【人教】第一次月考B卷（考试版+解析）

2023-2024学年九年级数学上学期第一次月考B卷·重难点过关测试（考试时间：120分钟试卷满分：120分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：第一章、第二章、第三章（人教版）。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．用配方法解方程x2+10x+9＝0，配方后可得（）A．（x+5）2＝16 B．（x+5）2＝1 C．（x+10）2＝91 D．（x+10）2＝1092．由二次函数y＝2（x﹣3）2+1可知（）A．图象开口向下 B．图象向左平移1个单位得到y＝2（x﹣2）2+1 C．图象的对称轴为直线x＝﹣3 D．当x＜3时，y随x的增大而增大3．已知函数y＝（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k＜4 B．k≤4 C．k＜4且k≠3 D．k≤4且k≠34．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元．如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（）A．200（1+x）2＝1000 B．200+200×2x＝1000 C．200（1+x）+200（1+x）2＝1000 D．200+200（1+x）+200（1+x）2＝10005．若A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝2（x+1）2+c上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y26．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣6x+3＝0的两个实数根，则x1x2的值为（）A．6 B．﹣6 C．﹣3 D．37．奥密克戎是新冠病毒的变异毒株，传染性强，有一人感染了此病毒，未被有效隔离，经过两轮传染，共有121名感染者，在每轮传染中，设平均一个人传染了x人，则可列方程为（）A．1+x＝121 B．（1+x）2＝121 C．1+x2＝121 D．1+x+x2＝1218．小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形．若实心球运动的抛物线的解析式为，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离．已知该同学出手点A的坐标为，则实心球飞行的水平距离OB的长度为（）A．7m B．7.5m C．8m D．8.5m9．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则2020+2a﹣2b的值为（）A．2018 B．2020 C．2022 D．202410．如图，四边形ABCD中，∠DAB＝30°，连接AC，将△ABC绕点B逆时针旋转60°，点C的对应点与点D重合，得到△EBD，若AB＝5，AD＝4，则线段AC的长度为（）A．5 B．6 C． D．11．如图，点F为正方形ABCD对角线AC的中点，将以点F为直角顶点的直角△FEG绕点F旋转（△FEG的边EG始终在正方形ABCD外），若正方形ABCD边长为3，则在旋转过程中△FEG与正方形ABCD重叠部分的面积为（）A．9 B．3 C．4.5 D．2.2512．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：①4a+2b+c＜0，②2a+b＜0，③b2+8a＞4ac，④a＜﹣1，其中结论正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个第Ⅱ卷二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）13．已知一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一个根为1，则k的值为．14．已知P（m+2，3）和Q（2，n﹣4）关于原点对称，则m+n＝．15．如图，在宽为4、长为6的矩形花坛上铺设两条同样宽的石子路，余下部分种植花卉，若种植花卉的面积15，设铺设的石子路的宽为x，依题意可列方程．16．某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为y＝﹣（x﹣5）2+6，则CD的长为m．17．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在AD边上，AE＝4，点P为矩形内一点且∠APE＝90°，点M为BC边上一点，连接PA，DM，则PM+DM的最小值为．18．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，且b2﹣4a＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；⑤当x＝1时，函数的最大值是4．其中正确的结论有.（填正确的序号）三、解答题（本题共8小题，共66分．第19-20题每题6分，第21-23题每题8题，其他每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（6分）解方程：（1）x2﹣2x﹣15＝0；（2）2x2+3x＝1．20．（6分）关于x的一元二次方程x2+2x+2m＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m＝0的两个根，且x12+x22＝8，求m的值．21．（8分）如图，在长为50m、宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？22．（8分）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的9×11网格中，点A（﹣1，1）、B（3，1）、C（3，4）均在格点上．（1）边AC的长等于．（2）请用无刻度的直尺，在所给的网格中画出一个格点P，连接PA，使∠PAC＝45°；（3）沿过点C直线l，把△ABC翻折，得到△A'B'C，使点B的对应点B'恰好落在边AC上，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出翻折后的图形△A'B'C，并直接写出直线l的解析式．