本理论和基本方法并将其灵活应用于科学研究和工程实际中，是社会发展对高素质人才培养提出的必然要求。2、概率论与数理统计的起源概率论的萌芽源于十七世纪保险业的发展，但是真正引发数学家们思考的源泉，却是赌博者的请求。十七世纪中叶，法国贵族德·美黑在骰子赌博中，有事急于抽身，须中途停止赌博，需要根据对胜负的预测把赌资进行合理的分配，但不知用什么

3、样的比例分配才算合理，于是就写信向当时法国的最高数学家帕斯卡请教。正是这封信使概率论在历史的舞台迈出了第一步。帕斯卡和当时第一流的数学家费尔玛一起，研究了德·美黑提出的关于骰子赌博的问题。于是，一个新的数学分支-概率论登上了历史舞台。三年后，也就是1657年，荷兰著名的天文、物理兼数学家惠更斯企图自己解决这一问题，结果写成了论机会游戏的计算一书，这就是最早的概率论著作。为概率论确定严密的理论基础的是数学家柯尔莫哥洛夫。1933年，他发表了著名的概率论的基本概念，用公理化结构，这个结构明确定义了概率论发展史上的一个里程碑，为以后的概率论的迅速发展奠定了基础。3、概率论与数理统计的发展数

4、理统计的发展大致可分为古典时期、近代时期和现代时期三个阶段。古典时期（19世纪以前）这是描述性的统计学形成和发展阶段，是数理统计的萌芽时期。在这一时期里，瑞土数学家贝努里（16541795年）较早地系统论证了大数定律。1763年，英国数学家贝叶斯提出了一种归纳推理的理论，后被发展为一种统计推断方法贝叶斯方法，开创了数理统计的先河。法国数学家棣莫佛（16671754）于1733年首次发现了正态分布的密度函数，并计算出该曲线在各种不同区间内的概率，为整个大样本理论奠定了基础。1809年，德国数学家高斯（17771855）和法国数学家勒让德（17521833）各自独立地发现了最小二乘法，并应用于观测

5、数据的误差分析。在数理统计的理论与应用方面都作出了重要贡献，他不仅将数理统计应用到生物学，而且还应用到教育学和心理学的研究。并且详细地论证了数理统计应用的广泛性，他曾预言：“统计方法，可应用于各种学科的各个部门。” 近代时期（19世纪末至1845年）数理统计的主要分支建立，是数理统计的形成时期。上一世纪初，由于概率论的发展从理论上接近完备，加之工农业生产迫切需要，推动着这门学科的蓬勃发展。1889年，英国数学家皮尔逊（18571936）提出了矩估计法，次年又提出了频率曲线的理论，并于1900年在德国数学家赫尔梅特在发现 c 2分布的基础上提出了c 2 检验，这是数理统计发展史上出现的第一个小样

6、本分布。1908年，英国的统计学家戈塞特（18761937）创立了小样本检验代替了大样本检验的理论和方法（即分布和检验法），这为数理统计的另一分支多元分析奠定理论基础。1912年，英国统计学家费歇(18901962)推广了检验法，同时发展了显著性检验及估计和方差分析等数理统计新分支。这样，数理统计的一些重要分支如假设检验、回归分析、方差分析、正交设计等有了其决定其面貌的内容和理论。数理统计成为应用广泛、方法独特的一门数学学科。现代时期（1945年以后），美籍罗马尼亚数理统计学家瓦你德（19021950）致力于用数学方法使统计学精确化、严密化，取得了很多重要成果。他发展了决策理论，提出了一般的判

