苏教版高中数学必修424向量的数量积教案

1、第 9 课时：§2.4 向量的数量积（一）【三维目标】：一、知识与技能1通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理、几何意义；2体会平面向量的数量积与向量投影的关系；3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的共线及垂直的充要条件3掌握数量积的运算性质，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。二、过程与方法 教材利用同学们熟悉的物理知识（“做功”）得到向量的数量积的含义及其物理意义、几何意义；从问题的探究和解决中感受什么是向量的数量积；为了帮助学生理解和巩固相应的知

2、识，教材设置了例题，通过讲解例题，培养学生逻辑思维能力.三、情感、态度与价值观通过本节内容的学习，使同学们认识到向量的数量积与物理学的做功有着非常紧密的联系；让学生进一步领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的数量积，有助于激发学生学习数学的兴趣、积极性和勇于创新的精神.【教学重点与难点】：重点：向量数量积的含义及其物理意义、几何意义；难点：向量数量积的含义、数量积的运算性质； 【学法与教学用具】：1. 学法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课【课时

3、安排】：1课时【教学思路】： 一、创设情景，揭示课题【提出问题】：向量的运算有向量的加法、减法、数乘，那么向量与向量能否“相乘” 呢？ SF 二、研探新知1.平面向量数量积的物理背景及其含义 物理学中，物体所做的功的计算方法：（其中是与的夹角）2.向量夹角已知两个向量和，作=，=，则（）叫做向量与的夹角。当时，与同向；当时，与反向；当时，与的夹角是，我们说与垂直，记作3.向量数量积的定义：已知两个非零向量和，它们的夹角为，则数量叫做与的数量积（或内积），记作，即【说明】：实数与向量的积与向量数量积的本质区别：两个向量的数量积是一个数量，不是向量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关，符号

4、由cosq的符号所决定；实数与向量的积是一个向量；两个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积×，而是两个向量的数量的积，书写时要严格区分。符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替； 规定，零向量与任一向量的数量积是；在实数中，若¹0，且，则；但是在数量积中，若¹，且=，不能推出=.因为其中cosq有可能为0；已知实数、()，则.但是=·=；在实数中，有，但是()· ¹ ·(×) 显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线.4.数量

5、积的性质：设、设、都是非零向量，是与的夹角，则；（|0）当与同向时，；当与反向时，；特别地：或；若是与方向相同的单位向量，则C5数量积的几何意义（1）投影的概念：如图，=，过点作垂直于直线，垂足为，则我们把（cos）叫做向量在方向上（在方向上）的投影，当为锐角时射影为正值； 当为钝角时射影为负值； 当为直角时射影为0； 当 = 0°时射影为； 当= 180°时射影为（2）提出问题：数量积的几何意义是什么？期望学生回答：数量积等于的长度|与在的方向上的投影|的乘积。三、质疑答辩，排难解惑，发展思维 例1判断正误，并简要说明理由·=； ·=； -=； =|；

6、若，则对任一非零，有； =0，则与至少有一个为；对任意向量、都有()·=·(×)；与是两个单位向量，则=例2（教材例1）已知向量与向量的夹角为，|2，|3，分别在下列条件下求：（1）；（2）；（3）例3 已知正的边长为，设=，=，=，求解：如图，与、与、与夹角为， 原式 变式1： 已知，且，求解：作=，=，=， 且， 中， ，所以，四、巩固深化，反馈矫正 1.当与同向时,=_,当与反向时,=_，特别地，·，|2.，；3.已知|=10,|=12，且(3)·()，则与的夹角是_4.已知|=2,|=，与的夹角为，要使-与垂直，则5.已知|=4,|=5，+,求（1）；（2）(2-)·(+3)6.已知|=4,|=3,（1）若与夹角为，求(+2)·(-3)；（2）若(2-3)·(2+)=61，求与的夹角7.已知|=,|=3，和的夹角为，求当向量+与+的夹角为锐角时的取值范围8.已知+,2+，且|=|=1, , （1）求,；（2）若与的夹角为，求值。五、归纳整理，整体认识1.有关概念：向量的夹角、射影、向量的数量积.2.向量数量积的几何意义和物理意义.3.向量数量积的六条性质