23．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发那么几秒后，PQ的长度等于cm？（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．24．（10分）某超市销售一种国产品牌台灯，平均每天可售出100盏，每盏台灯的利润为12元．为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价，据调查，每盏台灯每降价1元，平均每天会多售出20盏．（1）若要实现每天销售获利1400元，同时又让消费者得到实惠，则每盏台灯降价多少元？（2）每盏台灯降价多少元时，商场获利润最大？最大利润是多少元？25．（10分）问题背景如图1，在等腰Rt△ABC和等腰Rt△CDE中，AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝90°，求证：AE＝BD．尝试应用如图2，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点E是AC边上一点，点F是BE上一点，若∠CFE＝45°，EF＝4，△ABE面积为30，求BF的长．拓展创新M是等腰Rt△ABC外一点，∠ACB＝90°，AC＝BC，若∠AMC＝75°，AM＝2，CM＝，直接写出MB的长．26．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，且与x轴相交于A、B两点（B点在A点的右侧），与y轴交于C点．（1）A点的坐标是；B点坐标是；（2）直线BC的解析式是：；（3）点P是直线BC上方的抛物线上的一动点（不与B、C重合），是否存在点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积，若不存在，试说明理由；（4）若点M在x轴上，点N在抛物线上，以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M点坐标．

2023-2024学年九年级数学上学期第一次月考B卷·重难点过关测试（考试时间：120分钟试卷满分：120分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：第一章、第二章、第三章（人教版）。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．用配方法解方程x2+10x+9＝0，配方后可得（）A．（x+5）2＝16 B．（x+5）2＝1 C．（x+10）2＝91 D．（x+10）2＝109【答案】A【解答】解：方程x2+10x+9＝0，整理得：x2+10x＝﹣9，配方得：x2+10x+25＝16，即（x+5）2＝16，故选：A．2．由二次函数y＝2（x﹣3）2+1可知（）A．图象开口向下 B．图象向左平移1个单位得到y＝2（x﹣2）2+1 C．图象的对称轴为直线x＝﹣3 D．当x＜3时，y随x的增大而增大【答案】B【解答】解：∵y＝2（x﹣3）2+1中的a＝2＞0，且顶点坐标是（3，1），∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝3，当x＜3时，y随x的增大而减小，∴选项A、C、D不符合题意；∵二次函数y＝2（x﹣3）2+1图象向左平移1个单位得到y＝2（x﹣﹣3+1）2+1，即y＝2（x﹣2）2+1．∴选项B符合题意．故选：B．3．已知函数y＝（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k＜4 B．k≤4 C．k＜4且k≠3 D．k≤4且k≠3【答案】B【解答】解：①当k﹣3≠0时，（k﹣3）x2+2x+1＝0，Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4（k﹣3）×1＝﹣4k+16≥0，k≤4；②当k﹣3＝0时，y＝2x+1，与x轴有交点．故选：B．4．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元．如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（）A．200（1+x）2＝1000 B．200+200×2x＝1000 C．200（1+x）+200（1+x）2＝1000 D．200+200（1+x）+200（1+x）2＝1000【答案】D【解答】解：∵一月份的营业额为200万元，平均每月增长率为x，∴二月份的营业额为200×（1+x），∴三月份的营业额为200×（1+x）×（1+x）＝200×（1+x）2，∴可列方程为200+200×（1+x）+200×（1+x）2＝1000，即200+200（1+x）+200（1+x）2＝1000．故选：D．5．若A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝2（x+1）2+c上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2【答案】C【解答】解：∵抛物线y＝2（x+1）2+c的开口向上，对称轴是直线x＝﹣1，∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，∵A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝2（x+1）2+c上的三个点，∴点A关于对称轴x＝﹣1的对称点是（0，y1），∴y3＞y2＞y1，故选：C．6．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣6x+3＝0的两个实数根，则x1x2的值为（）A．6 B．﹣6 C．﹣3 D．3【答案】D【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣6x+3＝0的两个实数根，∴x1x2＝3，故选：D．7．奥密克戎是新冠病毒的变异毒株，传染性强，有一人感染了此病毒，未被有效隔离，经过两轮传染，共有121名感染者，在每轮传染中，设平均一个人传染了x人，则可列方程为（）A．1+x＝121 B．（1+x）2＝121 C．1+x2＝121 D．1+x+x2＝121【答案】B【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x人，则1+x+x（x+1）＝121，整理得：（1+x）2＝121．