函数的基本概念及意义珍藏版

1、函数第一节（函数基本概念及意义） 1.函数的定义（1）传统定义：在某一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于在某一个范围内的任一个x的值，都有唯一的y值与它对应，则称y是x的函数，x叫做自变量，y叫做因变量。（2）近代定义：给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于A中任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫做定义在A上的函数，记作AB，或y=f(x)，xA，此时，x叫做自变量，集合A叫做函数的定义域，集合f(x)|xA叫做函数的值域，习惯上我们称y是x的函数。（3）两个定义间的联系：函数的两个定义本质是一致的，只是叙述概念的出发点不同，传统定

2、义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合的观点出发。这样，就不难得知函数的实质是从非空数集A到非空数集B的一个特殊对应。2.函数的定义域函数的定义域是自变量x的取值范围，但要注意，在实际问题中，定义域要受到实际意义的制约。如函数的定义域为x|x0，圆半径r与圆面积S的函数关系为S=r2的定义域为r|r0。求函数定义域的一般原则是：如果f(x)为整式，其定义域为实数集R；如果f(x)为分式，其定义域是使分母不为0的实数集合；如果f(x)是二次根式（偶次根式），其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合；如果f(x)是由以上几个部分的数学式子构成的，其定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；f

3、(x)=x0的定义域是xR|x0。求函数定义域除上述所列外，还应注意以下几点：如果是实际问题，除应考虑解析式本身有意义外，还应考虑使实际问题有意义；如果不给出解析式：已知f(x)的定义域为xA，则fg(x)的定义域是求使g(x)A的x的取值范围；已知fg(x)的定义域为A，则f(x)的定义域是求g(x)在A上的值域。3.函数的对应法则对应关系f是函数关系的本质特征，y=f(x)的意义是：y就是x在关系f下的对应值，而f是“对应”得以实现的方法和途径。如f(x)=2x+6，f表示2倍的自变量加上6，如f(3)=2×3+6=12。f(a)与f(x)的区别与联系：f(a)表示当x=a时，函

4、数f(x)的值，是一个常量；而f(x)是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值。如一次函数f(x)=3x+4，当x=8时，f(8)=3×8+4=28是一常量。当法则所实施的对象与解析式中所表述的对象不一致时，该解析式不能正确施加法则，比如f(x)=x2+1，左端是对x施加法则，右端也是关于x的解析式，此时此式是以x为自变量的函数解析式；而对于f(x+1)=3x2+2x+1，左端表示对x+1施加法则，右端是关于x的解析式，二者并不统一，这时此式既不是关于x的函数解析式，也不是关于x+1的函数解析式。4.函数的值域对于函数y=f(x)，xA，与x的值相

5、对应的y值叫做函数值。如函数y=x2+5x+3，当x=3时，y=32+5×3+3=27，叫做x=3时的函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域。函数的值域是由对应法则f对自变量x在定义域内取值时相应的函数值的集合。关于求函数值域的问题，是可用初等手段来解决的问题，只要根据函数的对应规律，把握值域的概念，运用不同的数学手段就能得其解。5.同一函数的判定一般的，考查、判断几个函数是否相同，离不开函数的三要素，但值域由定义域和对应法则所确定，因此在实际的解题过程中，往往只要判断函数的定义域、对应法则两个方面即可。两个函数当且仅当定义域与对应关系分别相等时，才是同一函数，这说明：定义

6、域不同，两个函数也就不同；对应关系不同，两个函数也是不同的；即使是定义域和值域分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应关系。6.区间设a，b是两个实数，而且ab，我们规定：满足不等式的全体实数的集合，叫做闭区间，记作。满足不等式的全体实数的集合，叫做开区间，记作。满足不等式或的全体实数集合都叫做半开半闭区间，分别记作或。满足xa，xa，xa，xa的全体实数x的集合分别记作a,+)，(a,+)，(-,a，(-,a)。注意：区间左端点值要小于区间右端点值，常作为隐藏条件使用；区间符号里面两个字母（或数字）之间用“，”隔开；“”无穷大，是一个符号，不

7、是一个数。7.映射定义：设A、B是两个非空数集，如果按照某种对应法则f，对A内任一元素x，在B中有且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射。这时，称y是x在映射f的作用下的象，记作f(x)。于是y=f(x)，x称作y的原象。映射f也可记作f：AB。其中A叫做映射f的定义域，由所有象f(x)构成的集合叫做映射f的值域。注意：映射的概念可以概括为“取元任意性、成象唯一性”，即：映射的三要素：原象、象、对应关系；A中元素不可剩余，B中元素可剩余；多对一行，一对多不行；映射具有方向性：f：AB与f：BA一般是不同的映射。映射与函数的关系：联系：映射的概念是在函数的现代定义（集合语言定义）