7、别问题，创立了序贯分析理论，提出著名的序贯概率比检法。瓦尔德的两本著作序贯分析和统计决策函数论，被认为是数理发展史上的经典之作。八九十年代，计算机的应用推动了数理统计在理论研究和应用方面不断地向纵深发展，并产生一些新的分支和边缘性的新学科，如最优设计和非参数统计推断等。当前，数理统计的应用范围愈来愈广泛，已渗透到许多科学领域，应用到国民经济各个部门，成为科学研究不可缺少的工具。4、概率论与数理统计在生活中的应用1) 在求解最大经济利润问题中的应用a) 大数定律在保险学中的应用大数定律应用在保险学中，就是保险的赔偿遵从大数定律，即参加某项保险的投保户成千上万，虽然每一户情况各不相同，但对保险公司

8、来说，平均每户的赔偿率几乎恒等于一个常数。假如某保险公司有10000个同阶层的人参加人寿保险，每人每年付120元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0006，死亡时，其家属可向保险公司领得1 0000元。试问：平均每户支付赔偿金59元至61元的概率是多少?保险公司亏本的概率有多大?保险公司每年在这项险种中利润大于40万元的概率是多少?保险公司亏本，也就是赔偿金额大于10000×120=120(万元)，即死亡人数大于120人的概率。死亡人数YB(10000，0006)，E(Y)=60，D(Y)=5964，由中心极限定理，Y近似服从正态分布N (60，5964)，则PY>1200，这

9、说明，保险公司亏本的概率几乎等于0。如果保险公司每年的利润大于40万元，即赔偿人数小于80人。则PY<80=09952。可见，保险公司每年利润大干40万元的概率接近100。在保险市场的竞争过程中，在保证相同收益的前提下有两个策略可以采用，一是降低保险费，另一个是提高赔偿金，而采用提高赔偿金比降低保险费更能吸引投保户。b) 利用随机变量函数期望求解最大利润某公司经销某种原料,根据历史资料:这种原料的市场需求量 (单位:吨) 服从 上的均匀分布,每售出 吨该原料，公司可获利千元;若积压1 吨，则公司损失 千元，问公司应该组织多少货源，可使期望的利润最大? 分析:此问题的解决先是建立利润与需求

10、量的函数，然后求利润的期望，从而得到利润关于货源的函数，最后利用求极值的方法得到答案。解:设公司组织该货源吨，则显然应该有，又记为在吨货源的条件下的利润，则利润为需求量的函数，即，由题设条件知： 当时，则此吨货源全部售出，共获利：当时，则售出 吨(获利),吨积压获利( ),所以共获利，由此得从而得 上述计算表明 是的二次函数，用通常求极值的方法可以求得吨时,能够使得期望的利润达到最大。2) 在经济预测中的应用在实际经营中,许多量之间存在某种密切联系,根据数理统计原理,可以根据往年资料或市场信息,通过对社会经济现象之间客观存在的因果关系及其变化趋势进行线性回归分析预测,从而得出未来的数量状况。下

11、面以一元线性回归分析为例探讨一下线性回归分析在经济预测中的应用。合金的强度 与合金中碳的含量 有关,为了生产强度满足用户需要的合金,在冶炼时要控制碳的含量。现调查收集了12组数据,见下表,试建立适当的线性回归模型并进行检验。如果在冶炼过程中通过化验得知了碳的含量为0.16 ,根据模型预测这炉合金的强度。序号序号10.1042.070.1649.020.1143.080.1753.030.1245.090.1850.040.1345.0100.2055.050.1445.0110.2155.0 0.1547.5100.2360.0解：第一步,建立线性回归模型已知一元线性回归模型为，根据公式及表中的数据得: , ,从而所求的回归模型第二步,检验线性关系的显著性现在用 检验法,经计算得 ,取显著性水平 ,则 ,由于 ,因此在显著性水平下回归方差是显著的。第三步,预测将 代入回归模型,则得到预测值为 在显著性水平下,得 的概率0.95的预测区间为,即有的把握认为,碳的含量为时,合金的强度介于之间。5、结束语通过以上介绍及讨论我们简要了解了概率论与数理统计学科的起源和发展，以及概率论与理统计在生活中的广泛应用。学习和掌握概率论与数理