故选：B．8．小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形．若实心球运动的抛物线的解析式为，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离．已知该同学出手点A的坐标为，则实心球飞行的水平距离OB的长度为（）A．7m B．7.5m C．8m D．8.5m【答案】C【解答】解：把A代入得：＝﹣×9+k，∴k＝，∴y＝﹣（x﹣3）2+，令y＝0得﹣（x﹣3）2+＝0，解得x＝﹣2（舍去）或x＝8，∴实心球飞行的水平距离OB的长度为8m，故选：C．9．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则2020+2a﹣2b的值为（）A．2018 B．2020 C．2022 D．2024【答案】C【解答】解：∵把x＝﹣1代入ax2+bx﹣1＝0得：a﹣b﹣1＝0，∴a﹣b＝1，∴2020+2a﹣2b＝2020+2（a﹣b）＝2020+2＝2022．故选：C．10．如图，四边形ABCD中，∠DAB＝30°，连接AC，将△ABC绕点B逆时针旋转60°，点C的对应点与点D重合，得到△EBD，若AB＝5，AD＝4，则线段AC的长度为（）A．5 B．6 C． D．【答案】D【解答】解：∵△EBD是由△ABC旋转得到，∴△EBD≌△ABC，∴BA＝BE，∠ABE＝60°，AC＝DE，∴△ABE是等边三角形，∴∠EAB＝60°，∵∠BAD＝30°，∴∠EAD＝90°，∵AE＝AB＝5，AD＝4，∴DE＝＝＝，∴AC＝DE＝，故选：D．11．如图，点F为正方形ABCD对角线AC的中点，将以点F为直角顶点的直角△FEG绕点F旋转（△FEG的边EG始终在正方形ABCD外），若正方形ABCD边长为3，则在旋转过程中△FEG与正方形ABCD重叠部分的面积为（）A．9 B．3 C．4.5 D．2.25【答案】D【解答】解：如图，连接FD，∵点F是AC的中点，四边形ABCD是正方形，∴∠DFC＝90°，DF＝FC，∠FDN＝∠FCM＝45°，∴∠DFN+∠NFC＝90°，∵EF⊥EG，∴∠MFC+∠NFC＝90°，∴∠DFN＝∠CFM，∴△MFC≌△NFD（ASA），∴S△MFC＝S△NFD，∴S四边形FMCN＝S△MFC+S△NFC＝S△NFD+S△NFC＝S△DFC，∵正方形ABCD的边长为3，∴AC＝3，∴FD＝FC＝，∴S△DFC＝×FD×FC＝××＝，∴重叠部分四边形EMCN的面积为．故选：D．12．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：①4a+2b+c＜0，②2a+b＜0，③b2+8a＞4ac，④a＜﹣1，其中结论正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解答】解：由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上，得c＞0，对称轴为x＝＜1，∵a＜0，∴2a+b＜0，而抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，当x＝1时，a+b+c＝2．∵＞2，∴4ac﹣b2＜8a，∴b2+8a＞4ac，∵①a+b+c＝2，则2a+2b+2c＝4，②4a+2b+c＜0，③a﹣b+c＜0．由①，③得到2a+2c＜2，由①，②得到2a﹣c＜﹣4，4a﹣2c＜﹣8，上面两个相加得到6a＜﹣6，∴a＜﹣1．故选：D．第Ⅱ卷二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）13．已知一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一个根为1，则k的值为2．【答案】见试题解答内容【解答】解：把x＝1代入方程得1+k﹣3＝0，解得k＝2．故答案为：2．14．已知P（m+2，3）和Q（2，n﹣4）关于原点对称，则m+n＝﹣3．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵P（m+2，3）和Q（2，n﹣4）关于原点对称，∴m+2＝﹣2，n﹣4＝﹣3；解得m＝﹣4n＝1；∴m+n＝﹣3．15．如图，在宽为4、长为6的矩形花坛上铺设两条同样宽的石子路，余下部分种植花卉，若种植花卉的面积15，设铺设的石子路的宽为x，依题意可列方程（4﹣x）（6﹣x）＝15．【答案】见试题解答内容【解答】解：设铺设的石子路的宽应为x米，由题意得：（4﹣x）（6﹣x）＝15，故答案为：（4﹣x）（6﹣x）＝15．16．某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为y＝﹣（x﹣5）2+6，则CD的长为22m．【答案】22．【解答】解：当y＝0时，﹣（x﹣5）2+6＝0，解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝11，∴点D的坐标为（11，0），∴OD＝11m．∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，∴OC＝OD＝11m，∴CD＝OC+OD＝22m．故答案为：22．17．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在AD边上，AE＝4，点P为矩形内一点且∠APE＝90°，点M为BC边上一点，连接PA，DM，则PM+DM的最小值为3﹣2．【答案】3﹣2．【解答】解：如图2，∵∠APE＝90°，∴点P在以AE为直径的⊙O上运动，作点D关于BC的对称点G，连接OG，交BC于M，交⊙O于P，则PM+DM最小，最小值为PG的长，∵四边形ABCD是矩形，∴CG＝CD＝AB＝3，∠ADC＝90°，在Rt△ODG中，DG＝CD+CG＝6，OD＝AD﹣OA＝5﹣2＝3，∴OG＝＝＝3，∴PG＝OG﹣OP＝3﹣2，∴PM+DM的最小值为：3﹣2．故答案为：3﹣2．18．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，且b2﹣4a＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；⑤当x＝1时，函数的最大值是4．其中正确的结论有①②③④.（填正确的序号）【答案】①②③④．