初三数学完美正方巧妙构造

1、精选优质文档-倾情为你奉上完美正方 巧妙构造例析一类形外正方形问题的解法谢文剑以三角形或梯形中的若干条边为边向外作正方形构成的图形中，证明线段、角或面积之间的关系，此类题目常见于竞赛和中考题中，根据已知条件，通过仔细的观察和分析，充分利用正方形边角的性质，通过旋转、平移等变换，找出全等三角形，巧妙构造基本图形，是解决这类问题的有效手段一、利用旋转平移变换，构造全等三角形利用正方形的边长相等，角为90°进行旋转，找出全等三角形，从而找出解决的桥梁例1 （2002年山东省竞赛试题）如图1，在ABC中，ACB=90°，分别以AC、AB为边，在ABC外作正方形ACEF和正方形AGB

2、H，过C作CKAB，分别交AB和GH于D、K，则正方形ACEF的面积S1与矩形AGKD的面积S2的大小关系为（ ）（A）S1=S2（B）S1S2（C）S1S2（D）不能确定分析：连结FB、GC，AFEB，AGCK，则有S正方形AFCE=2SFAB，S矩形AGKD=2SACG，而ACG可由FAB绕A点顺时针旋转90°而得，它们是全等三角形，SACG=SFAB，所以可得S1=S2，故选（A）。例2 （2003年北京市竞赛题）如图2，以ABC的三边为边，向形外分别作正方形ABDE、CAFG、BCHK，连接EF、GH、KD，求证：以EF、GH、KD为边可构成一个三角形，并且所构成的三角形面积

3、等于ABC的面积的3倍。分析：可以利用正方形的对边平行而且相等，作出一个以EF、GH、KD为边的三角形，把AEF沿AB平移，HCG沿CB方向平移，使A、C重合于B，F、G重合于I，DBIAEF，BIKHCG，且可得EAF+GCH+DBK=360°，因此可拼成一个三角形，然后再证明SDIK=3SABC，把GCH绕C点旋转90°，得到BCG，可得A，C，G在一条直线上，且C为AG的中点。所以SBCG=SABC，因此SBIK= SABC，同理SDBK= SDBI= SABC，因此由DK、EF、GH为三边构成的DIK的面积SDIK=3SABC。二、利用中点，构造梯形的中位线一般是利

4、用中点这一已知条件，构造直角梯形的中位线。例3 （2005年北京市竞赛题）如图3，分别以ABC的边AC和BC为一边向三角形外作正方形ACDE和CBFG，点P是EF的中点，PHAB，垂足为H，如果AB=10，那么PH= 。分析：考虑到P是EF的中点，且PHAB，可分别过E、F向AB边所在的直线作垂线EJ、FK交直线AB于J、K，则有EJPHFK，所以PH=（FJ+FK），再把EJ、FK的长度和与AB长度联系起来，过C作CIAB于I，则有1，3与2互余，所以1=3，EA=AC，可得RtEJARtACI，得出EJ=AI，同理FK=IB，所以PH=（FJ+FK）=AB=5。例4 （2004年全国初中数

5、学联赛）如图4，梯形ABCD，ADBC，以两腰AB、CD为一边分别向两边作正方形ABGE和DCHF，连接EF，设线段EF的中点为M，求证：MA=MD。分析：过M作MPAD，只要能证AP=PD，就能根据等腰三角形三线合一性质证得MA=MD。过E、F分别向AD所在的直线作垂线，交AD与L、I，使MP为梯形EGIF的中位线，再证AL=DI，构造与FAL、DIF的全等的三角形BKA、DCJ，可知AL=BK，DI=CJ，而BK=CJ，因此LP-LA=PI-DI，即AP=PD，获证AM=MD。三、利用两个正方形的对应边成比例，构造相似三角形利用正方形的对边平行，两个正方形的对应边、对角线成比例来找出相似三

6、角形。例5 在RtABC中，以AB、AC为边向外作正方形ABDE、ACFG，AB与CD，AC与BF交点为M、N，求证：AM=AN。分析：设正方形ABDE、ACFG的边长分别为a、b则AMDE可得，所以AM=。ANGF可得，所以AN=。因此AM=AN。例6 如图6，在RtABC中，以斜边BC为边向外作正方形BDEC，又以AB、AC为边向外作正方形，设各正方形的中心分别为P、Q、R。求证：QPR+DAE=Rt。分析：利用正方形的边与对角线之比为定值，构造出相似三角形。连结BP、PC、BQ、RC。因为BPC=90°，只要证1+2=DAE，因为QBP=45°+ABP，ABO=45&

7、#176;+ABP所以QBP=ABD。又因为可得BQPDBA。得3=1，同理有4=2。因此只要证3+4=DAE，过点A作AHDE于A，利用平行线的性质即可得。四、利用旋转的角度构造高线此类图形中的全等三角形往往是通过旋转90°而得的，对应边相等且互相垂直。例7 以ABC的边AB、AC为边向外作正方形ABDE，ACBC，求证：AH、BF、CD交于一点。分析：构造出三角形的三条高，就能证明它们交于一点。延长HA交P，使得PA=BC，1、3与2都互余，所以1=3，从而有DBC=PAB，因此DBCPAB，PAB可看作由DBC绕B点逆时针旋转90°后沿线段AB平移而得，可知PB与DC

8、是相等且互相垂直。因此CI为PBC的高线，同理BJ也为PBC的高线，所以CD、AH、BJ交于一点。五、利用旋转，构造中线例8 如图8，以ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE、ACFG。求证：EG2+BC2=2（AB2+AC2）。分析：将AEG绕A点顺时针旋转90°使E到E的位置，EAG+BAC=180°，因此EAC+BAC=180°，即B、A、E在同一条直线上，且CA为EBC的中线。则两式相加得例9 如图9，ABC的边AB=3，AC=2，、分别表示以AB、AC、BC为边的正方形，求图中三个阴影部分的面积之和的最大值是多少。分析：把CFH绕C点旋转90°，使