8、的基础上引申、拓展的；函数是一个特殊的映射，因此，要善于用映射的语言来叙述和解决函数问题。区别：函数是非空数集A到非空数集B的映射；而对映射而言，A和B不一定是数集。一一映射：如果映射f是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的任一元素，在集合A中都有且只有一个原象，那么这时我们就说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并称这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射。注意：一一映射就是一个特殊的映射，它不仅要求对于A中的每一个元素，在集合B中都有唯一的元素与它对应；而且还要求对于B中的每一个元素，在A中有且只有一个原象，也就是只能是一对一的对应。如何确定象与原象：对于一个从集合A到集合B的映射f而

9、言，A中的每个元素x，在f的作用下，在B中都对应着唯一的元素y，则y称为象，而x叫做原象。对于给出原象求象的问题，只需将原象代入对应关系中，即可求出象。对于给出象求原象的问题，若可先假设原象，再代入对应关系中得到象，若它与已知的象是同一个元素，则求出了原象；也可根据对应关系，由象逆推出原象。 如果对于在某一个范围内的任一个x的值，都有唯一的y值与它对应，则称y是x的函数，x叫做自变量，y叫做因变量。考察是不是函数：例1 有下列式子能否确定y是x的函数？（1）+=2；（2）+=1；（3）y=+。题目分析：例2 下列图形（横轴表示x轴，纵轴表示y轴）表示y是x的函数的是（）题目分析：求解定义域：方

10、法：为了让函数有意义，（1） 分母不为0（2） 根号底下大于等于0（3） 没有00（4） 后续讲对数函数会提到例3 求下列函数的定义域：（1）y=2+；（2）y=·；（3）y=(x-1)0+题目分析：例4.若函数y=f(x)的定义域是x|0x1，则y=f()的定义域是（B）A.（-1，0） B.（-1，0）（0，1） C.（0，1） D.0，1搞清楚定义域的含义很重要！题目分析：判断函数是否相同：例5 下列四组中的函数f(x)与g(x)，表示相同函数的一组是（）A.f(x)=|x|，g(x)=()2 B.f(x)=·，g(x)= C.f(x)=，g(x)= D.f(x)=x

11、，g(x)=定义域、函数形式一致！题目分析：利用对应关系解题：例6 如图所示的对应：其中构成映射的个数是（）A.3 B.4 C.5 D.6 题目分析：例7 设集合A和B都是自然数集合N，映射f：AB把集合A中的元素n映射到集合B中的元素+n，则在映射f下，象20的原象是（）A.2 B.3 C.4 D.5 题目分析：对应关系！例8若函数，则= .题目分析：1.设M=x|0x2，N=y|0y2，给出图中四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有（ ）A.0个 B.1个 C.2个 D.3个2.已知映射f：AB，其中A=B=R，对应法则f：y=-+2x，对于实数kB，在集合A中不存在原象，则k

12、的范围是 （ ）A.k1 B.k1 C.k1 D.k13.下列对应是集合M到集合N的一一映射的是（ ）A.M=N=R，f：xy=-，xM，yN B.M=N=R，f：xy=，xM，yN C.M=N=R，f：xy=，xM，yN D.M=N=R，f：xy=，xM，yN4.求下列函数定义域（1）y=；（2）y=5.函数y定义域为( )A(，1 B(，2 C(，(，1) D(，)(，16.下列各组函数相等的是( )Af(x)与g(x)x1 Bf(x)与g(x)x·Cf(x)2x1与g(x) Df(x)|x21|与g(t)7.已知f（-1）=2x+3，且f（m）=6，则m=（ ）A.- B. C

13、. D.-1.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A.y=x-1和y= B.y=和y=1 C.f(x)=和g(x)=(x+1)2 D.f(x)=和g(x)=2.下列各图中，可表示函数y=f(x)图像的只可能是（ ）3.设集合M=R，从M到P的映射f：xy=，则映射f的值域为（ ）A.y|yR B.y|y C.y|0y2 D.y|0y14.设集合A和集合B都是坐标平面上的点集（x，y）|xR，yR，映射f：AB，把集合A中的元素（x，y）映射成集合B中的元素（x+y，x-y），则在映射f下，象（2，1）的原象是（ ）A.（3，1） B.（，） C.（，-） D.（1，3）5.用区间表示下列函数的定义域：（1）y=；（2）y=； 1.下列图形中，不能确定y是x的函数的是（ ）2.已知集合P=x|0x4，Q=y|0y2，下列从P到Q的各对应关系f中不是映射的是（ ）A.f：xy=x B.f：xy=x C.f：xy=x D.f：xy=3.函数y=+的定义域为（ ）A.x|x1 B.x|x0 C.x|x1或x0 D.x|0x1 4.函数y=+的定义域为（ ）A.x|x0 B.x|x1 C.x|x10 D.x|0x15.若f（x）=，则方程f（4x）=x的根是（ ）A. B.- C.2 D.-26.设f(x)=|x-1|-|x|，则ff()=（ ）A.- B.