【解答】解：①∵（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|，∴①是正确的；②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x＝1，因此②也是正确的；③根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为x＝﹣1或x＝3，因此④也是正确的；⑤从图象上看，当x＜﹣1或x＞3，函数值要大于当x＝1时的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤是不正确的；故答案为：①②③④．三、解答题（本题共8小题，共66分．第19-20题每题6分，第21-23题每题8题，其他每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（6分）解方程：（1）x2﹣2x﹣15＝0；（2）2x2+3x＝1．【答案】（1）x1＝5，x2＝﹣3；（2）．【解答】解：（1）∵x2﹣2x﹣15＝0，∴（x+3）（x﹣5）＝0，则x+2＝0或x﹣5＝0，解得x1＝5，x2＝﹣3；（2）2x2+3x＝1移项得2x2+3x﹣1＝0，a＝2，b＝3，c＝﹣1，Δ＝32﹣4×2×（﹣1）＝17＞0，所以方程有两个不相等的实数根，，．20．（6分）关于x的一元二次方程x2+2x+2m＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m＝0的两个根，且x12+x22＝8，求m的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）因为一元二次方程x2+2x+2m＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4﹣8m＞0，解得：m＜．故m的取值范围为m＜．（2）根据根与系数的关系得：x1+x2＝﹣2，x1•x2＝2m，∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝4﹣4m＝8，所以m＝﹣1验证当m＝﹣1时Δ＞0．故m的值为m＝﹣1．21．（8分）如图，在长为50m、宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？【答案】见试题解答内容【解答】解：设路宽应为x米根据等量关系列方程得：（50﹣2x）（38﹣2x）＝1260，解得：x＝4或40，40不合题意，舍去，所以x＝4，答：道路的宽应为4米．22．（8分）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的9×11网格中，点A（﹣1，1）、B（3，1）、C（3，4）均在格点上．（1）边AC的长等于5．（2）请用无刻度的直尺，在所给的网格中画出一个格点P，连接PA，使∠PAC＝45°；（3）沿过点C直线l，把△ABC翻折，得到△A'B'C，使点B的对应点B'恰好落在边AC上，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出翻折后的图形△A'B'C，并直接写出直线l的解析式．【答案】（1）5；（2）作图见解析部分；（3）作图见解析部分，y＝2x﹣2．【解答】解：（1）∵点A（﹣1，1）、B（3，1）、C（3，4），∴AB＝4，BC＝3，∴AC＝＝＝5，故答案为：5；（2）如图，点P即为所求；（3）如图，△A'B'C即为所求；直线l的解析式为：y＝2x﹣2．23．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发那么几秒后，PQ的长度等于cm？（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】（1）设x秒后，PQ＝2BP＝5﹣xBQ＝2x∵BP2+BQ2＝PQ2∴（5﹣x）2+（2x）2＝（2）2解得：x1＝3，x2＝﹣1（舍去）∴3秒后，PQ的长度等于2；（2）△PQB的面积不能等于7cm2，原因如下：设t秒后，PB＝5﹣tQB＝2t又∵S△PQB＝×BP×QB＝7×（5﹣t）×2t＝7∴t2﹣5t+7＝0Δ＝52﹣4×1×7＝25﹣28＝﹣3＜0∴方程没有实数根∴△PQB的面积不能等于7cm2．24．（10分）某超市销售一种国产品牌台灯，平均每天可售出100盏，每盏台灯的利润为12元．为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价，据调查，每盏台灯每降价1元，平均每天会多售出20盏．（1）若要实现每天销售获利1400元，同时又让消费者得到实惠，则每盏台灯降价多少元？（2）每盏台灯降价多少元时，商场获利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）要实现每天销售获利1400元，则每盏台灯应降价5元；（2）每盏台灯降价3.5元时商场获利润最大，最大利润是1445元．【解答】解：（1）设每盏台灯应降价x元，依据题意列方程得：（12﹣x）（100+20x）＝1400整理得x2﹣7x+10＝0，解得：x1＝2，x2＝5．∵让消费者得到实惠，∴x＝5，答：要实现每天销售获利1400元，则每盏台灯应降价5元．（2）设商场获利润为W元，则W＝（12﹣x）（100+20x）＝﹣20x2+140x+1200＝﹣20（x﹣35）2+1445，∵﹣20＜0，∴当x＝3.5时，W取得最大值1445元，答：每盏台灯降价3.5元时商场获利润最大，最大利润是1445元．25．（10分）问题背景如图1，在等腰Rt△ABC和等腰Rt△CDE中，AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝90°，求证：AE＝BD．尝试应用如图2，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点E是AC边上一点，点F是BE上一点，若∠CFE＝45°，EF＝4，△ABE面积为30，求BF的长．拓展创新M是等腰Rt△ABC外一点，∠ACB＝90°，AC＝BC，若∠AMC＝75°，AM＝2，CM＝，直接写出MB的长．【答案】见试题解答内容【解答】问题背景证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD；尝试应用解：过点C作DC⊥CF交BE延长线于点D，连接AD，由问题背景可知：△BFC≌△ADC，∴B